Equat à 2 inconnues

EQUATIONS A DEUX INCONNUES. PROBLEMES
1. Exemple de problème. Système de deux équations
A) Enoncé
Yann a acheté 1 CD double et 3 CD simples pour 41,50 €.
La semaine suivante, Yann a acheté 3 CD doubles et 2 CD simples pour 65 €.
Combien coûte un CD double ? un CD simple ?
B) Système de deux équations à deux inconnues
Soient x le nbre de CD double et y le nbre de CD simple.
Le 1er achat de Yann donne l’équation :
x+3y =41,50
Le 2ème achat de Yann donne :
3x +2y =65
On doit trouver les solutions communes aux deux équations.
On doit donc résoudre le système de 2 équations suivant :
x+3y =41,50
3x +2y =65
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2. Méthode pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues.
A) Exemple précédent
x+3y =41,50
3x +2y =65
⎧
⎨
⎩
⎪
B) Résolution du système et donc du problème
Dans l’équation ( E1 ), exprimons x en fonction de y
x=41,50 −3 y
Dans l’équation ( E2 ), remplaçons x par l’expression (
41,50 −3 y
)
341,50 −3 y
( )
+2y =65
Résolvons cette équation d’inconnue y :
124,50 −9 y +2y
= 65
– 7y = 65 – 124,50
y =
−59,50
−7
y = 8,50
Remplaçons y par 8,50 dans l’équation (E3)
x = 41,50 – 3 x 8,50
x = 41,50 – 25,50
x = 16
La solution du système est le couple de nombres noté ( 16 ; 8,50 )
Retour au problème :
Un CD double coûte 16 € et un CD simple coûte 8,50 €.

C) Méthode pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues
1°) Dans l’une des équations, on calcule l’une des inconnues en fonction de l’autre.
2°) Dans l’autre équation, on remplace cette inconnue par l’expression trouvée.
3°) On résout alors l’équation obtenue où il n’y a plus qu’une seule inconnue.
4°) On cherche l’autre inconnue.
3. Etapes d'une mise en équations d'un problème
On doit respecter les quatre étapes suivantes :
1°) Choix des inconnues 3°) Résolution
2°) Mise en équations 4°) Retour au problème et vérification
A mon retour de Bretagne, nous ferons les problèmes suivants :
4. Exemple de problème d’âge
Il y a 4 ans, Xavier était 6 fois plus âgé que Yann.
Aujourd’hui, Xavier est 2 fois plus âgé que Yann.
Quels sont leurs âges respectifs ?
5. Exemple de problème de transfert
Jean et Marc jouent aux billes.
Jean : “ Si tu m’en donnes une, j’en aurai autant que toi. “
Marc : “ Oui ! Mais, si c’est toi qui m’en donnes une, j’en aurai deux fois plus que toi. “
Combien ont-ils de billes ?
6. Exemple de problème de déplacement
Deux communes A et B sont distantes de 70 km.
Au même moment, deux frères partent, l’un de A et l’autre de B, en direction l’un de l’autre.
Xavier part de A à la vitesse moyenne de 50km.h–1.
Yann part de B à la vitesse moyenne de 90km.h–1.
A quelle heure et à quelle distance de A vont-ils se rencontrer ?
7. Recherche des coordonnées du point d’intersection de deux droites.
On donne les deux droites suivantes
d :
y=x+5
d ’ :
y=−1
2x+2
A) Expliquer que les deux droites sont sécantes en un point A.
B) Tracer ces deux droites.
C) Déterminer les coordonnées du point A

8. Recherche de l’équation d’une droite passant par deux points donnés
Soient deux points
A−4
1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ et B4
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
. Déterminer l’équation de la droite (AB)