Equat à 2 inconnues

EQUATIONS A DEUX INCONNUES. PROBLEMES
1. Exemple de problème. Système de deux équations
A) Enoncé
Yann a acheté 1 CD double et 3 CD simples pour 41,50 €.
La semaine suivante, Yann a acheté 3 CD doubles et 2 CD simples pour 65 €.
Combien coûte un CD double ? un CD simple ?
B) Système de deux équations à deux inconnues
Soient x le nbre de CD double et y le nbre de CD simple.
Le 1er achat de Yann donne l’équation : x + 3y = 41,50
Le 2ème achat de Yann donne :
3x + 2y = 65
On doit trouver les solutions communes aux deux équations.
On doit donc résoudre le système de 2 équations suivant :
⎧⎪x + 3y = 41,50
⎨
⎪⎩ 3x + 2y = 65
2. Méthode pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues.
A) Exemple précédent
⎧x + 3y = 41, 50
⎨
⎪⎩ 3x + 2y = 65
B) Résolution du système et donc du problème
Dans l’équation ( E1 ), exprimons x en fonction de y
x = 41, 50 − 3 y
Dans l’équation ( E2 ), remplaçons x par l’expression ( 41,50 − 3 y )
(
)
3 41, 50 − 3 y + 2y = 65
Résolvons cette équation d’inconnue y :
124,50 − 9 y + 2y = 65
– 7y = 65 – 124,50
−59,50
y=
−7
y = 8,50
Remplaçons y par 8,50 dans l’équation (E3)
x = 41,50 – 3 x 8,50
x = 41,50 – 25,50
x = 16
La solution du système est le couple de nombres noté ( 16 ; 8,50 )
Retour au problème :
Un CD double coûte 16 € et un CD simple coûte 8,50 €.
C) Méthode pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues
1°)
2°)
3°)
4°)
Dans l’une des équations, on calcule l’une des inconnues en fonction de l’autre.
Dans l’autre équation, on remplace cette inconnue par l’expression trouvée.
On résout alors l’équation obtenue où il n’y a plus qu’une seule inconnue.
On cherche l’autre inconnue.
3. Etapes d'une mise en équations d'un problème
On doit respecter les quatre étapes suivantes :
1°) Choix des inconnues
2°) Mise en équations
3°) Résolution
4°) Retour au problème et vérification
A mon retour de Bretagne, nous ferons les problèmes suivants :
4. Exemple de problème d’âge
Il y a 4 ans, Xavier était 6 fois plus âgé que Yann.
Aujourd’hui, Xavier est 2 fois plus âgé que Yann.
Quels sont leurs âges respectifs ?
5. Exemple de problème de transfert
Jean et Marc jouent aux billes.
Jean : “ Si tu m’en donnes une, j’en aurai autant que toi. “
Marc : “ Oui ! Mais, si c’est toi qui m’en donnes une, j’en aurai deux fois plus que toi. “
Combien ont-ils de billes ?
6. Exemple de problème de déplacement
Deux communes A et B sont distantes de 70 km.
Au même moment, deux frères partent, l’un de A et l’autre de B, en direction l’un de l’autre.
Xavier part de A à la vitesse moyenne de 50km.h–1.
Yann part de B à la vitesse moyenne de 90km.h–1.
A quelle heure et à quelle distance de A vont-ils se rencontrer ?
7. Recherche des coordonnées du point d’intersection de deux droites.
On donne les deux droites suivantes
d : y =x+5
1
y =− x+2
2
d’ :
A) Expliquer que les deux droites sont sécantes en un point A.
B) Tracer ces deux droites.
C) Déterminer les coordonnées du point A
8. Recherche de l’équation d’une droite passant par deux points donnés
⎛−4 ⎞
Soient deux points A⎜⎜ ⎟⎟
⎝1 ⎠
et
⎛4 ⎞
B ⎜⎜ ⎟⎟ . Déterminer l’équation de la droite (AB)
⎝ 3⎠