Chap 16bis

Chap 14 Système de deux équations à deux inconnues
I Définition :
Définition :
Un système de deux équations à deux inconnues x et y est un système qui peut s’écrire de la
" ax + by = c
forme : #
avec a,b,c,a’,b’,c’ des nombres constants.
$ a' x + b' y = c'
Résoudre un tel système revient à chercher (s’ils existent) tous les couples qui sont solutions
des deux équations.
! Exemple :
#2x " 4 y = 4
est un système de deux équations à deux inconnues.
$
% x " 3y = 6
Le couple (4 ;1) est –il solution ?
!
!
D’une part :
2 " 4 # 4 "1
=8#4
=4
D’autre part :
4 " 3 #1
=4"3
=1$ 6
#2x " 4 y = 4
Conclusion : Le couple (4 ;1) n’est pas une solution du système $
% x " 3y = 6
!
II Résolution algébrique
1°) Méthode par substitution
!
Dans la méthode par substitution, on exprime une inconnue en fonction de l’autre à l’aide
d’une des deux équations, puis on reporte cette valeur dans l’équation restante de manière à
obtenir une équation du premier degré à une inconnue.
Exemple : Résoudre le système suivant :
"2x + 3y = 167
#
$ x + 2y = 96
(1)
(2)
On exprime x en fonction de y à l'aide de l'équation (2).
x + 2y = 96
x = 96 % 2y
On reporte cette valeur dans l'équation (1)
2(96 - 2y ) + 3y = 167
192 % 4 y + 3y = 167
%y = 167 %192
%y = 25
y = 25
Or : x = 96 " 2y
D'où :
x = 96 " 2 # 25
x = 96 " 50
x = 46
Vérification :
2 # 46 + 3 # 25 = 92 + 75 = 167
46 + 2 # 25 = 46 + 50 = 96
Le système a pour solution (46;25)
!
Remarque : La méthode par substitution est plutôt utilisée lorsqu’une inconnue
peut s’exprimer facilement en fonction de l’autre.
2°) Méthode par combinaison (ou addition).
Dans la méthode par combinaison, on multiplie les membres de l’une ou des deux équations
par des nombres convenablement choisis de manière à ce que l’une des inconnues disparaisse
par addition membre à membre. On obtient ainsi une équation du premier degré à une
inconnue.
Exemple : Résoudre le système suivant :
# 3x + 4 y = 27
$
% "5x + 6y = 107
(on multplie par 5)
(on multiplie par 3)
#15x + 20y = 135
$
% "15x +18y = 321
On additionne membre à membre.
15x + 20y -15x + 18y = 135 + 321
38y = 456
456
y=
38
y = 12
!
On remplace y par 12 dans l'équation (1)
3x + 4 " 12 = 27
3x + 48 = 27
3x = 27 # 48
3x = #21
#21
3
x = -7
x=
Le système a pour solution (-7; 12)
III Résolution de problèmes
Pour résoudre un problème dans lequel figure deux inconnues , on suit les quatre
étapes suivantes :
1. Choix des inconnues
2. Mise en système d’équations
3. Résolution du système
4. Réponses au problème.
Exercice résolu :
Soit x le prix d’un triangle en verre et y le prix d’un triangle en métal.
" 4 x + 4 y = 11 (1)
#
$6x + 2y = 9,1 (2) on multiplie par (-2)
" 4 x + 4 y = 11
#
$%12x % 4 y = %18,2
!
On additionne membre à membre :
4 x + 4 y -12x - 4 y = 11"18,2
4x -12x = -7,2
-8x = -7,2
-7,2
x=
-8
x = 0,9
On remplace x par 0,9 dans l'équation (1)
4 # 0,9 + 4 y = 11
3,6 + 4 y = 11
4 y = 11" 3,6
4 x = 7,4
7,4
x=
4
x = 1,85
Un triangle en verre coûte 0,9 ! et un triangle en métal coûte 1,85!.
Calculons le prix du bijou n°3
5 " 0,9 + 3 "1,85
= 4,5 + 5,55
= 10,05
Le bijou n°3 coûte 10,05!
!
IV Interprétation graphique
Lorsque l'on résout un système de deux équations à deux inconnues x et y par le calcul alors
si le système admet un seul couple solution (x ;y) , ce dernier correspond graphiquement aux
coordonnées du point d'intersection de deux droites (d) et (d’).
Exemple : Résoudre graphiquement
{ x+2y=4
{ 2x-y= 3
Lorsque l'on résout ce système par le calcul, on obtient comme solution le couple (2 ;1).
Etape 1 : Pour la résolution graphique, il faut mettre les deux équations sous forme réduite,
puis tracer les deux droites D et D' correspondantes.
(d) : x+2y= 4
donc
(d) : y=-(1/2)x+2
De même
(d’) : 2x-y=3
donc
(d)' :y=2x-3
Etape 2 : On trace alors la droite (d) en choisissant deux points :
Si x=0 alors y=2 et si x=4 alors y=0
De même pour (d' ):
Si x=0 alors y=-3 et si x=3 alors y=3
Conclusion : L'intersection de ces deux droites est la solution du système qui ici doit être le
couple (2 ;1)