Chap 16bis

Chap 14 Système de deux équations à deux inconnues
I Définition :
Définition :
Un système de deux équations à deux inconnues x et y est un système qui peut s’écrire de la
forme :
!
ax +by =c
a'x+b'y=c'
"
#
$
avec a,b,c,a’,b’,c’ des nombres constants.
Résoudre un tel système revient à chercher (s’ils existent) tous les couples qui sont solutions
des deux équations.
Exemple :
!
2x"4y=4
x"3y=6
#
$
%
est un système de deux équations à deux inconnues.
Le couple (4 ;1) est –il solution ?
D’une part :
!
2"4#4"1
=8#4
=4
D’autre part :
!
4"3#1
=4"3
=1$6
Conclusion : Le couple (4 ;1) n’est pas une solution du système
!
2x"4y=4
x"3y=6
#
$
%
II Résolution algébrique
1°) Méthode par substitution
Dans la méthode par substitution, on exprime une inconnue en fonction de l’autre à l’aide
d’une des deux équations, puis on reporte cette valeur dans l’équation restante de manière à
obtenir une équation du premier degré à une inconnue.
Exemple : Résoudre le système suivant :
!
2x+3y=167 1
( )
x+2y=96 (2)
"
#
$
On exprime x en fonction de y à l'aide de l'équation (2).
x+2y=96
x=96 %2y
On reporte cette valeur dans l'équation (1)
2 96 - 2y
( )
+3y=167
192 %4y+3y=167
%y=167 %192
%y=25
y=25

!
Or : x=96 "2y
D'où:
x=96 "2#25
x=96 "50
x=46
Vérification :
2#46 +3#25 =92 +75 =167
46 +2#25 =46 +50 =96
Le système a pour solution (46;25)
Remarque : La méthode par substitution est plutôt utilisée lorsqu’une inconnue
peut s’exprimer facilement en fonction de l’autre.
2°) Méthode par combinaison (ou addition).
Dans la méthode par combinaison, on multiplie les membres de l’une ou des deux équations
par des nombres convenablement choisis de manière à ce que l’une des inconnues disparaisse
par addition membre à membre. On obtient ainsi une équation du premier degré à une
inconnue.
Exemple : Résoudre le système suivant :
!
3x+4y=27 (on multplie par 5)
"5x+6y=107 (on multiplie par 3)
#
$
%
15x+20y=135
"15x+18y=321
#
$
%
On additionne membre à membre.
15x + 20y -15x +18y = 135 + 321
38y = 456
y = 456
38
y=12
!
On remplace y par 12 dans l'équation (1)
3x+4"12 =27
3x+48 =27
3x=27 #48
3x=#21
x=#21
3
x= -7
Le système a pour solution (-7; 12)

III Résolution de problèmes
Pour résoudre un problème dans lequel figure deux inconnues , on suit les quatre
étapes suivantes :
1. Choix des inconnues
2. Mise en système d’équations
3. Résolution du système
4. Réponses au problème.
Exercice résolu :
Soit x le prix d’un triangle en verre et y le prix d’un triangle en métal.
!
4x+4y=11 (1)
6x+2y=9,1 (2) on multiplie par (-2)
"
#
$
4x+4y=11
%12x%4y=%18,2
"
#
$
!
On additionne membre à membre :
4x+ 4 y-12x- 4 y= 11"18,2
4x -12x = -7,2
-8x = -7,2
x = -7,2
-8
x=0,9
On remplace x par 0,9 dans l'équation (1)
4#0,9 +4y=11
3,6 +4y=11
4y=11"3,6
4x=7,4
x=7,4
4

!
x=1,85
Un triangle en verre coûte 0,9 ! et un triangle en métal coûte 1,85!.
Calculons le prix du bijou n°3
5"0,9 + 3 "1,85
= 4,5 + 5,55
=10,05
Le bijou n°3 coûte 10,05!
IV Interprétation graphique
Lorsque l'on résout un système de deux équations à deux inconnues x et y par le calcul alors
si le système admet un seul couple solution (x ;y) , ce dernier correspond graphiquement aux
coordonnées du point d'intersection de deux droites (d) et (d’).
Exemple : Résoudre graphiquement
{ x+2y=4
{ 2x-y= 3
Lorsque l'on résout ce système par le calcul, on obtient comme solution le couple (2 ;1).
Etape 1 : Pour la résolution graphique, il faut mettre les deux équations sous forme réduite,
puis tracer les deux droites D et D' correspondantes.
(d) : x+2y= 4
donc
(d) : y=-(1/2)x+2
De même
(d’) : 2x-y=3
donc
(d)' :y=2x-3
Etape 2 : On trace alors la droite (d) en choisissant deux points :
Si x=0 alors y=2 et si x=4 alors y=0
De même pour (d' ):
Si x=0 alors y=-3 et si x=3 alors y=3
Conclusion : L'intersection de ces deux droites est la solution du système qui ici doit être le
couple (2 ;1)