SYSTEME D`EQUATIONS I Système de deux équations à deux

SYSTEME D’EQUATIONS
I Système de deux équations à deux inconnues
Définitions
⎧ ax + by = c
Un système de deux équations, du premier degré, à deux inconnues x et y est de la forme ⎨
où les
⎩a ' x + b ' y = c '
lettres a, b, c, a’, b’, et c’ désignent des nombres fixés.
Une solution d’un tel système est un couple (x ; y) pour lequel les deux équations sont vérifiées simultanément.
Résoudre un système, c’est trouver tous les couples solutions.
⎧2 x + 3 y = 7 (1)
Exemple : ⎨
est un système de deux équations à deux inconnues x et y.
⎩ − 3x + y= 6 (2)
Le couple (−1 ; 3) est solution du système.
En effet : 2× (−1) + 3×3 = −2 + 9 = 7 et −3× (−1) + 3 = 3 + 3 = 6.
Mais le couple (5 ; −1) n’est pas solution du système, car une des égalités est fausse.
En effet : 2×5 + 3× (−1) = 10 − 3 = 7 et −3×5 + (−1)= −15 −1 = −16 ≠ 6.
II Résolution d’un système
1) Par substitution
On utilise de préférence cette méthode lorsque l’un des coefficients devant x ou y vaut 1 ou −1.
Exemple : on va résoudre le système suivant par substitution :
⎧ x + 3 y = 10 (1)
(S) ⎨
⎩3x +5 y=18 (2)
On exprime l’inconnue x en fonction de y dans l’équation (1) :
(S) équivaut à :
⎧ x = 10 − 3 y (1' )
⎨
⎩3x + 5 y = 18 (2)
On remplace x par 10 −3y dans l’équation (2).
⎧ x = 10-3 y (1' )
(S) équivaut à : ⎨
⎩3( 10-3 y) + 5 y = 18 (2' )
On va résoudre l’équation (2’)
3(10 − 3y) + 5y = 18
on développe, en utilisant la distributivité simple.
30 − 9y + 5y = 18
on réduit
30 −4y = 18
30 −4y −30 = 18 − 30
on soustrait 30 aux deux membres
−4y = −12
−4y −12
=
−4
−4
−12
y=
=3
−4
on divise par −4 les deux membres
Donc y vaut 3. Pour trouver x, on remplace y par 3 dans l’équation (1’) :
x = 10 − 3×3 = 10 −9 = 1.
Conclusion : la solution du système (S) est le couple (1 ; 3).
2) Par combinaison
Principe : On multiplie les deux équations par des nombres convenablement choisis de manière à ce que l’une
des inconnues disparaisse par addition membre à membre.
⎪⎧
05x − 02y = 04 (× 3)
⎩⎪02x + 03y = 13 (× 2)
Exemple : on résout le système (S) suivant : ⎨
⎪⎧
⎪⎧15x − 06y = 12
3×(5x −02y) = 3×4
c’est à dire à ⎨04x + 06y = 26
⎩⎪
⎩⎪2×(2x + 3y ) = 2×13
(S) équivaut à⎨
On garde la première équation et on additionne les deux équations membre à membre
⎧⎪15x
(S) équivaut à ⎨
⎪⎩
− 06y = 12
19x = 38
On résout l’équation 19x = 38, on trouve x = 2.
Pour trouver la valeur de y, on remplace x par 2 dans l’équation 15x − 6y = 12.
30 − 6y = 12
30 −6y − 30 = 12 − 30
− 6y = −18
y=
−18
=3
−3
Le couple solution du système (S) est (2 ; 3).
3) Résolution par la méthode graphique.
Principe :
On associe aux deux équations du système deux équations de deux droites. Ces droites sont les représentations
graphiques de deux fonctions affines. Le problème revient alors à chercher, s’il existe, le point d’intersection
des deux droites. Les coordonnées de ce point sont la solution du système.
Intérêts : Cela permet de contrôler les résultats obtenus par le calcul et d’anticiper l’existence ou non de
solution.