n6 : système de 2 équations à 2 inconnues

N6 : SYSTÈME DE 2 ÉQUATIONS
À 2 INCONNUES
I- Notions de base
1. Définition
 Une équation à 2 inconnues est une
égalité dans laquelle 2 "lettres"
différentes ou 2 longueurs de segments
désignant 2 valeurs à trouver.
 Exemples : 5x – 2y = 18
AE = 17 + EB
2. Un couple de valeurs
 Dans une équation à 2 inconnues, un
couple de valeurs est un ensemble de 2
valeurs attribuées respectivement aux 2
inconnues.
 Exemple : le couple (3 ;7), dans
l’équation 5x + 3y = 42, attribue la
valeur 3 à x et la valeur 7 à y.
3. Solution d’une équation à 2 inconnues
 Dans une équation à 2 inconnues, un
couple de valeurs est solution lorsque
celui-ci fait que l’égalité est vraie
(vérifiée).
 Exemple :
Dans l’équation 15x – 2y = 53, le
couple (5 ;11) est solution car :
(15  5) – (2  11) =
75 – 22 = 53
II- Système de 2 équations à 2 inconnues
1. Définition
Un système de 2 équations à 2 inconnues
est caractérisé par :
 2 équations
 2 inconnues présentes dans l’une ou
l’autre des équations ou dans les deux à
la fois. Exemples :
3x – 2y = 4
2x = 4
x + 2y = 7
3x + 2y = 10
2. Solution d’un système
Une solution d’un système de 2 équations
à 2 inconnues c’est un couple de valeurs
pour lequel les 2 égalités sont vraies
(vérifiées) en même temps.
Exemple : 2x – y = 1
–x+2y=4
Le couple (2;3) est solution du système car :
2x – y = (2  2) – 3 = 4 – 3 = 1 et
– x + 2 y = – 2 + (2  3) = – 2 + 6 = 4
Le couple (1;1) n’est pas solution du
système car :
2x – y = (2  1) – 1 = 2 – 1 = 1 mais
– x + 2 y = – 1 + (2  1) = – 1 + 2 = 1
qui est différent de 4
III- Résolution d’un système de 2
équations à 2 inconnues
1. Méthode par élimination ou
combinaison ou addition
a) Principe
Transformer une ou deux équations du
système pour que leur addition membre
à membre élimine une inconnue.
b) Exemple commenté
 Soit le système : 2x + 3y = 5 (E1)
5x + 4y = 16 (E2)
 En multipliant (E1) par 5 et (E2) par –2,
on obtient :
10x + 15y = 25
–10x – 8y = – 32
 En additionnant membre à membre, on
obtient :
(10x–10x) + (15y – 8y) = (25 – 32)
7y
=
–7
y
= –1
 En remplaçant y par – 1 dans E1, on
obtient :
2x + [3  (-1)] = 5
2x – 3 = 5 ou 2x = 5 + 3 ou 2x = 8
x=4
 La solution est le couple (4 ; –1)
2. Méthode par substitution
a) Principe
 Dans une équation, exprimer une
inconnue en fonction de l’autre.
 Remplacer dans l’autre équation
l’inconnue par l’expression trouvée
 Calculer x puis y ou vice-versa.
b) Exemple commenté
 Soit le système : 2x + 3y = 5 (E1)
5x + 4y = 16 (E2)
 Dans (E1) exprimer x en fonction de y.
2x + 3y = 5 soit x =
Error!
 Dans (E2) remplacer x par sa valeur :
5x + 4y = 16 soit
+ 4y = 16
25 – 15y + 8y = 32
25 – 32 = 15y – 8y
– 7 = 7y
y=–1
 Calculer x en remplaçant y par – 1
dans (E1) :
2x + 3y = 5 soit 2x + 3(– 1) = 5
2x – 3 = 5 soit 2x = 8
x=4
 La solution est le couple (4 ; –1)
Error!
IV- Résolution de problèmes
La méthode comprend 5 parties :
 choix des inconnues
 mise en équations
 résolution du système
 conclusion
 vérification
V- Résolution graphique
1. La représentation graphique d’une
équation du premier degré à 2
inconnues est une droite. Chaque point
de cette droite est un couple solution de
cette équation.
18x – 3y = – 36
3y = 18x + 36
y = 6x + 12
2. La représentation graphique d’un
système de 2 équations du premier
degré à 2 inconnues est un ensemble de
2 droites.
18x – 3y = – 36
y = 6x + 12
10x – 5y = – 20
y = 2x + 4
3. Point d’intersection de 2 droites
sécantes
 Soit A le point d’intersection des 2
droites représentant le système cidessus.
 Le point A appartenant aux droites, ses
coordonnées (xA ; yA) vérifient
l’équation de chacune d’elles.
 On a donc : yA = 6xA + 12 (E1)
yA = 2xA + 4 (E2)
Ce qui donne 6xA + 12 = 2xA + 4
xA = – 2
et dans (E1) yA = 6(-2) + 12
yA = 0
 Les coordonnées du point A intersection
des 2 droites sont A(-2 ; 0).
 Ces coordonnées donnent le couple
solution du système :
18x – 3y = – 36
10x – 5y = – 20