Système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues.

Système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues.
I. Définitions.
y est de la forme ax + by = c
Définition 1 :
Une équation du 1er degré à 2 inconnues x et
où a, b et c sont des nombres donnés.
Exemple :
2x − 3y = 5 est une équation à 2 inconnues x et y.
Définition 2 :
Un système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues x et
 a1 x + b1 y = c 1
(E1)

(E2)
 a2 x + b2 y = c2
où a1 , b1 , c1 et a2 , b2 , c2 sont des nombres donnés.
Exemple :
 2x − 3y = 5

 x − 2y = 1
Définition 3 :
Résoudre un système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues x et y, c'est déterminer le
couple de valeurs (x ; y) pour lequel les 2 équations sont vérifiées simultanément.
Exemples :
Le couple (7 ; 3) est solution du système précédent car :
(E1)
(E2)
y est de la forme :
est un système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues x et
• (7 ; 3) est solution de la première équation (E1) :
……………………………………………………………………………………………
• (7 ; 3) est solution de la deuxième équation (E2) :
……………………………………………………………………………………………
En revanche, le couple (1 ; − 1) n'est pas solution du système précédent car :
• certes (1 ; − 1) est solution de la première équation (E1) :
……………………………………………………………………………………………
• mais (1 ; − 1) n'est pas solution de la deuxième équation (E2) :
……………………………………………………………………………………………
Remarque :
Dans un couple de nombres (x ; y) l'ordre des termes est important !
Par exemple le couple (1 ; − 1) est solution de (E1) mais le couple (− 1 ; 1) ne l'est pas car :
……………………………………………………………………………………………
1
y
II. Méthodes de résolution.
Nous allons étudier 4 méthodes de résolution d'un système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues x et y.
 2x − 3y = 5
(E1)
Reprenons l'exemple précédent : 
x
−
2
y
=
1
(E2)

1. Résolution par
COMBINAISON LINEAIRE.
• Il s'agit de combiner les 2 équations (comportant chacune 2 inconnues) de manière à obtenir une seule équation à
une seule inconnue (x par exemple) que l'on résout.
• Puis en combinant différemment les deux équations, on obtient une nouvelle équation unique avec une seule
inconnue (y par exemple) que l'on résout.
Les 2 inconnues sont maintenant identifiées !
Résolution :
2x − 3y = 5
2x − 2y = 1
2x − 3y = 5
2x − 2y = 1
(E1)
(E2)
…… x − …… y = ……
+ …… x − …… y = ……
…… x − …… y = ……
…… × (E1)
…… × (E2)
…… x − …… y = ……
+ …… x − …… y = ……
…… (E1) + …… (E2)
…… x − …… y = ……
… …… x = ……
…… x −
(E1)
(E2)
…… × (E1)
…… × (E2)
…… (E1) + …… (E2)
… …… y = ……
…… x − ……
x = ……
y = ……
Le couple solution du système d'équations est ( …… ; …… )
2. Résolution par
SUBSTITUTION.
(substitution = remplacement)
• Il s'agit, dans un premier temps, d'exprimer une inconnue en fonction de l'autre inconnue à partir d'une des 2
équations. On tâchera de choisir l'équation où cette action est la plus simple à réaliser.
• Ensuite, on substitue (= on remplace) cette inconnue dans l'équation que l'on n'a pas encore utilisée et on obtient
une nouvelle équation unique que l'on résout. Une première inconnue est maintenant identifiée.
• Puis, on remplace la valeur obtenue dans la formule de substitution et on obtient la valeur de la seconde inconnue.
Les 2 inconnues sont maintenant identifiées !
Résolution :
L'équation ( ……… ) semble la plus simple à utiliser : j'exprime alors …… en fonction de …… :
……………………………………………
=
……………………………………………
……………………………………………
=
……………………………………………
……………………………………………
=
……………………………………………
Je remplace …… par son expression dans l'équation ( ……… ) et j'obtiens :
……………………………………………
=
2
……………………………………………
Je développe puis je réduis :
……………………………………………
=
……………………………………………
……………………………………………
=
……………………………………………
……………………………………………
=
……………………………………………
……………………………………………
=
……………………………………………
……………………………………………
=
……………………………………………
Et je résous :
Je remplace …… dans la formule de substitution par la valeur obtenue ci-dessus.
Ainsi j'obtiens la valeur de …… : …………………………………………………………………………………………………
Le couple solution du système d'équations est ( …… ; …… ) .
3. Résolution par
METHODE GRAPHIQUE.
• Il s'agit, dans un premier temps, pour chacune des 2 équations, d'exprimer
• On obtient alors deux expressions de la forme :
y en fonction de x .
y = ax + b . Dans les deux cas y est une fonction ………… de x.
• Grâce aux différents chapitres sur les fonctions, nous savons tracer les droites représentant ces 2 fonctions.
• Le couple de coordonnées du point d'intersection de ces deux droites est le couple solution du système
d'équations.
Les 2 inconnues sont maintenant identifiées !
Résolution :
J'exprime y en fonction de x
dans (E2) :
dans (E1) :
2x − 3y = 5
x − 2y = 1
2x − 3y = 5 ……………………………..
x − 2y = …………………………………
2x − 3y = …………………………………
x − 2y = …………………………………
c'est l'équation de la droite (D1)
c'est l'équation de la droite (D2)
Je calcule des coordonnées de points pour tracer les 2 droites dans un repère
pour la droite (D1) :
pour la droite (D2) :
A
B
C
x
x
3y = ……………..
3y = ……………..
3
D
Je trace les deux droites dans le repère
y
1
O
1
x
Je lis les coordonnées du points d'intersection des droites (D1) et (D2) et je conclus :
Le couple solution du système d'équations est ( …… ; …… ) .
4. Résolution grâce à la
CALCULATRICE.
Séquence de touches sur la calculatrice
MODE
• Passer en mode "EQUATION"
• Choisir le type d'équations : an
X + bn Y = cn
3
1
(E1)
2
EXE
(−
−)
3
EXE
5
EXE
(E2)
1
EXE
(−
−)
2
EXE
1
EXE
• Rentrer les valeurs des coefficients
• J'obtiens la valeur de l'inconnue X
EXE
• J'obtiens la valeur de l'inconnue Y
EXE
Le couple solution du système d'équations est ( …… ; …… ) .
Remarque : pour revenir au mode classique d'utilisation de la calculatrice, taper
4
MODE
1