Système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues.

1
Système de 2 équations du 1
er
degré à 2 inconnues.
I. Définitions.
Définition 1 : Une équation du 1
er
degré à 2 inconnues x et y est de la forme ax + by = c
où a , b et c sont des nombres donnés.
Exemple : 2
x − 3y = 5 est une équation à 2 inconnues x et y .
Définition 2 : Un système de 2 équations du 1
er
degré à 2 inconnues x et y est de la forme :
a
1
x + b
1
y = c
1
(E
1
)
a
2
x + b
2
y = c
2
(E
2
)
où a
1
, b
1
, c
1
et a
2
, b
2
, c
2
sont des nombres donnés.
Exemple :
2
x − 3 y = 5 (E
1
)
x − 2 y = 1 (E
2
)est un système de 2 équations du 1
er
degré à 2 inconnues x et y
Définition 3 : Résoudre un système de 2 équations du 1
er
degré à 2 inconnues x et y , c'est déterminer le
couple de valeurs ( x ; y ) pour lequel les 2 équations sont vérifiées simultanément.
Exemples : Le couple (7 ; 3) est solution du système précédent car :
• (7 ; 3) est solution de la première équation (E
1
) :
……………………………………………………………………………………………
• (7 ; 3) est solution de la deuxième équation (E
2
) :
……………………………………………………………………………………………
En revanche, le couple (1 ; − 1) n'est pas solution du système précédent car :
• certes (1 ; − 1) est solution de la première équation (E
1
) :
……………………………………………………………………………………………
• mais (1 ; − 1) n'est pas solution de la deuxième équation (E
2
) :
……………………………………………………………………………………………
Remarque : Dans un couple de nombres (
x ; y ) l'ordre des termes est important !
Par exemple le couple (1 ; − 1) est solution de (E
1
) mais le couple (− 1 ; 1) ne l'est pas car :
……………………………………………………………………………………………

2
II. Méthodes de résolution.
Nous allons étudier 4 méthodes de résolution d'un système de 2 équations du 1
er
degré à 2 inconnues x et y .
Reprenons l'exemple précédent : 2
x − 3 y = 5 (E
1
)
x − 2 y = 1 (E
2
)
1. Résolution par COMBINAISON LINEAIRE .
• Il s'agit de combiner les 2 équations (comportant chacune 2 inconnues) de manière à obtenir une seule équation à
une seule inconnue ( x par exemple) que l'on résout.
• Puis en combinant différemment les deux équations, on obtient une nouvelle équation unique avec une seule
inconnue ( y par exemple) que l'on résout.
Les 2 inconnues sont maintenant identifiées !
Résolution :
2 x − 3 y = 5 (E
1
)
2 x − 2 y = 1 (E
2
)
…… x − …… y = …… …… × (E
1
)
…… x − …… y = …… …… × (E
2
)
…… x − …… y = …… …… (E
1
) + …… (E
2
)
… …… x = ……
…… x − x = ……
2 x − 3 y = 5 (E
1
)
2 x − 2 y = 1 (E
2
)
…… x − …… y = …… …… × (E
1
)
…… x − …… y = …… …… × (E
2
)
…… x − …… y = …… …… (E
1
) + …… (E
2
)
… …… y = ……
…… x − …… y = ……
Le couple solution du système d'équations est ( …… ; …… )
2. Résolution par SUBSTITUTION . (substitution = remplacement)
• Il s'agit, dans un premier temps, d'exprimer une inconnue en fonction de l'autre inconnue à partir d'une des 2
équations. On tâchera de choisir l'équation où cette action est la plus simple à réaliser.
• Ensuite, on substitue (= on remplace) cette inconnue dans l'équation que l'on n'a pas encore utilisée et on obtient
une nouvelle équation unique que l'on résout. Une première inconnue est maintenant identifiée.
• Puis, on remplace la valeur obtenue dans la formule de substitution et on obtient la valeur de la seconde inconnue.
Les 2 inconnues sont maintenant identifiées !
Résolution :
L'équation ( ……… ) semble la plus simple à utiliser : j'exprime alors …… en fonction de …… :
…………………………………………… = ……………………………………………
…………………………………………… = ……………………………………………
…………………………………………… = ……………………………………………
Je remplace …… par son expression dans l'équation ( ……… ) et j'obtiens :
…………………………………………… = ……………………………………………
+
++
+
+
++
+

3
Je développe puis je réduis :
…………………………………………… = ……………………………………………
…………………………………………… = ……………………………………………
…………………………………………… = ……………………………………………
Et je résous : …………………………………………… = ……………………………………………
…………………………………………… = ……………………………………………
Je remplace …… dans la formule de substitution par la valeur obtenue ci-dessus.
Ainsi j'obtiens la valeur de …… : …………………………………………………………………………………………………
Le couple solution du système d'équations est ( …… ; …… ) .
3. Résolution par METHODE GRAPHIQUE .
• Il s'agit, dans un premier temps, pour chacune des 2 équations, d'exprimer y en fonction de x .
• On obtient alors deux expressions de la forme : y = ax + b . Dans les deux cas y est une fonction ………… de x .
• Grâce aux différents chapitres sur les fonctions, nous savons tracer les droites représentant ces 2 fonctions.
• Le couple de coordonnées du point d'intersection de ces deux droites est le couple solution du système
d'équations.
Les 2 inconnues sont maintenant identifiées !
Résolution :
J'exprime y en fonction de x
dans (E
1
) :
2 x − 3 y = 5
2 x − 3 y = 5 ……………………………..
2 x − 3 y = …………………………………
c'est l'équation de la droite (D
1
)
dans (E
2
) :
x − 2 y = 1
x − 2 y = …………………………………
x − 2 y = …………………………………
c'est l'équation de la droite (D
2
)
Je calcule des coordonnées de points pour tracer les 2 droites dans un repère
pour la droite (D
1
) : pour la droite (D
2
) :
x
3
y
=
……………..
C
D
x
3
y
=
……………..
A
B

4
Je trace les deux droites dans le repère
Je lis les coordonnées du points d'intersection des droites (D
1
) et (D
2
) et je conclus :
Le couple solution du système d'équations est ( …… ; …… ) .
4. Résolution grâce à la CALCULATRICE .
Séquence de touches sur la calculatrice
• Passer en mode "EQUATION"
• Choisir le type d'équations : a
n
X + b
n
Y = c
n
• Rentrer les valeurs des coefficients
• J'obtiens la valeur de l'inconnue X
• J'obtiens la valeur de l'inconnue Y
Le couple solution du système d'équations est ( …… ; …… ) .
Remarque : pour revenir au mode classique d'utilisation de la calculatrice, taper
MODE
3
1
2 EXE 5 EXE3 EXE
(
−
−−
−
)
1 EXE 1 EXE2 EXE
(
−
−−
−
)
EXE
EXE
(E
1
)
(E
2
)
MODE
1
1
O
1
x
y