Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques
DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE
Blaise Pascal
septembre 2016
« Ses cheveux coupés à la mode formaient des ondulations
charmantes. »
La défense Loujine - Vladimir Nabokov
DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal)
Chapitre 10
septembre 2016
1 / 39
Sommaire
1. Rappels de première
1.1 Définition et premières propriétés
1.2 Angles associés
1.3 Les formules d’addition et de duplication
2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus
2.1 Dérivabilité en 0
2.2 Fonction dérivée
2.3 Composition
3. Étude des fonctions cosinus et sinus
3.1 Étude de la fonction cosinus
3.2 Étude de la fonction sinus
DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal)
Chapitre 10
septembre 2016
2 / 39
Sommaire
1. Rappels de première
1.1 Définition et premières propriétés
1.2 Angles associés
1.3 Les formules d’addition et de duplication
2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus
2.1 Dérivabilité en 0
2.2 Fonction dérivée
2.3 Composition
3. Étude des fonctions cosinus et sinus
3.1 Étude de la fonction cosinus
3.2 Étude de la fonction sinus
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Chapitre 10
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3 / 39
Soit (O; I, J) un repère orthonormé du plan et C le cercle trigonométrique (rayon
1 et orienté dans le sens giratoire).
À tout réel x, on associe un
point M du cercle C tel que x soit une mesure en
−→
−−→
radians de l’angle orienté OI; OM .
Par définition, cos(x) et sin(x) sont l’abscisse et l’ordonnée de M .
C
J
M
sin x
x
O
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Chapitre 10
cos x
I
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Propriété 1
Pour tout réel x et pour tout entier k, on a :
cos2 x + sin2 x = 1 (relation fondamentale)
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Propriété 1
Pour tout réel x et pour tout entier k, on a :
cos2 x + sin2 x = 1 (relation fondamentale)
−1 6 cos x 6 1
et
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−1 6 sin x 6 1
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Propriété 1
Pour tout réel x et pour tout entier k, on a :
cos2 x + sin2 x = 1 (relation fondamentale)
−1 6 cos x 6 1
et
cos(x + 2kπ) = cos x
−1 6 sin x 6 1
et
sin(x + 2kπ) = sin x
(Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques 1 de période 2π.)
1. On dit que f est périodique de période T lorsque pour tout réel x, on a f (x + T ) = f (x).
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Angles remarquables :
Angle en radians
0
Cosinus
1
Sinus
0
π
2
√
π
3
3
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
2
√
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
0
1
π
4
√
2
2
2
1
π
6
2
1
2
√
2
2
√
3
0
2
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Angles remarquables :
Angle en radians
0
Cosinus
1
Sinus
0
π
2
√
π
3
3
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
2
√
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
0
1
π
4
√
2
2
2
1
π
6
2
1
2
√
2
2
√
3
0
2
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Angles remarquables :
Angle en radians
0
Cosinus
1
Sinus
0
π
2
√
π
3
3
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
2
√
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
0
1
π
4
√
2
2
2
1
π
6
2
1
2
√
2
2
√
3
0
2
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Angles remarquables :
Angle en radians
0
Cosinus
1
Sinus
0
π
2
√
π
3
3
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
2
√
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
0
1
π
4
√
2
2
2
1
π
6
2
1
2
√
2
2
√
3
0
2
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Angles remarquables :
Angle en radians
0
Cosinus
1
Sinus
0
π
2
√
π
3
3
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
2
√
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
0
1
π
4
√
2
2
2
1
π
6
2
1
2
√
2
2
√
3
0
2
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Angles remarquables :
Angle en radians
0
Cosinus
1
Sinus
0
π
2
√
π
3
3
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
2
√
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
0
1
π
4
√
2
2
2
1
π
6
2
1
2
√
2
2
√
3
0
2
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Angles remarquables :
Angle en radians
0
Cosinus
1
Sinus
0
π
2
√
π
3
3
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
2
√
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
0
1
π
4
√
2
2
2
1
π
6
2
1
2
√
2
2
√
3
0
2
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Angles remarquables :
Angle en radians
0
Cosinus
1
Sinus
0
π
2
√
π
3
3
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
2
√
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
0
1
π
4
√
2
2
2
1
π
6
2
1
2
√
2
2
√
3
0
2
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Angles remarquables :
Angle en radians
0
Cosinus
1
Sinus
0
π
2
√
π
3
3
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
2
√
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
0
1
π
4
√
2
2
2
1
π
6
2
1
2
√
2
2
√
3
0
2
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Angles remarquables :
Angle en radians
0
Cosinus
1
Sinus
0
π
2
√
π
3
3
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
2
√
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
0
1
π
4
√
2
2
2
1
π
6
2
1
2
√
2
2
√
3
0
2
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Exercice 1 (Pour utiliser la relation fondamentale)
Déterminer cos x sachant que sin x =
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hπ
i
1
et x ∈
;π .
3
2
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Exercice 1 (Pour utiliser la relation fondamentale)
Déterminer cos x sachant que sin x =
hπ
i
1
et x ∈
;π .
3
2
Exercice 2 (Pour utiliser la relation fondamentale)
Soit A(x) = (cos x + sin x)2 + (cos x − sin x)2 .
π
π
1. Calculer A
et A
.
4
3
2. Que peut-on conjecturer ? Le prouver.
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7 / 39
Exercice 3 (Fonction périodique)
Démontrer que les fonctions suivantes sont périodiques de période T .
π
1. f (x) = cos(4x) − 5
T =
2
2. g(x) = sin(πx)
T =2
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Exercice 3 (Fonction périodique)
Démontrer que les fonctions suivantes sont périodiques de période T .
π
1. f (x) = cos(4x) − 5
T =
2
2. g(x) = sin(πx)
T =2
Exercice 4 (Des équations trigonométriques)
Résoudre dans R les équations suivantes :
√
2
1. cos(2x) = −
2
2. 2 sin2 x − 3 sin x − 2 = 0
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Exercice 5 (Signe de fonction trigonométrique)
1
Soit f la fonction définie sur 0 ; 2π par f (x) = cos x + .
2


f (x) > 0 ⇐⇒ cos x > . . .
f (x) = 0 ⇐⇒ cos x = . . .


f (x) < 0 ⇐⇒ cos x < . . .
J
x
0
C
2π
x =15.
Signe
de f (x)
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O
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I
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Exercice 6 (Signe de fonction trigonométrique, encore)
Soit g la fonction définie sur
−π π
;
2
2
π
par f (x) = cos 2x −
.
3
Compléter :
Lorsque x décrit
x
−π π
π
;
, 2x − décrit . . .
2
2
3
−π
2
π
2
Angle
π
2x −
3
C
O
I
π
2x −
=-240.
3
Signe
de g(x)
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J
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Sommaire
1. Rappels de première
1.1 Définition et premières propriétés
1.2 Angles associés
1.3 Les formules d’addition et de duplication
2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus
2.1 Dérivabilité en 0
2.2 Fonction dérivée
2.3 Composition
3. Étude des fonctions cosinus et sinus
3.1 Étude de la fonction cosinus
3.2 Étude de la fonction sinus
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Théorème 1 (Les angles associés)
π−x
x
x
x
−x
π+x
(
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
(
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
π
−x
2
π
+x
2
x
(
cos
sin
π
2
π
2
− x = sin x
− x = cos x
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(
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
x
(
Chapitre 10
cos
sin
π
2
π
2
+ x = − sin x
+ x = cos x
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Théorème 1 (Les angles associés)
π−x
x
x
x
−x
π+x
(
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
(
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
π
−x
2
π
+x
2
x
(
cos
sin
π
2
π
2
− x = sin x
− x = cos x
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(
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
x
(
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cos
sin
π
2
π
2
+ x = − sin x
+ x = cos x
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Théorème 1 (Les angles associés)
π−x
x
x
x
−x
π+x
(
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
(
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
π
−x
2
π
+x
2
x
(
cos
sin
π
2
π
2
− x = sin x
− x = cos x
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(
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
x
(
Chapitre 10
cos
sin
π
2
π
2
+ x = − sin x
+ x = cos x
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Théorème 1 (Les angles associés)
π−x
x
x
x
−x
π+x
(
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
(
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
π
−x
2
π
+x
2
x
(
cos
sin
π
2
π
2
− x = sin x
− x = cos x
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(
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
x
(
Chapitre 10
cos
sin
π
2
π
2
+ x = − sin x
+ x = cos x
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Théorème 1 (Les angles associés)
π−x
x
x
x
−x
π+x
(
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
(
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
π
−x
2
π
+x
2
x
(
cos
sin
π
2
π
2
− x = sin x
− x = cos x
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(
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
x
(
Chapitre 10
cos
sin
π
2
π
2
+ x = − sin x
+ x = cos x
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Théorème 1 (Les angles associés)
π−x
x
x
x
−x
π+x
(
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
(
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
π
−x
2
π
+x
2
x
(
cos
sin
π
2
π
2
− x = sin x
− x = cos x
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(
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
x
(
Chapitre 10
cos
sin
π
2
π
2
+ x = − sin x
+ x = cos x
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Théorème 1 (Les angles associés)
π−x
x
x
x
−x
π+x
(
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
(
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
π
−x
2
π
+x
2
x
(
cos
sin
π
2
π
2
− x = sin x
− x = cos x
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(
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
x
(
Chapitre 10
cos
sin
π
2
π
2
+ x = − sin x
+ x = cos x
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Théorème 1 (Les angles associés)
π−x
x
x
x
−x
π+x
(
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
(
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
π
−x
2
π
+x
2
x
(
cos
sin
π
2
π
2
− x = sin x
− x = cos x
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(
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
x
(
Chapitre 10
cos
sin
π
2
π
2
+ x = − sin x
+ x = cos x
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Théorème 1 (Les angles associés)
π−x
x
x
x
−x
π+x
(
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
(
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
π
−x
2
π
+x
2
x
(
cos
sin
π
2
π
2
− x = sin x
− x = cos x
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(
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
x
(
Chapitre 10
cos
sin
π
2
π
2
+ x = − sin x
+ x = cos x
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Théorème 1 (Les angles associés)
π−x
x
x
x
−x
π+x
(
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
(
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
π
−x
2
π
+x
2
x
(
cos
sin
π
2
π
2
− x = sin x
− x = cos x
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(
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
x
(
Chapitre 10
cos
sin
π
2
π
2
+ x = − sin x
+ x = cos x
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12 / 39
Théorème 1 (Les angles associés)
π−x
x
x
x
−x
π+x
(
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
(
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
π
−x
2
π
+x
2
x
(
cos
sin
π
2
π
2
− x = sin x
− x = cos x
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(
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
x
(
Chapitre 10
cos
sin
π
2
π
2
+ x = − sin x
+ x = cos x
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Remarques
la fonction cosinus est une fonction paire car pour tout x ∈ R,
cos(−x) = cos x.
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13 / 39
Remarques
la fonction cosinus est une fonction paire car pour tout x ∈ R,
cos(−x) = cos x.
la fonction sinus est une fonction impaire car pour tout x ∈ R,
sin(−x) = − sin x.
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Chapitre 10
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13 / 39
Exercice 7 (Paire ? Périodique ?)
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = cos x + sin x.
1. Démontrer que f (−π) = f (π).
2. La fonction f est-elle paire ?
3. Démontrer que f est périodique de période 2π.
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Chapitre 10
septembre 2016
14 / 39
Exercice 7 (Paire ? Périodique ?)
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = cos x + sin x.
1. Démontrer que f (−π) = f (π).
2. La fonction f est-elle paire ?
3. Démontrer que f est périodique de période 2π.
Exercice 8 (Équations et angles associés)
Résoudre dans R les équations suivantes :
x π
1. cos +
= − cos x
2
3
2. cos x = sin x
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14 / 39
Sommaire
1. Rappels de première
1.1 Définition et premières propriétés
1.2 Angles associés
1.3 Les formules d’addition et de duplication
2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus
2.1 Dérivabilité en 0
2.2 Fonction dérivée
2.3 Composition
3. Étude des fonctions cosinus et sinus
3.1 Étude de la fonction cosinus
3.2 Étude de la fonction sinus
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Chapitre 10
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15 / 39
Théorème 2 (Les formules d’addition)
Soient a et b deux réels.
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal)
Chapitre 10
septembre 2016
16 / 39
Théorème 2 (Les formules d’addition)
Soient a et b deux réels.
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
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Chapitre 10
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Théorème 2 (Les formules d’addition)
Soient a et b deux réels.
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
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Chapitre 10
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Théorème 2 (Les formules d’addition)
Soient a et b deux réels.
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
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Chapitre 10
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Théorème 2 (Les formules d’addition)
Soient a et b deux réels.
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
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Chapitre 10
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En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes :
Théorème 3 (Les formules de duplication)
Soit a un réel.

2
2

cos a − sin a
cos (2a) = 2 cos2 a − 1


1 − 2 sin2 a
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et
Chapitre 10
sin (2a) = 2 sin a cos a
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17 / 39
En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes :
Théorème 3 (Les formules de duplication)
Soit a un réel.

2
2

 cos a − sin a
cos (2a) = 2 cos2 a − 1


1 − 2 sin2 a
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et
Chapitre 10
sin (2a) = 2 sin a cos a
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En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes :
Théorème 3 (Les formules de duplication)
Soit a un réel.

2
2

 cos a − sin a
cos (2a) = 2 cos2 a − 1


1 − 2 sin2 a
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et
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sin (2a) = 2 sin a cos a
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En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes :
Théorème 3 (Les formules de duplication)
Soit a un réel.

2
2

 cos a − sin a
cos (2a) = 2 cos2 a − 1


1 − 2 sin2 a
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et
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sin (2a) = 2 sin a cos a
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En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes :
Théorème 3 (Les formules de duplication)
Soit a un réel.

2
2

 cos a − sin a
cos (2a) = 2 cos2 a − 1


1 − 2 sin2 a
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et
Chapitre 10
sin (2a) = 2 sin a cos a
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En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes :
Théorème 3 (Les formules de duplication)
Soit a un réel.

2
2

 cos a − sin a
cos (2a) = 2 cos2 a − 1


1 − 2 sin2 a
et
sin (2a) = 2 sin a cos a
Théorème 4
Soit a un réel.
cos2 a =
1 + cos(2a)
2
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et
Chapitre 10
sin2 a =
1 − cos(2a)
2
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En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes :
Théorème 3 (Les formules de duplication)
Soit a un réel.

2
2

 cos a − sin a
cos (2a) = 2 cos2 a − 1


1 − 2 sin2 a
et
sin (2a) = 2 sin a cos a
Théorème 4
Soit a un réel.
cos2 a =
1 + cos(2a)
2
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et
Chapitre 10
sin2 a =
1 − cos(2a)
2
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En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes :
Théorème 3 (Les formules de duplication)
Soit a un réel.

2
2

 cos a − sin a
cos (2a) = 2 cos2 a − 1


1 − 2 sin2 a
et
sin (2a) = 2 sin a cos a
Théorème 4
Soit a un réel.
cos2 a =
1 + cos(2a)
2
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et
Chapitre 10
sin2 a =
1 − cos(2a)
2
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Sommaire
1. Rappels de première
1.1 Définition et premières propriétés
1.2 Angles associés
1.3 Les formules d’addition et de duplication
2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus
2.1 Dérivabilité en 0
2.2 Fonction dérivée
2.3 Composition
3. Étude des fonctions cosinus et sinus
3.1 Étude de la fonction cosinus
3.2 Étude de la fonction sinus
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Sommaire
1. Rappels de première
1.1 Définition et premières propriétés
1.2 Angles associés
1.3 Les formules d’addition et de duplication
2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus
2.1 Dérivabilité en 0
2.2 Fonction dérivée
2.3 Composition
3. Étude des fonctions cosinus et sinus
3.1 Étude de la fonction cosinus
3.2 Étude de la fonction sinus
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On admet que les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R.
Propriété 2
lim
x→0
sin x
=1
x
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et
Chapitre 10
lim
x→0
cos x − 1
=0
x
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On admet que les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R.
Propriété 2
lim
x→0
sin x
=1
x
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et
Chapitre 10
lim
x→0
cos x − 1
=0
x
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On admet que les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R.
Propriété 2
lim
x→0
sin x
=1
x
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et
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lim
x→0
cos x − 1
=0
x
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Démonstration
Indication pour la première limite :
Dans le repère (O; I, J), C est le cercle
trigonométrique de centre O et de rayon OI = 1.
_
Le point M est sur l’arc de cercle IJ.
Le projeté orthogonal de M sur [OI] est le point
C et la droite ∆ est la perpendiculaire à (OI)
passant par I.
T est le point d’intersection de (OM ) et ∆.
J
C
T
M
∆
A1 l’aire du triangle OIM ;
A2 l’aire du secteur angulaire OIM ;
A3 l’aire du triangle OIT ;
−→ −−→
x une mesure de l’angle OI; OM .
x
O
C
I
On admet que A1 6 A2 6 A3 .
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Démonstration
1. Exprimer A1 , A2 et A3 en fonction de x.
i
πh
,
2. Démontrer que pour tout x ∈ 0 ;
sin x 6 x 6
sin x
.
cos x
3. En déduire un encadrement de
4. Prouver que lim
x→0
x>0
T
2
M
∆
sin x
.
x
sin x
= 1.
x
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J
C
x
O
Chapitre 10
C
I
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Démonstration
i
π
2
h
5. Soit x ∈ − ; 0 .
1
2
3
À quel intervalle appartient −x ?
Déduire de l’encadrement de la question
sin x
3., un encadrement de
pour
x
h
i
π
x∈ − ;0 .
2
sin x
Prouver que lim
= 1.
x→0
x
J
C
T
M
∆
x<0
6. Conclure.
x
Indication pour la deuxième limite :
Utiliser le théorème 4 pour prouver que, pour
x
tout réel x, cos x − 1 = −2 sin2 et utiliser la
2
limite précédente.
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Chapitre 10
O
C
I
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Exercice 9
Déterminer les limites suivantes :
sin(2x)
1. lim
x→0
x
sin(3x)
2. lim
x→0 sin(2x)
1
3. x→+∞
lim x sin
x
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Chapitre 10
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Exercice 9
Déterminer les limites suivantes :
sin(2x)
1. lim
x→0
x
sin(3x)
2. lim
x→0 sin(2x)
1
3. x→+∞
lim x sin
x
Remarque
Ces résultats prouvent que les fonctions cosinus et sinus sont dérivables en 0 :
sin0 (0) = 1
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et
Chapitre 10
cos0 (0) = 0
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Sommaire
1. Rappels de première
1.1 Définition et premières propriétés
1.2 Angles associés
1.3 Les formules d’addition et de duplication
2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus
2.1 Dérivabilité en 0
2.2 Fonction dérivée
2.3 Composition
3. Étude des fonctions cosinus et sinus
3.1 Étude de la fonction cosinus
3.2 Étude de la fonction sinus
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Chapitre 10
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Théorème 5
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et on :
cos0 (x) = − sin x
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et
Chapitre 10
sin0 (x) = cos x
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Théorème 5
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et on :
cos0 (x) = − sin x
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et
Chapitre 10
sin0 (x) = cos x
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Théorème 5
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et on :
cos0 (x) = − sin x
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et
Chapitre 10
sin0 (x) = cos x
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Théorème 5
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et on :
cos0 (x) = − sin x
et
sin0 (x) = cos x
Démonstration
Indication pour la fonction cosinus :
Soit a ∈ R et h un réel non nul.
Démontrer que le taux d’accroissement de cos en a est
τ (h) =
cos(a + h) − cos(a)
cos h − 1
sin h
= cos a
− sin a
.
h
h
h
Puis conclure en utilisant la proposition 2.
Réitérer la même démarche pour la fonction sinus.
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Exercice 10
Soient Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions définies sur R par
f (x) = cos x et g(x) = sin x.
π
3π
Les tangentes à Cf au point d’abscisse
et à Cg au point d’abscisse
4
4
sont-elles parallèles ?
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Exercice 11
Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur l’intervalle donné.
1. f (x) = x cos x
2. g(x) = sin2 x
3. h(x) = tan x
4. k(x) =
cos x
x
sur R
sur R
i π πh
sur − ;
2 2
sur 0 ; +∞
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Sommaire
1. Rappels de première
1.1 Définition et premières propriétés
1.2 Angles associés
1.3 Les formules d’addition et de duplication
2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus
2.1 Dérivabilité en 0
2.2 Fonction dérivée
2.3 Composition
3. Étude des fonctions cosinus et sinus
3.1 Étude de la fonction cosinus
3.2 Étude de la fonction sinus
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Propriété 3
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors on a :
cos0 (u) = −u0 sin u
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et
Chapitre 10
sin0 (u) = u0 cos u
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Propriété 3
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors on a :
cos0 (u) = − u0 sin u
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et
Chapitre 10
sin0 (u) = u0 cos u
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Propriété 3
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors on a :
cos0 (u) = − u0 sin u
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et
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sin0 (u) = u0 cos u
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Exercice 12
Calculer les dérivées
fonctions
suivantes sur l’intervalle donné.
des π
1. f (x) = cos 10x +
sur R
3
x π 2
2. g(x) = sin
+
sur R
2
3
r
−π π
x
3. h(x) = 1 − sin2
sur
;
2
2
2
sin 2x
−π π
4. k(x) =
sur
;
cos 2x
4
4
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Sommaire
1. Rappels de première
1.1 Définition et premières propriétés
1.2 Angles associés
1.3 Les formules d’addition et de duplication
2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus
2.1 Dérivabilité en 0
2.2 Fonction dérivée
2.3 Composition
3. Étude des fonctions cosinus et sinus
3.1 Étude de la fonction cosinus
3.2 Étude de la fonction sinus
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Sommaire
1. Rappels de première
1.1 Définition et premières propriétés
1.2 Angles associés
1.3 Les formules d’addition et de duplication
2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus
2.1 Dérivabilité en 0
2.2 Fonction dérivée
2.3 Composition
3. Étude des fonctions cosinus et sinus
3.1 Étude de la fonction cosinus
3.2 Étude de la fonction sinus
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31 / 39
On a vu précédemment que la fonction cosinus est périodique de période 2π.
On peut
donc
restreindre l’étude de la fonction cosinus à un intervalle d’amplitude
2π, −π ; π par exemple.
On sait, de plus que la fonction cosinus est paire, donc sa courbe est symétrique
par rapport à l’axe des ordonnées dans un repère orthogonal.
On peut finalement restreindre l’étude à l’intervalle 0 ; π .
La courbe complète de la fonction cosinus s’obtiendra en effectuant une symétrie
→
−
axiale d’axe (Oy) puis des translations de vecteurs 2kπ i (k ∈ Z).
x
0
cos0 (x)
0
π
−
0
1
cos x
−1
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Courbe de la fonction cosinus :
y
1
−2π
−3π
2
−π
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−π
2
Ccos
0
Chapitre 10
π
2
π
3π
2
2π
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x
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Exercice 13
√
Soit f la fonction définie sur 0 ; 2π par f (x) = 3 cos(2x) − sin(2x).
π
1. Démontrer que, pour tout réel x ∈ 0 ; 2π , f (x) = 2 cos 2x + .
6
2. Dresser le tableau de variation de f .
√
3. Résoudre dans R l’équation f (x) = − 3.
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Exercice 13
√
Soit f la fonction définie sur 0 ; 2π par f (x) = 3 cos(2x) − sin(2x).
π
1. Démontrer que, pour tout réel x ∈ 0 ; 2π , f (x) = 2 cos 2x + .
6
2. Dresser le tableau de variation de f .
√
3. Résoudre dans R l’équation f (x) = − 3.
Exercice 14
Résoudre graphiquement, dans
−7π 7π
−1
;
, l’inéquation cos x <
2
2
2
y
1 Ccos
−3π
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
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−π
2
0
Chapitre 10
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
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3π
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7
2
Sommaire
1. Rappels de première
1.1 Définition et premières propriétés
1.2 Angles associés
1.3 Les formules d’addition et de duplication
2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus
2.1 Dérivabilité en 0
2.2 Fonction dérivée
2.3 Composition
3. Étude des fonctions cosinus et sinus
3.1 Étude de la fonction cosinus
3.2 Étude de la fonction sinus
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35 / 39
On a vu précédemment que la fonction sinus est périodique de période 2π.
On peut
donc
restreindre l’étude de la fonction sinus à un intervalle d’amplitude
2π, −π ; π par exemple.
On sait, de plus que la fonction sinus est impaire, donc sa courbe est symétrique
par rapport à l’origine O du repère.
On peut finalement restreindre l’étude à l’intervalle 0 ; π .
La courbe complète de la fonction sinus s’obtiendra en effectuant une symétrie
→
−
centrale de centre O puis des translations de vecteurs 2kπ i (k ∈ Z).
x
π
2
0
sin0 (x)
+
0
π
−
1
sin x
0
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0
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Courbe de la fonction sinus :
y
Csin
1
−2π
−3π
2
−π
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−π
2
0
Chapitre 10
π
2
π
3π
2
2π
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x
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Exercice 15
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2 sin x + sin(2x).
1.
2.
3.
4.
5.
Démontrer que f est périodique de période 2π.
Étudier la parité de f .
Déduire des questions précédentes le domaine d’étude de f .
Dresser le tableau de variation de f sur son domaine d’étude.
Représenter Cf dans un repère (O; I, J) orthogonal.
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38 / 39
FIN
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