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Chapitre VII
Le théorème de Skorokhod
Lemme 1
Soit (µn)n≥1une suite de probabilités sur R, de fonctions de répartition (Fn)n, et soit
µune probabilité sur Rde fonction de répartition F. S’il existe une partie dense Ddans
Rtelle que pour t∈ D lim
n→∞Fn(t) = F(t), alors pour tout réel xen lequel Fest continue
lim
n→∞Fn(x) = F x).
Preuve
Soit xun réel en lequel Fest continue, et soit ε > 0. Il existe un réel η > 0pour lequel
F(x+η)−F(x−η)≤ε. Soient y, y0∈ D tels que x−η < y < x et x<y0< x+η. Comme
Fn(y)≤Fn(x)≤Fn(y)0par passage à la limite F(y)≤limFn(x)≤limFn(x)≤F(y0).
D’où les inégalités
F(x)−ε≤F(x+η)−ε≤F(x−η)≤F(y)≤limFn(x)
≤limFn(x)≤F(y0)≤F(x+η)≤F(x−η) + ε≤F(x) + ε,
qui entraîne l’égalité lim
n→∞Fn(x) = F(x).
Théorème 2 (Skorokhod)
Soit (µn)n≥1une suite de probabilités sur R, dont la suite associée de fonctions de
répartition est (Fn)n, et soit µune probabilité sur Rde fonction de répartition F. On
suppose qu’il existe une partie dense Dde Rtelle que pour tout x∈ D lim
n→∞Fn(x) = F(x).
Il existe un espace probabilisé (Ω,F, P ), des variables aléatoires réelles Xnet Xdéfinies
sur cet espace vérifiant :
i) pour tout n PXn=µnet PX=µ
ii) ∀ω∈Ω lim
n→∞Xn(ω) = X(ω).
Preuve
On prend comme espace probabilisé l’intervalle ]0,1[ muni de la mesure de Lebesgue ;
on appelle Ynfonction quantile de µnet Yla fonction quantile de µ. On sait que Yna pour
loi µnet Ya pour loi µ. De plus si α∈]0,1[ et t∈R, on a l’équivalence
α≤Fn(t)⇔Yn(α)≤t
donc aussi l’équivalence
Fn(t)< α ⇔t<Yn(α).
1

Soient ω∈]0,1[,ε > 0et xun élément de Dvérifiant Y(ω)−ε<x<Y(ω). Par définition
de Y F (x)< ω ; donc pour nassez grand Fn(x)< ω, ou de façon équivalente x<Yn(ω).
En conséquence pour nassez grand Y(ω)−ε < x < Yn(ω); d’où limYn(ω)≥Y(ω)−ε,
puis limYn(ω)≥Y(ω).
Soient ω0∈]0,1[ et yun élément de Dvérifiant ω < ω0et Y(ω0)< y < Y (ω0) + ε.
Comme ω < ω0≤F[Y(ω0)] ≤F(y), pour nassez grand ω≤Fn(y). Donc pour nassez
grand Yn(ω)≤y < Y (ω0) + ε, qui entraîne limYn(ω)≤Y(ω0).
Puisque pour tout couple ω, ω0∈]0,1[ vérifiant ω < ω0on a Y(ω)≤limYn(ω)≤
limYn(ω)≤Y(ω0), en tout point ωen lequel Yest continue on a l’égalité lim
n→∞Yn(ω) =
Y(ω). L’application Yétant croissante, l’ensemble DYde ses points de discontinuité est
fini ou dénombrable. Définissons des variables aléatoires Xnet Xpar :
- si ω∈ DYXn(ω) = X(ω) = 0
- si ω /∈ DYXn(ω) = Yn(ω)et X(ω) = Y(ω).
La suite (Xn)n≥1converge partout vers X. De plus l’ensemble DYétant de mesure de
Lebesgue nulle, PXn=PYn=µnet PX=PY=µ.
Proposition 3
Soit (µn)n≥1une suite de probabilités sur R, dont la suite associée de fonctions de
répartition est (Fn)n, et soit µune probabilité sur Rde fonction de répartition F. Les
conditions suivantes sont équivalentes :
1) la suite (µn)n≥1converge en loi vers µ
2) en tout point de continuité xde Flim
n→∞Fn(x) = F(x)
3) il existe une partie dense Dde Rtelle que pour tout x∈ D lim
n→∞Fn(x) = F(x).
Preuve
1) ⇒2)
Supposons que la suite (µn)n≥1converge en loi vers µ. Fixons un point de continuité
xde F. Soit ε > 0; il existe un réel η > 0pour lequel F(x+η)−F(x−η)≤ε. Définissons
deux applications continues f1et f2de Rdans [0,1] par :
-∀y≤x−η f1(y)=1;∀y≥x f1(y) = 0 ;f1est affine sur l’intervalle [x−η, x]
-∀y≤x f2(y) = 1 ;∀y≥x+η f2(y)=0;f2est affine sur l’intervalle [x, x +η].
On vérifie sans peine les inégalités f1≤1]−∞,x]≤f2et f2−f1≤1]x−η,x+η[.
On en déduit les inégalités
Z(f2−f1)dµ ≤Z1]x−η,x+]dµ =F(x+η)−F(x−η)≤ε
et Zf1dµ ≤Z1]−∞,x]dµ =F(x)≤Zf2dµ.
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D’où
F(x)−ε≤Zf2dµ +Z(f1−f2)dµ
=Zf1dµ ≤Zf2dµ
=Zf1dµ +Z(f2−f1)dµ
≤F(x) + ε.
L’hypothèse jointe aux inégalités f1≤1]−∞,x]≤f2implique
Zf1dµ = lim
n→∞ Zf1dµn≤limF(x)≤limFn(x)≤lim n→∞ Zf2dµn=Zf2dµ.
D’où
F(x)−ε≤limF(x)≤limFn(x)≤F(x) + ε,
qui entraîne l’égalité lim
n→∞Fn(x) = F(x).
2) ⇒3)
Le complémentaire de l’ensemble C(F)des points de continuité de Fétant dénom-
brable, l’ensemble C(F)est dense dans R.
3) ⇒1)
Supposons il existe une partie dense Dde Rtelle que pour tout x∈ D lim
n→∞Fn(x) =
F(x). Soit fune application continue et bornée de Rdans R. Par le théorème de Skorokhod
il existe sur un espace probabilisé (Ω,F, P ), des variables aléatoires réelles Xnet Xdéfinies
sur cet espace et vérifiant
i) pour tout n PXn=µnet PX=µ
ii) ∀ω∈Ω lim
n→∞Xn(ω) = X(ω).
Le théorème de convergence dominée permet d’écrire
lim
n→∞ Zfdµn= lim n→∞ Zf(Xn)dP =Zf(X)dP =Zfdµ,
ce qui prouve que la suite (µn)n≥1converge en loi vers µ.
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