Généralités sur les variables aléatoires réelles

S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles
Université de Picardie Jules Verne 2011-2012
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 4
Probabilités 1
Généralités sur les variables aléatoires réelles
1-Généralités.
1.1.Notion de variable aléatoire réelle (v.a.r.).
Soient Eune expérience aléatoire et ,A,Pun espace probabilisé lié à cette expérience. Dans de
nombreuses situations, on associe à chaque résultat un nombre réel noté X; on construit ainsi une
application X:  . Historiquement, Eétait un jeu et Xreprésentait le gain du joueur.
Exemples.
1) Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, et on observe le numéro obtenu. Si le
joueur obtient 1, 3 ou 5, il gagne 1 euro ; s’il obtient 2 ou 4, il gagne 5 euros ; s’il obtient 6, il perd 10 euros.
Prenons   1,2,3,4,5,6,APet Pl’équiprobabilité sur ,A
Soit Xl’application de dans qui à tout associe le gain correspondant. On a
X1X3X51, X2X45 et X610.
On peut s’intéresser à la probabilité de gagner 1 euro, c’est-à-dire d’avoir X1, ce qui se réalise si et
seulement si 1,3,5. La probabilité cherchée est donc égale à P1,3,5 1/2. On écrira aussi
PX11/2. On pourra donc considérer l’événement :
X1/X1/X1X11 1,3,5.
On aura de même PX51/3 et PX101/6.
On a ainsi construit un nouvel ensemble X1,5,10, et muni cet ensemble de la probabilité PX
définie par les valeurs ci-dessus : PX1 1/2, PX5 1/3 et PX10 1/6
2) Une machine est utilisée pour fabriquer des pièces de longueur l. On choisit une pièce au hasard. Soient
l’ensemble des pièces produites et Xl’application qui à toute pièce associe sa longueur X. Dans la
pratique, on accepte une pièce avec un défaut , soit une longueur Xcomprise entre let l. On
s’intéresse à la probabilité qu’une pièce choisie au hasard soit acceptée, soit PlXl. On devra
donc considérer l’événement
lXl/Xl,lX1l,l
Plus généralement, nous serons amenés à calculer la probabilité d’ensembles du type Xx,Xx,
xXy,, si toutefois cette probabilité est bien définie. Pour s’en assurer, il faut, et il suffit, que ces
ensembles soient des événements, c’est-à-dire qu’ils appartiennent à A. On adopte alors la définition suivante.
Définition.
Soit ,A,Pun espace probabilisé. On appelle variable aléatoire réelle sur ,A(on note v.a.r.) toute
application Xde dans telle que pour tout intervalle Ide ,X1I/XIA.
Remarque.
Considérons les intervalles de de la forme ,x. On peut alors montrer que tout intervalle Ide (et
aussi tout borélien de ) peut s’écrire comme réunion, intersection, complémentaire d’une suite d’intervalles
de cette forme. Par exemple, a,b,b,aet a,b
n
,b1
n,a, et donc
X1a,b X1,b X1,a et X1a,b 
n
X1,b1
nX1,a. Ainsi,
Proposition.
Xest une v.a.r. si et seulement si pour tout x,XxX1,x A.
Stéphane Ducay 1

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Exemple.Indicatrice d’un événement.
Soient Eune expérience aléatoire, ,A,Pun espace probabilisé associé et AA.
On appelle indicatrice de A l’application 1A:  0,1,X1 si A
0 si A.
On note X1A. On a XX1A0,1. L’application 1Aest bien une v.a.r.
car 1Ax
si x0
Asi x0,1
si x1
et donc 1Ax1A1,x A.
1.2.Espace probabilisé image.
Soient ,A,Pun espace probabilisé et Xune application de dans . On note XXl’ensemble
des valeurs prises par X. On a X.
Si est fini ou infini dénombrable (i.e. au plus dénombrable), alors APet toute application Xde
dans est une v.a.r. (puisque pour tout réel x,X1,x est une partie de !) . On a de plus Xau plus
dénombrable, et on peut le munir de la tribu AXPX. On étudiera cette situation dans le chapitre suivant.
Si est infini non-dénombrable, par exemple   , on peut munir de la tribu AB, tribu
borélienne sur (ou tribu des boréliens de ), i.e. la plus petite tribu Bsur contenant tous les intervalles
de . Nous admettons ici l’existence et l’unicité d’une telle tribu. On peut démontrer que Best la tribu
engendrée par la classe des intervalles de la forme ,x. On aura alors AP(inclusion stricte). Le fait
qu’une application Xde dans soit une v.a.r. n’est donc plus trivial.
De façon générale, on considère une v.a.r. Xde ,Adans ,B.
Théorème (admis).
Soit Xune v.a.r. sur un espace probabilisé ,A,P. L’application PXdéfinie par :
pour tout x,PX,x PX1,x PXx
est un probabilité sur ,B, appelée probabilité image de P par X (ou loi de probabilité de X).
Ainsi, ,B,PXest un espace probabilisé. Par cette construction, on a transporté l’information de
l’espace probabilisé ,A,Psur l’espace probabilisé ,B,PX.
1.3.Fonction de répartition.
Définition.
Soit Xune v.a.r. définie sur un espace probabilisé ,A,P. On appelle fonction de répartition de X (ou
de PX) la fonction numérique FXdéfinie sur par :
pour tout x,FXxPXxPX,x.
Propriétés.
Soit Fla fonction de répartition d’une v.a.r. Xsur un espace probabilisé ,A,P. Alors :
iFest à valeurs dans 0,1;iiiFest continue à droite en tout point de ;
iiFest croissante sur ;ivlim
x Fx0 et lim
xFx1.
Preuve.
iEvident.
iiSoient x,ytels que xy. Alors ,y,xx,yet donc
X1,y X1,x X1x,y, i.e. XyXxxXy, cette réunion étant disjointe,
d’où PXyPXxPxXy, et donc FyFxPxXyFx.
iiiFétant une fonction bornée et croissante sur , elle admet des limites finies à droite et à gauche en
tout point x0de . Soient x0et xnn1la suite définie par xnx01
n, convergeant vers x0par valeurs
supérieures : on a lim
nFxnlim
xx
0
Fx. La suite d’événements Xxnn est décroissante et on a
n
XxnXx0, donc PXx0P
n
Xxnlim
nPXxn, i.e. Fx0lim nFxn.
On en déduit que Fx0lim
xx
0
Fx.
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iv Fétant une fonction bornée et croissante sur , elle admet des limites finies en  et .
La suite d’événements X nnest décroissante et
n
X n, donc
0PP
n
X nlim
nPX nlim nFnlim
x Fx.
La suite d’événements Xnnest croissante et
n
Xn , donc
1PP
n
Xnlim
nPXnlim nFnlim xFx.
Remarque.
Réciproquement, on peut démontrer que toute fonction numérique F:0,1vérifiant les propriétés
iàivest la fonction de répartition d’une v.a.r. X.
Propriétés.
Soit Fla fonction de répartition d’une v.a.r. Xsur un espace probabilisé ,A,P. Alors
ipour tous réels xet ytels que xy,PxXyFyFx.
iipour tout réel x0,PXx0Fx0lim
xx
0
Fx;
en particulier, Fest continue en x0si et seulement si PXx00.
Ainsi, la fonction de répartition Fde Xcaractérise la loi de probabilité PX.
Preuve.
iOn a déja vu que PXyPXxPxXy.
iiOn a Xx0Xx0Xx0d’où Fx0PXx0PXx0. Il reste à montrer que
PXx0lim
xx
0
Fx. Pour cela, considérons la suite xnn1définie par
xnx01
n. La suite d’événements Xx01 nn
est croissante et
n
Xx01
nXx0
d’où PXx0lim
nP X x01
nlim
nF x01
nlim
xx
0
Fx.
Si Fest continue en x0, alors Fx0lim
xx
0
Fx, et donc PXx00.
Dans les chapitres suivants, nous étudierons deux types de variables aléatoires réelles :
- les v.a.r. discrètes, prenant un nombre fini ou infini dénombrable (i.e. au plus dénombrable) de valeurs en
lesquelles la fonction de répartition n’est pas continue ;
- les v.a.r. absolument continues (ou à densité), prenant un nombre infini non-dénombrable de valeurs,
dont la fonction de répartition est continue sur .
2-Vecteur aléatoire.
Dans des situations où interviennent plusieurs variables aléatoires, le calcul de la probabilité d’un
événement dont la réalisation dépend des valeurs de ces variables doit faire intervenir ces variables
considérées dans leur ensemble et non chacune isolément. On est ainsi amené à étudier une nouvelle notion,
celle de vecteur aléatoire.
2.1.Définitions.
Définitions.
Soit ,A,Pun espace probabilisé et nun entier naturel non nul. On appelle vecteur aléatoire à valeurs
dans ntout n-uplet X1,X2,...,Xnde variables aléatoires réelles sur ,A:
X1,X2,...,Xn:  n,X1,X2,...,Xn.
La fonction de répartition du vecteur aléatoire X1,X2,...,Xnest la fonction FX
1
,X
2
,...,X
n
définie par :
FX
1
,X
2
,...,X
n
:n0,1,x1,x2,...,xnPX1x1X2x2...Xnxn.
Stéphane Ducay 3

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Remarque.
La fonction FX
1
,X
2
,...,X
m
est bien définie pour tout x1,x2,...,xnn. En effet, puisque X1,X2,...,Xn
sont des v.a.r. sur ,A, les ensembles X1x1,X2x2,...,Xnxnsont des éléments de A, et donc
leur intersection est aussi un élément de A, qui admet donc une probabilité.
Cas particulier :couple de variables aléatoires réelles.
Si Xet Ysont deux v.a.r., alors X,Yest appelé couple de v.a.r. Sa fonction de répartition est la fonction
FX,Ydéfinie par : FX,Y:20,1,x,yPXxYy
On démontre que pour tout réel a, lim
yFX,Ya,yFXaet lim xFX,Yx,aFYa.
2.2.Opérations sur les v.a.r.
Propriétés.
Soient Xet Ysont deux v.a.r. sur un espace probabilisé ,A,P,un réel. Alors XY,X,XY,
maxX,Yet minX,Ysont des v.a.r. sur ,A,P.
Ainsi, muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire, l’ensemble des v.a.r. sur ,A,Pest un
espace vectoriel sur (en tant que sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications de dans ).
Si de plus on le munit du produit, c’est une algèbre sur (en tant que sous-algèbre de l’algèbre des
applications de dans ).
Exemple.Variable aléatoire binomiale.
On considère une expérience aléatoire Eau cours de laquelle un événement Aa une probabilité pde se
réaliser. On répète nfois cette expérience dans les mêmes conditions et de manière indépendante. Soit Xle
nombre (aléatoire) de réalisations de Aau cours de ces nexpériences.
On peut écrire X
i1
n1A
i, où 1A iest l’indicatrice de Aau cours de la ièmeexpérience. En tant que somme
de v.a.r., Xest une v.a.r. On a déja vu que : X0,1,...,n, et pour tout k0,1,...,n,
PXkCn
kpk1pnk.Xest appelée variable aléatoire binomiale : on dit Xsuit la loi Binomiale Bn,p.
2.3.V.a.r.indépendantes.
Définitions.
Soient Xet Ydeux v.a.r. définies sur un même espace probabilisé ,A,P. On dit que Xet Ysont
indépendantes si pour tous xet y, les événements Xxet Yysont indépendants, i.e.
PXxYy PXxPYy, i.e. FX,Yx,yFXxFYy.
Soient nun entier naturel non nul, X1,X2, ..., Xnnv.a.r. définies sur un même espace probabilisé
,A,P. On dit que X1,X2, ..., Xnsont indépendantes (mutuellement) si pour tous x1,x2, ..., xn, les
événements X1x1,X2x2,..., Xnxnsont indépendants (mutuellement).
Proposition.
Si X1,X2, ..., Xnsont indépendantes, alors toute fonction numérique de kd’entre elles est indépendante de
toute fonction des nkautres.
3.Exercices
Exercice 1.Soient ,A,Pun espace probabilisé, Xune variable aléatoire réelle et FXsa fonction de
répartition. Soient aet bdeux réels tels que ab. Exprimer à l’aide de FXles probabilités PXa,
PXa,PaXb,PaXbet PaXb. On distinguera le cas général et le cas d’une
variable aléatoire Xà densité (pour lequel FXest continue sur ).
Exercice 2.Soient ,A,Pun espace probabilisé, Xet Ydeux variables aléatoires réelles, FXet FYleurs
fonctions de répartition, FX,Yla fonction de répartition du couple X,Y. On considère les deux variables
aléatoires réelles UmaxX,Yet VminX,Y, et FUet FVleur fonction de répartition. Exprimer FUet FV
en fonction de FX,FYet FX,Y. Observer ensuite le cas particulier où Xet Ysont indépendantes.
Stéphane Ducay 4