Nombres complexes

Analyse
Nombres complexes
I. Rappels
I.1. Forme algébrique d’un nombre complexe
Définition 1
L’écriture d’un nombre complexe sous la forme z=a+bi s’appelle la forme algébrique de z.
aest la partie réelle de z. On note a=Re(z).
best la partie imaginaire de z. On note b=Im(z).
I.2. Représentation graphique d’un nombre complexe
Définition 2
Le plan étant rapporté à un repère orthonormal (O, ~u, ~v), tout nombre complexe z=a+bi est
associé au point Mde cordonnées (a, b)
– On appelle module de zet on note |z|le nombre égal à la distance OM :
|z|=OM =k−−→ OMk
– On appelle argument de zet on note arg(z), toute mesure de l’angle (~u, −−→ OM)
Théorème 1
Le nombre complexe de module |z|et d’argument θs’écrit :
z=|z|(cos θ+isin θ)
Cette écriture est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z, et nous avons les
relations suivantes :
cos θ=a
|z|sin θ=b |z|
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Analyse
II. Forme exponentielle d’un nombre complexe
Définition 3
Le nombre complexe de module |z|et d’argument θpeut s’écrire z=|z|eiθ , c’est la forme
exponentielle.
Théorème 2
Nous avons les relations suivantes :
(eiθ )×(eiθ0) = eiθ+θ0
(eiθ )n=einθ
1
eiθ =e−iθ
eiθ
eiθ0=eiθ−θ0
Exemple: Calculer 2e
iπ
3×5e
iπ
4
III. Formules d’addition et de duplication des insus et cosinus
III.1. Formules d’addition
Théorème 3
Pou tous réels aet b, on a :
cos(a+b) = cos a×cos b−sin a×sin bsin(a+b) = sin a×cos b+ sin b×cos a
cos(a−b) = cos a×cos b+ sin a×sin bsin(a−b) = sin a×cos b−sin b×cos a
III.2. Formules de duplication et de linéarisation
Théorème 4
cos(2a) = cos2a−sin2a= 1 −2 sin2a= 2 cos2a−1 sin(2a) = 2 sin a×cos a
d’où les formules de linéarisation :
cos2a=1 + cos(2a)
2sin2a=1−cos(2a) 2
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