Fonction exponentielle

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2008/2009
Fonction exponentielle
Fonction exponentielle
Table des matières
I
Introduction de l’exponentielle
I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2 Relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Etude de la fonction exponentielle
II.1 Limite aux bornes . . . . . . . . . . .
II.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3 Fonction exp(u) . . . . . . . . . . . . .
II.4 Croissance comparée de l’exponentielle
III Résolution d’équations
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et des fonctions
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puissance
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I
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Fonction exponentielle
Introduction de l’exponentielle
I.1
Définition
Définition 1
La fonction exponentielle, est la fonction définie sur R par exp(x) = ex , ex étant l’unique nombre réel
positif dont le logarithme vaut x
Remarque 1
On dit que la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme, ce qui signifie que
graphiquement, les courbes sont symétriques par rapport à la première bissectice (y = x).
Conséquences directes :
•
•
•
•
•
exp(x) > 0.
exp(1) = e1 = e ≈ 2, 718.
ln(ex ) = x.
eln(x) = x.
Pour tout x ∈ R et tout y > 0 : y = ex ⇐⇒ ln(y) = x.
Propriété 1
Soit u une fonction continue et définie sur I, alors la fonction x 7→ exp[u(x)] est définie et existe sur I.
Exemple 1
Ensemble de définition Df de la fonction définie par f (x) = ex+3 :
➔ La focntion x 7→ x + 3 est définie, continue sur R.
➔ D’où : Df = R.
I.2
Relation fondamentale
Propriété 2
Pour tous réels a et b, on a la relation fondamentale suivante :
exp(a + b) = exp(a) × exp(b)
ou encore
ea+b = ea × eb .
Démonstration :
Soient x, y ∈ R. On a ln(ex+y ) = x + y = ln(ex ) + ln(ey ) = ln(ex × ey ).
En appliquant l’exponentielle de chaque côté, il vient :
x+y
x
y
eln(e ) = eln(e ×e ) ⇐⇒ ex+y = ex × ey .
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Fonction exponentielle
Propriété 3
Soient a et b deux réels et n est un entier relatif, alors :
1
♦ a = e−a .
e
ea
♦ b = ea−b .
e
♦ (ea )n = ean .
En résumé, l’exponentielle a la particularité de transformer les sommes en produits, les différences en quotients et les multiplications en puissances. (inversement au logarithme !).
Remarque 2
La propiété fondamentale se généralise au cas d’un produit de trois, quatre, n facteurs :
exp(a1 + a2 + . . . + an ) = exp(a1 ) × exp(a2 ) × · · · × exp(an ).
Exemple 2
Transformations d’expressions numériques :
➔ e2 × e3 = e6 .
1
➔ 5 = e−5 .
e
e7
➔ 2 = e5 .
e
➔ (e−2 )−3 = e6 .
Exemple 3
Transformations d’expressions algébriques :
➔ ex+3 × e2x+1 = e(x+3)+(2x+1) = e3x+4 .
e3x−2 × e−4x+2
2
2
➔
= e(3x−2)+(−4x+2)−(x ) = e−x−x .
ex2
➔ (ex−2 )2 = e2x−4 .
II
II.1
Etude de la fonction exponentielle
Limite aux bornes
Propriété 4
On a les limites importantes suivantes :
lim ex = 0
x→−∞
lim ex = +∞.
x→+∞
Conséquence : La droite y = 0 est donc asymptote orizontale à la courbe représentative de la fonction
exp.
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Fonction exponentielle
Exemple 4
Limite en +∞ de ex−1 :
lim (x − 1) =
+∞
lim eX
=
+∞
Limite en −∞ de ex+3 :
lim (x + 3) =
➔ x→−∞ X
lim e
=
−∞
x→+∞
➔
X→+∞
X→−∞
II.2
0
)
par composition : lim ex−1 = +∞.
)
par composition : lim ex+3 = 0.
x→+∞
x→−∞
Variations
Propriété 5
La fonction exponentielle est dérivable sur R de dérivée (ex )′ = ex .
Démonstration :
Ce point est une conséquence de la dérivation des fonctions composées :
(ex )′
On dérive la relation ln ex = x : x = 1 d’où (ex )′ = ex .
e
exp(
x)
Sachant que la dérivée de la fonction exponentielle est ex et qu’elle est définie sur R, la dérivée est strctement
positive, et la fonction est donc strictement croissante sur cet intervalle.
D’où le tableau de variations et la courbe :
x
−∞
f ′ (x)
0
+∞
3
e ≈ 2, 718
+
b
2
+∞
f
y=
4
ր
1
b
0
signe
II.3
+
−5
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
Fonction exp(u)
Propriété 6
Soit u une fonction définie dérivable sur I, alors la fonction x → exp[u(x)] est dérivable sur I de dérivée
exp[u(x)]′ = u′ (x) exp[u(x)].
On écrit aussi : (eu )′ = u′ eu .
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Exemple 5
2
Soit f la fonction définie par f (x) = ex +1 .
➔ Le polynôme u défini par u(x) = x2 + 1 est défini et dérivable sur R de dérivée u′ (x) = 2x.
2
➔ Donc, f est dérivable sur R et f ′ (x) = 2x ex +1 .
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = ex−2 .
➔ Le polynôme v défini par v(x) = x − 2 est défini et dérivable sur R de dérivée v ′ (x) = 1.
➔ Donc, g est dérivable sur R et g ′ (x) = g(x) = ex−2 .
II.4
Croissance comparée de l’exponentielle et des fonctions puissance
Propriété 7
On a les limites classiques suivantes, pour tout n ∈ N∗ :
ex
♦ lim
= +∞.
x→+∞ x
ex
♦ lim n = +∞.
x→+∞ x
♦ lim x ex = 0.
x→−∞
♦
lim xn ex = 0.
x→−∞
Remarque 3
On dit que "l’exponentielle l’emporte sur la puissance".
L’idée à retenir : Au voisinage de +∞, les fonctions x → ln x, x → xα et x → ex prennent des valeurs qui
se classent dans cet ordre de la plus petite à la plus grande.
III
Résolution d’équations
Propriété 8
Pour tout u et v, on a les résultats suivants :
♦ L’équation exp(u) = exp(v) possède comme unique solution u = v.
♦ Pour tout λ > 0, l’équation exp(u) = λ possède comme unique solution le nombre u = ln(λ).
Exemple 6
Résolution dans R de l’équation ex = 4 :
➔ ex = 4 ⇐⇒ ln(ex )) = ln(4) ⇐⇒ x = ln 4.
Résolution dans R de l’équation 2ex × e(3 x) = 5 :
➔ 2ex × e3x = 5 ⇐⇒ 2ex+3x = 5 ⇐⇒ e4x =
5
⇐⇒ 4x = ln
2
5
1
5
⇐⇒ x = ln
.
2
4
2
Résolution dans R de l’équation exp(−x2 + 9) = 1.
➔ exp(−x2 + 9) = 1 ⇐⇒ ln[exp(−x2 + 9)] = ln(1) ⇐⇒ −x2 + 9 = 0 ⇐⇒ x2 = 9 ⇐⇒ x = −3, ou x = 3.
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