BTS ln et exponentielle

Chapitre 4 : Fonction logarithme et fonction exponentielle :
I.
La fonction logarithme népérien «
»
et
1. Propriété de la fonction
: ⟼
• La fonction est définie, (continue) et dérivable sur 0; ∞
•
Pour tout de ; ∞ ,on a :
•
La fonction
est strictement croissante sur 0; ∞
Démonstration : sa dérivée est strictement positive sur 0; ∞
•
Deux valeurs remarquables :
1
On appelle l’unique réel tel que
0
1, la calculatrice donne :
2,718
•
Quand il n’y a pas de risque de confusion, on peut écrire avec ou sans parenthèses : ln 2 ou ln 2
•
Tableau de variation de la fonction
0
1
∞
+
∞
1
0
∞
•
Tableau de signe
Signe de
•
•
•
0
||
Images : A la calculatrice :
!
0,693 2 0,693
"
∞
1
0
+
3
1,099
6
1,792
10
Courbe représentative de la fonction
Limites admises (et données !)
() .
*→,
*-,
0 ()
Application :
Etudier les variations de la fonction 3 définie sur 0; ∞ par 3
12*
*→/0 *
2
0
2,303
100
4,605
2. Règles opératoires
Pour tous réels 4 et 5 de 0;+∞[ et pour tout entier , on a :
45 = 4 + 5
42 = . 4
1
4
6 7 = − 5 8 9 : = 4 − 5
5
5
√4 =
1
2
4
Exemple : Ecrire en fonction de ln 2 et/ou ln 3 les réels :
<= > = ln 2 × 2 × 3 = ln 2 + ln 2 + ln 3 = 2 ln 2 + ln 3<= @ = ln 2 × 2 × 2 × 2 = ⋯ = 4 ln 2
>
<= = ln 2 − ln 9 = ln 2 − ln 3 × 3 = ln 2 − ln 3 + ln 3 = ln 2 − 2 ln 3
B
1
<= = ln 1 − ln 9 = 0 − ln 3 × 3 = − ln 3 − ln 3 = −2 ln 3<= √C = ln 3
B
2
Conséquence : pour tout entier
Par exemple : ln
"
positif ou négatif : <=
= 2 ln = 2 × 1 = 2
ln
D!
= <=
= !
= ln E = − ln = −1
3. Propriété pour résoudre des (in)équations
Pour tous réels 4 et 5 de ]0;+∞[ :
F =
G ⟺ F = G F <
G ⟺ F < G
Exemple :
1° Résoudre dans ]0; +∞[ les équations et inéquations
3−
= 02 −
> 0
<2
2° Etudier le signe de 1 +
pour
∈]0; +∞[
3° Déterminer le plus petit entier tel que 1,042 ≥ 2
II.
La fonction exponentielle «
»
1. Propriété de la fonction
: ⟼
=
La fonction exponentielle de base , notée
, est :
• Définie, continue et dérivable sur
• Pour tout de , N
= N
= *
• Strictement croissante sur
• Strictement positive sur . Pour tout réel , * > 0 .
•
N 0 = 1, on écrit , = 1
•
N 1 = , on écrit ! =
avec ≈ 2,718
•
Tableau de variation de la fonction
−∞
0
N′
N
•
0
Tableau de signe
Signe de
*
−∞
N
1
+
+∞
+∞
1
+
+∞
F ≤
G ⟺F≤G
•
•
Images : A la calculatrice :
D"
≈ 0,135 D! 0,368 !
Courbe représentative de la fonction
•
Limites admises (et données !)
() .
*
P
7,389
20,086
!,
22036
*
0 ()
*→D0
"
2,718
∞
*→/0
2. Règles de calcul
Propriétés algébriques : Pour tous réels 4et 5, et pour tout entier relatif
Q/R
Q
? R
DQ
Q 2
!
ES
QDR
2?Q
ES
ET
en particulier
Q "
"Q
3. Propriété pour résoudre des (in)équations
Pour tous réels 4 et 5 :
F
G
⟺ F G F I G ⟺ F I G
F
J
G
⟺FJG
III.
Lien entre les fonctions «
» et «
»
La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle
Conséquences :
• Pour tout réel 4 de 0; ∞ : <= F
•
Pour tout
de
*
VWWWWWWWWWWWX exp
Pour tout
de
12
VWWWWWWWWWWX ln
, ∞ :
\] VWWWWWWWWWWWX ln exp x
ln
*
<=
^_` \] *
VWWWWWWWWWWWWX exp ln
Résolution d’équations du type :
0⟺
1⟺
G
: <=
E*U
•
G ⟺ F
abc
2⟺
1⟺
7⟺
a
*
2⟺
*
25 ⟺
*
1
N.