BTS ln et exponentielle

Chapitre 4 : Fonction logarithme et fonction exponentielle :  et 
I. La fonction logarithme népérien «  »
1. Propriété de la fonction  :   
• La fonction  est définie, (continue) et dérivable sur 
• Pour tout de on a : 
• La fonction  est strictement croissante sur
Démonstration : sa dérivée est strictement positive sur
• Deux valeurs remarquables :     
On appelle  l’unique réel tel que  , la calculatrice donne :   
• Quand il n’y a pas de risque de confusion, on peut écrire avec ou sans parenthèses :  ou  
• Tableau de variation de la fonction 
0 1
+
1
0
•
Tableau de signe
0 1
Signe de
|| 0 +
• Images : A la calculatrice :
!
"
  #$%   #$% %  $$ #  $   %%   &#'
• Courbe représentative de la fonction 
• Limites admises (et données !) ()
*+,
*-,
.    ()
*+/0
12*
*
Application :
Etudier les variations de la fonction 3 définie sur   par 3   

2. Règles opératoires
Pour tous réels 4 et 5 de  et pour tout entier  , on a :
45 45 4
2
 .4
6
57  5894 5:  4 5 ;4  
4
Exemple : Ecrire en fonction de  et/ou % les réels :
<=>  ??%  %  %<=@  ??? A  &
<=>
B  $   %?%  %%  %
<=
B  $   %?% % %  %<=;C   %
Conséquence : pour tout entier  positif ou négatif : <=
 <=
Par exemple : 
"
   ?   
D!
!
E
3. Propriété pour résoudre des (in)équations
Pour tous réels 4 et 5 de  :
F GH F  GFI GH F I GFJ GH F J G
Exemple :
1° Résoudre dans  les équations et inéquations
%     K  I 
2° Etudier le signe de  pour  L
3° Déterminer le plus petit entier tel que &
2
M 
II. La fonction exponentielle « »
1. Propriété de la fonction  :    
La fonction exponentielle de base , notée , est :
• Définie, continue et dérivable sur 
• Pour tout  de , N
 N 
*
• Strictement croissante sur 
• Strictement positive sur  . Pour tout réel , 
*
K  .
• N  on écrit 
,
• N  on écrit 
!
  avec   
• Tableau de variation de la fonction N
0 1
N
O
+
N
1
•
Tableau de signe
Signe de
*
+

• Images : A la calculatrice :
D"
%' 
D!
 %# 
! "
 %$ 
P
 # 
!,
 %#
• Courbe représentative de la fonction 
• Limites admises (et données !)
()
*+D0
. 
*
  ()
*+/0
*
2. Règles de calcul
Propriétés algébriques : Pour tous réels 4et 5, et pour tout entier relatif 
Q/R Q
? 
R
DQ
!
ES
QDR
ES
ET
Q 2 2?Q
en particulier 
Q " "Q
3. Propriété pour résoudre des (in)équations
Pour tous réels 4 et 5 :
F G
 H F  G
F
I 
G
H F I G
F
J 
G
H F J G
III. Lien entre les fonctions «  » et « »
La fonction logarithme népérien  est la fonction réciproque de la fonction exponentielle N.
Conséquences :
• Pour tout réel 4 de   : <=F G H F  
G
• Pour tout  de   : <=
E*U
V
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
X
YZ[ 
*\] 
V
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
X
YZ[Z  
*
• Pour tout  de  : 
<=
12
V
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
X
^_` 
V
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
X
YZ[  
\]*
Résolution d’équations du type :   abc  a
  H
  H
  H
  H
  H
*
  H
*
 ' H
*