Equations et inéquations

Fonction exponentielle
I) Présentation
Le chapitre précédent a permis de découvrir la fonction ln, strictement croissante sur ]0 ; +∞[ et dont les
images appartiennent à ℝ.
Tout nombre réel b admet un unique antécédent a par ln, appartenant à ]0 ; +∞[. On écrit alors : b = ln (a).
Il existe donc une fonction réciproque de la fonction ln, définie sur ℝ et dont les images appartiennent à ℝ+*.
Définition :  La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction définie sur ℝ qui à tout nombre réel x
associe le nombre y strictement positif tel que ln (y) = x.
  x  ℝ,  y  ℝ+*, exp (x) = y  x = ln (y).
Notation : D'après les propriétés de la fonction ln, on a : x = ln (e x) = ln (y).
Ainsi on écrit également : e x = y = exp (x).
Relations entre exp et ln :  Pour tout x réel, on a : e x > 0 et ln (e x) = x.
 Pour tout x réel strictement positif, on a : e ln(x) = x.
Variations et limites :  La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
 On a : lim e x = 0 et lim e x = + ∞.
x  – ∞ x  + ∞
Courbe et tableau de variations :
Remarque : Pour tous réels a et b on a : e a = e b  a = b et e a < e b  a < b
II) Propriétés
( Rappel : pour a et b réels strictement positifs, on a : ln (a b) = ln (a) + ln (b). )
Relation fonctionnelle : Soient a et b deux nombres réels. On a : e a + b = e a  e b .
De cette relation découlent plusieurs conséquences : e a – b =
b
a
e
e
; e – a =
a
e1
et  n  ℤ, e na = (e a) n.
Exemples :  e 2x + 3 = e 2x  e 3 = (e x) 2  e 3. 
xxxx
x
xe
e
ee
e
e5
54213
42
13 1

III) Dérivées et primitives
La fonction exponentielle est continue et dérivable sur ℝ, les formules suivantes sont admises.
Dérivée : Soit x  ℝ, on a : f(x) = e x. Alors f '(x) = e x. (La fonction exponentielle est sa propre dérivée.)
Primitives : Soit x  ℝ, on a : f(x) = e x. Alors les primitives de f sont de la forme Fk(x) = e x + k, où k est une
constante réelle.
Exemples : Soit f une fonction telle que :  x ℝ, f(x) = 2 e x + 4.
Alors  x  ℝ, f '(x) = 2 e x ; et les primitives de f sont de la forme Fk(x) = 2 e x + 4x + k.
Cas des fonctions composées :
 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, soit f la fonction définie sur I par f(x) = e u(x).
On a alors f dérivable sur I et  x  I : f '(x) = u'(x)  e u(x) .
 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, soit f la fonction définie sur I par f(x) = u'(x)  e u(x).
Les primitives de f sur I sont de la forme : Fk(x) = e u(x) + k , où k est une constante réelle.
Exemple : Soit f une fonction telle que :  x ℝ, f(x) = 2 e 3x + 2 + 5.
Alors  x  ℝ, f '(x) = 2  3  e 3x + 2 = 6 e 3x + 2.
Dérivée de x
3x + 2
De plus, on a : f(x) =
3
2
 3  e 3x + 2 + 5
Les primitives de f sont de la forme : Fk(x) =
3
2
e 3x + 2 + 5x + k , où k est une constante réelle.
IV) Exponentielle de base a et fonctions puissances
Définition : Soit a un nombre réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base a la
fonction f telle que pour tout x appartenant à ℝ, on a : f(x) = a x = e x ln(a).
Exemples : Les fonctions x 5 x , ou x 10 x sont des exponentielles de bases respectives 5 et 10.
Définition : Soit a un nombre réel strictement positif. On appelle fonction puissance a la fonction f telle que
pour tout x appartenant à ℝ+*, on a : f(x) = x a = e a ln(x).
Exemples : Les fonctions x x 5 , ou x x 0,5 ou x x 5,9 sont des fonctions puissances.
Remarque : Les fonctions puissances sont strictement croissantes.
V) Croissances comparées
On a pour tout n  ℕ* : lim
n
x
x
e
= + ∞.