Fonction exponentielle I) Présentation Le chapitre précédent a permis de découvrir la fonction ln, strictement croissante sur ]0 ; +∞[ et dont les images appartiennent à ℝ. Tout nombre réel b admet un unique antécédent a par ln, appartenant à ]0 ; +∞[. On écrit alors : b = ln (a). Il existe donc une fonction réciproque de la fonction ln, définie sur ℝ et dont les images appartiennent à ℝ+*. Définition : La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction définie sur ℝ qui à tout nombre réel x associe le nombre y strictement positif tel que ln (y) = x. x ℝ, y ℝ+*, exp (x) = y x = ln (y). Notation : D'après les propriétés de la fonction ln, on a : x = ln (e x) = ln (y). Ainsi on écrit également : e x = y = exp (x). Relations entre exp et ln : Pour tout x réel, on a : e x > 0 et ln (e x) = x. Pour tout x réel strictement positif, on a : e ln(x) = x. Variations et limites : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. On a : lim e x = 0 et lim e x = + ∞. x–∞ x+∞ Courbe et tableau de variations : Remarque : Pour tous réels a et b on a : ea = eb a = b et ea < eb a < b II) Propriétés ( Rappel : pour a et b réels strictement positifs, on a : ln (a b) = ln (a) + ln (b). ) Relation fonctionnelle : Soient a et b deux nombres réels. On a : e a + b = e a e b . De cette relation découlent plusieurs conséquences : e a – b = Exemples : e 2x + 3 = e 2x e 3 = (e x) 2 e 3. e 3 x 1 e 2 x4 a e 1 ; e – a = a et n ℤ, e na = (e a) n. b e e 1 e 3 x 12 x 4 e x 5 5 e x e III) Dérivées et primitives La fonction exponentielle est continue et dérivable sur ℝ, les formules suivantes sont admises. Dérivée : Soit x ℝ, on a : f(x) = e x. Alors f '(x) = e x. (La fonction exponentielle est sa propre dérivée.) Primitives : Soit x ℝ, on a : f(x) = e x. Alors les primitives de f sont de la forme Fk(x) = e x + k, où k est une constante réelle. Exemples : Soit f une fonction telle que : x ℝ, f(x) = 2 e x + 4. Alors x ℝ, f '(x) = 2 e x ; et les primitives de f sont de la forme Fk(x) = 2 e x + 4x + k. Cas des fonctions composées : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, soit f la fonction définie sur I par f(x) = e u(x). On a alors f dérivable sur I et x I : f '(x) = u'(x) e u(x) . Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, soit f la fonction définie sur I par f(x) = u'(x) e u(x). Les primitives de f sur I sont de la forme : Fk(x) = e u(x) + k , où k est une constante réelle. Exemple : Soit f une fonction telle que : x ℝ, f(x) = 2 e 3x + 2 + 5. Alors x ℝ, f '(x) = 2 3 e 3x + 2 = 6 e 3x + 2. Dérivée de x De plus, on a : f(x) = 3x + 2 2 3 e 3x + 2 + 5 3 Les primitives de f sont de la forme : Fk(x) = 2 3x + 2 e + 5x + k , où k est une constante réelle. 3 IV) Exponentielle de base a et fonctions puissances Définition : Soit a un nombre réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base a la fonction f telle que pour tout x appartenant à ℝ, on a : f(x) = a x = e x ln(a). Exemples : Les fonctions x 5 x , ou x 10 x sont des exponentielles de bases respectives 5 et 10. Définition : Soit a un nombre réel strictement positif. On appelle fonction puissance a la fonction f telle que pour tout x appartenant à ℝ+*, on a : f(x) = x a = e a ln(x). Exemples : Les fonctions x x 5 , ou x x 0,5 ou x x 5,9 sont des fonctions puissances. Remarque : Les fonctions puissances sont strictement croissantes. V) Croissances comparées On a pour tout n ℕ* : lim ex = + ∞. xn