Cours condense TES fonctions exponentielles

Terminale ES
Les fonctions exponentielles
I Fonction exponentielle de base q
Propriété - Définition
q désigne un nombre réel strictement positif. On considère le nuage de points représentatif
de la suite (qn).
Il existe une unique fonction f définie sur et qui satisfait aux conditions suivantes :
1. la courbe représentative de f réalise un prolongement continu de ce nuage;
2. f est dérivable sur ;
3. pour tous nombres réels x et y, f(x + y) = f(x) × f(y)
(On dit qu’il s’agit d’une relation fonctionnelle).
Cette fonction est appelée la fonction exponentielle de base q.
On note pour tout nombre réel x, f(x) = qx.
Cas 0 < q < 1
Cas q > 1
Points rouges : représentation graphique de la suite (qn).
Courbe noire : représentation graphique de la fonction x → qx.
II Conséquences de la relation fonctionnelle
Pour tous nombres réels x et y, la relation fonctionnelle se traduit par : qx+y = qx × qy .
Les fonctions exponentielles transforment les sommes en produits.
Conséquences :
1
qx
x–y
et
q
=
qx
qy
qx > 0.
• q-x =
•
x
q
•
Pour tout entier naturel n, (qx)n = qnx = (qn)x
2
=
qx et en particulier, q0,5 =
•
q
1
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III Sens de variation
Propriétés
Le sens de variation de la fonction x → qx est le même que celui de la suite géométrique
associée.
•
•
•
Si 0 < q < 1, la fonction x → qx est strictement décroissante sur
Si q = 1, la fonction x → qx est constante sur .
Si q > 1, la fonction x → qx est strictement croissante sur .
.
Conséquence :
Si q ≠ 1, alors pour tous nombres réels
a et b :
a
b
q = q ⇔ a = b
IV La fonction exponentielle x
Propriété - Définition
ex
Il existe une unique fonction x → qx qui admet pour nombre dérivé 1 en 0.
On note e la base de cette fonction exponentielle et e ≈ 2,718.
On dit que la fonction exponentielle de base e est la fonction exponentielle.
Elle se note exp : x → ex.
exp
T
Tangente en A(0,1) de coefficient
directeur égal à 1
Conséquences :
•
La fonction exponentielle est dérivable sur
•
exp(0) = e0 = 1
•
•
Pour tout réel x, ex > 0.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur
On en déduit que pour tous réels a et b :
ea = eb ⇔ a = b
ea < e b ⇔ a < b
exp(1) = e1 = e
et exp’(0) = 1.
1
exp(-1) = e-1 =
e
exp(0,5) = e0,5 =
e
(car e > 1).
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Propriétés algébriques :
Pour tous réels x et y et pour tout entier relatif n :
x
ex+y = ex×ey
e
x–y
ex
e2 =
ex
= y
e
e-x =
1
ex
(ex)n = enx
V Dérivée de la fonction exponentielle
Propriété
La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée.
Ainsi, pour tout réel x, exp’(x) = ex.
VI Courbe représentative de la fonction exponentielle
•
Tableau de variation de la fonction exponentielle :
x -∞
f'
f(x)
•
0
+∞
1
exp
+
T1
e
1
Equation de la tangente T0 à
exp
au point A(0,1) :
T0
exp’(0) = 1 donc T0 : y = 1(x – 0) + 1, soit y = x + 1
•
Equation de la tangente T1 à
exp
au point B(1,e) :
exp’(1) = e donc T1 : y = e(x – 1) + e, soit y = ex
VII Fonction dérivée de x
Propriété
eu(x)
Si la fonction u est dérivable sur un intervalle I, alors la fonction x
sur I et pour tout réel x de I : (eu)’(x) = u’(x) × eu(x).
eu(x) est dérivable
Conséquence :
u
Les fonctions u et e ont le même sens de variation sur l’intervalle I.
En effet, comme pour tout réel x de I e
u(x)
u
> 0 alors (e )’(x) et u’(x) ont le même signe.
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VIII Exemples types
Exemple 1 : les fonctions fk : x → e-kx avec k réel strictement positif.
Ces fonctions sont de la forme eu avec u(x) = - kx.
Elles sont donc dérivables sur et pour tout x réel :
f‘k(x) = -ke-kx ; donc f’k(x) < 0 : les fonctions fk (avec k > 0) sont strictement décroissantes
sur .
Exemple 2 : les fonctions gk : x → e-kx² avec k réel strictement positif.
Ces fonctions sont de la forme eu avec u(x) = - kx².
Elles sont donc dérivables sur et pour tout x réel :
g‘k(x) = -2kxe-kx² ; Or 2e-kx² > 0 donc g’k(x) a le même signe que –x.
les fonctions gk (avec k > 0) sont croissantes sur ]- ∞;0] et décroissantes sur [0;+ ∞[.
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