TES - Fonction exponentielle Cours LA FONCTION EXPONENTIELLE 1 Fonctions exponentielles de base q Definition 1.1 : Soit la suite géométrique (q n ) avec q ∈ R∗+ . La fonction exponentielle de base q est une fonction f définie et dérivable sur R tel que pour tout n ∈ N, f (n) = q n . On note alors f (x) = q x , pour tout x ∈ R. Propriété 1.1 : Sens de variation Soit q ∈ R∗+ . — Si 0 < q < 1 alors la fonction x 7→ q x est strictement décroissante sur R. — Si q = 1 alors la fonction x 7→ q x est constante sur R. — Si q > 1 alors la fonction x 7→ q x est strictement croissante sur R. Si q = 1 Si 0 < q < 1 −2 −1 Si q > 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 2 −2 1 −1 2 −2 1 −1 Propriété 1.2 : Relation fonctionnelle Soit f la fonction définie sur R par f (x) = q x avec q ∈ R∗+ . Alors pour tous réels x et y, on a f (x + y) = f (x)f (y) . Autrement dit, la fonction exponentielle transforme les sommes en produits. Propriété 1.3 : Propriétés algébriques Soient (x, y) ∈ R2 et n ∈ N. 1 2. q −x = x 1. q x+y = q x q y q 3. q x−y = qx qy 4. q nx = (q x )n Exemple 1.1 : — Pour chaque question, une seule réponse est juste. Laquelle ? 2−1 est égal à : a) 1 b) −2 c) 0, 5 3x+2 est égal à : a) 3x + 9 b) 9 × 3x c) 27x 5−x (2 + 5x ) est égal à : a) 1 + b) 5−x × 7x c) 10−x + 1 — Montrer que pour tout x ∈ R, 2 5x 0, 22x − 1 0, 2x − 0, 2−x = . 3 × 0, 2x 3 1 2 TES - Fonction exponentielle 2 Cours La fonction exponentielle Theoreme 2.1 : Il existe une unique fonction x 7→ q x qui admet pour nombre dérivé 1 en 0. Definition 2.1 : On note e la base de la fonction exponentielle du théorème précédent. Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée exp. Pour tout réel x, on a : exp : x 7→ ex et exp′ (0) = 1. Propriété 2.1 : On a exp(1) = e et e ≃ 2, 718 . 3 Étude de la fonction exponentielle Propriété 3.1 : (ex )′ = ex Autrement dit, la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. Propriété 3.2 : Pour tout x ∈ R, ex > 0 . Propriété 3.3 : La fonction exponentielle est strictement croissante sur R . Preuve : Pour tout x ∈ R, (ex )′ = ex et ex > 0. Propriété 3.4 : Soient x et y deux réels : x < y ⇔ ex < ey et x = y ⇔ ex = ey 2 2 Exemple 3.1 : Résoudre l’équation ex = (ex )2 et l’inéquation ex < (ex )2 . Tableau de variation et représentation graphique : x −∞ exp(x) +∞ 4 +∞ 3 0 y = ex y =x+1 2 La droite d’équation y = x + 1 est tangente en 0 à la courbe représentative de l’exponentielle. 1 −4 −3 −2 −1 Propriété 3.5 : Dérivée d’une fonction composée Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. ′ Alors la fonction x 7→ eu(x) est dérivable sur I et eu(x) = u′ (x) × eu(x) Exemple 3.2 : Calculer la dérivée des fonctions suivants. 2 f (x) = e−x ; g(x) = e6x−4 et h(x) = e−3x . Propriété 3.6 : Primitive Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction x 7→ u′ (x)eu(x) a pour primitive eu(x) Exemple 3.3 : Déterminer une primitive des fonctions suivants. 2 f (x) = 5e5x ; g(x) = e6x−4 et h(x) = 4x e−3x . 2 1 2