2 La fonction exponentielle

TES - Fonction exponentielle Cours
LA FONCTION EXPONENTIELLE
1 Fonctions exponentielles de base q
Definition 1.1 : Soit la suite géométrique (qn) avec q∈R∗+.
La fonction exponentielle de base qest une fonction fdéfinie et dérivable sur Rtel que pour
tout n∈N,f(n) = qn.
On note alors f(x) = qx, pour tout x∈R.
Propriété 1.1 :Sens de variation
Soit q∈R∗+.
— Si 0 < q < 1 alors la fonction x7→ qxest strictement décroissante sur R.
— Si q= 1 alors la fonction x7→ qxest constante sur R.
— Si q > 1 alors la fonction x7→ qxest strictement croissante sur R.
Si 0 < q < 1Si q= 1 Si q > 1
1
2
3
1 2−1−2
1
2
3
1 2−1−2
1
2
3
1 2−1−2
Propriété 1.2 :Relation fonctionnelle
Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = qxavec q∈R∗+.
Alors pour tous réels xet y, on a f(x+y) = f(x)f(y).
Autrement dit, la fonction exponentielle transforme les sommes en produits.
Propriété 1.3 :Propriétés algébriques
Soient (x, y)∈R2et n∈N.
1. qx+y=qxqy2. q−x=1
qx3. qx−y=qx qy4. qnx = (qx)n
Exemple 1.1 :
— Pour chaque question, une seule réponse est juste. Laquelle ?
2−1est égal à : a) 1 b) −2 c) 0,5
3x+2 est égal à : a) 3x+ 9 b) 9 ×3xc) 27x
5−x(2 + 5x) est égal à : a) 1 + 2
5xb) 5−x×7xc) 10−x+ 1
— Montrer que pour tout x∈R,0,22x−1
3×0,2x=0,2x−0,2−x 3.
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2 La fonction exponentielle
Theoreme 2.1 : Il existe une unique fonction x7→ qxqui admet pour nombre dérivé 1 en 0.
Definition 2.1 : On note ela base de la fonction exponentielle du théorème précédent.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée exp.
Pour tout réel x, on a : exp : x7→ exet exp′(0) = 1.
Propriété 2.1 : On a exp(1) = e et e ≃2,718 .
3 Étude de la fonction exponentielle
Propriété 3.1 : (ex)′= ex
Autrement dit, la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même.
Propriété 3.2 : Pour tout x∈R, ex>0.
Propriété 3.3 : La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
Preuve : Pour tout x∈R, (ex)′= exet ex>0.
Propriété 3.4 : Soient xet ydeux réels : x < y ⇔ex<eyet x=y⇔ex= ey
Exemple 3.1 : Résoudre l’équation ex2= (ex)2et l’inéquation ex2<(ex)2.
Tableau de variation et représentation graphique :
x
exp(x)
−∞ +∞
00
+∞+∞
La droite d’équation y=x+ 1 est tangente
en 0 à la courbe représentative de l’exponen-
tielle.
1
2
3
4
1 2−1−2−3−4
y= ex
y=x+ 1
Propriété 3.5 :Dérivée d’une fonction composée
Soit uune fonction dérivable sur un intervalle I.
Alors la fonction x7→ eu(x)est dérivable sur I et eu(x)′
=u′(x)×eu(x)
Exemple 3.2 : Calculer la dérivée des fonctions suivants.
f(x) = e−x;g(x) = e6x−4et h(x) = e−3x2.
Propriété 3.6 :Primitive
Soit uune fonction dérivable sur un intervalle I.
Alors la fonction x7→ u′(x)eu(x)a pour primitive eu(x)
Exemple 3.3 : Déterminer une primitive des fonctions suivants.
f(x) = 5e5x;g(x) = e6x−4et h(x) = 4xe−3x2.
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