Cours sur la fonction exponentielle STL

Chapitre 6
terminale Stl
La fonction exponentielle
1 – Création et premières propriétés :
1) Approche : La fonction ln est continue (sa courbe se trace en une fois) et strictement croissante de ]0; +∞[ vers ]−∞; +∞[ .
Donc tout nombre réel admet un antécédent unique dans ]0; +∞[ par la fonction ln.
2) Définition : Pour tout nombre réel x, le nombre exp(x) est l’unique solution de l’équation d’inconnue y définie par : ln y = x.
On définie ainsi la fonction exponentielle définie sur ℝ qui à chaque réel x associe le nombre exp(x).
3) Propriétés :
a) Pour tout réel x et tout réel strictement positif y, y = exp(x) équivaut à ln y = x.
b) Pour tout réel x de ℝ , ln ( e x ) = x .
c) Pour tout réel x > 0, e ln x = x .
d) exp(0) = 1 et exp(1) = e. En effet y = exp(0) équivaut à ln y = 0 donc y = 1 et y = exp(1) équivaut à ln y = 1 donc y = e.
e) Pour tout entier relatif, on a ln exp(n) = n. Or ln e n = n . Par unicité on remarque que exp(n) = en . On peut montrer en
généralisant que pour tout réel x, exp(x) = e x . (Notation d’Euler). Nous utiliserons cette notation.
2) propriétés de calculs :
1) Relation fonctionnelle : Pour tout réels x et y, e x + y = e x × e y .
2) Conséquences : Pour tous réels x et y et tout entier relatif n
n
y
1
ex
b) e x− y = y
a) e−x = x
c) e nx = (e x ) (alors e x = e xy )
e
e
( )
1
d)
x
ex = e 2 .
3 – Etude de la fonction exponentielle :
1) Signe : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ . Pour tout x, e x > 0 .
2) Continuité : La fonction exponentielle est continue sur ℝ .
3) Dérivée : La fonction exp est dérivable sur ℝ et pour tout x, (e x )′ = e x .
4) Variations : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ .
Démonstration : (e x )′ = e x > 0 pour tout x.
Remarque : La courbe de la fonction ln et de la fonction exp sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
5) Limites : lim e x = +∞ et lim e x = 0 .(La droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe en −∞ ).
x →+∞
x →−∞
6) Tableau de variation et courbe :
x
-
+
f'(x)
+
exp(x)
0
7) Propriétés diverses :
a) Ordre : ea ≤ e b ssi a ≤ b .
b) Egalité : e a = e b ssi a = b .
c) Comparaison à 1 : Si x < 0 alors 0 < e x < 1 et si x > 0 alors e x > 1 .
8) Formes indéterminées :
ex
ex
= +∞ plus généralement, lim n = +∞ pour n > 0.
a) lim
x →+∞ x
x →+∞ x
x
b) lim xe = 0 plus généralement, lim x n e x = 0 pour n > 0.
x →−∞
x →−∞
9) Inverse : lim e−x = 0 et lim e−x = +∞
x →+∞
x →−∞
10) Dérivée de l’exponentielle d’une fonction : Soit u une fonction dérivable sur I alors la fonction x ֏ e
(
et pour tout x de I : e
u( x )
u (x )
est dérivable sur I
)′ = u ′ (x)×e ( ) .
u x
11) Primitive associée à l’exponentielle d’une fonction : Soit u une fonction dérivable sur I alors la fonction u ′e u admet des
primitives sur I de la forme e u + C .
12) Limites composées : Si lim u ( x ) = b et lim e X = c alors lim e
x →a
X→b
x →a
u( x)
=c.
3 – Fonction exponentielle de base 10 :
1) Définition : Pour tout nombre réel x, le nombre 10 x est l’unique solution de l’équation d’inconnue y définie par : log y = x.
On définie ainsi la fonction exponentielle de base 10 définie sur ℝ qui à chaque réel x associe le nombre 10 x .
2) Remarque : On peut écrire 10 x = e x ln10 . En effet log e x ln10 =
ln e x ln10 x ln10
=
= x . On conclue par unicité de la solution de
ln10
ln10
l’équation précédente.
3) Propriété : Pour tous réel a et b, 10a + b = 10 a × 10 b .
4) Conséquence : La fonction exponentielle de base 10 possède exactement les mêmes propriétés (variations, signe, limite,
formules) que la fonction exp.
4 – Les fonctions puissances :
1) Définition : Soit un réel α > 0 . On appelle fonction puissance, la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f ( x ) = x α = eα ln x .
2) Variations : Les fonctions puissances telles que définies sont strictement croissantes sur ]0; +∞[ .
Démonstration : f ′ ( x ) =
α α ln x
e
> 0 sur ]0; +∞[ .
x
3) Limites et courbe :
a) lim x α = 0 et lim x α = +∞ .
x →0
b) Courbe :
x →+∞