Cours sur la fonction exponentielle STL

Chapitre 6 terminale Stl
La fonction exponentielle
1 – Création et premières propriétés :
1) Approche : La fonction ln est continue (sa courbe se trace en une fois) et strictement croissante de
]
[
0;
+∞
vers
]
[
;
−∞ +∞
.
Donc tout nombre réel admet un antécédent unique dans
]
[
0;
+∞
par la fonction ln.
2) Définition : Pour tout nombre réel x, le nombre exp(x) est l’unique solution de l’équation d’inconnue y définie par : ln y = x.
On définie ainsi la fonction exponentielle définie sur
ℝ
qui à chaque réel x associe le nombre exp(x).
3) Propriétés :
a) Pour tout réel x et tout réel strictement positif y, y = exp(x) équivaut à ln y = x.
b) Pour tout réel x de
ℝ
,
(
)
x
ln e x
=
.
c) Pour tout réel x > 0, ln x
e x
=
.
d) exp(0) = 1 et exp(1) = e. En effet y = exp(0) équivaut à ln y = 0 donc y = 1 et y = exp(1) équivaut à ln y = 1 donc y = e.
e) Pour tout entier relatif, on a ln exp(n) = n. Or n
lne n
=
. Par unicité on remarque que
n
exp(n) e
=
. On peut montrer en
généralisant que pour tout réel x,
x
exp(x) e
=
. (Notation d’Euler). Nous utiliserons cette notation.
2) propriétés de calculs :
1) Relation fonctionnelle : Pour tout réels x et y,
x y x y
e e e
+
= ×
.
2) Conséquences : Pour tous réels x et y et tout entier relatif n
a)
x
x
1
e
e
−
= b)
x
x y
y
e
e
e
−
= c)
(
)
n
nx x
e e
=
(alors
(
)
y
x xy
e e
=
) d)
1
x
x
2
e e
= .
3 – Etude de la fonction exponentielle :
1) Signe : La fonction exponentielle est strictement positive sur
ℝ
. Pour tout x,
x
e 0
>
.
2) Continuité : La fonction exponentielle est continue sur
ℝ
.
3) Dérivée : La fonction exp est dérivable sur
ℝ
et pour tout x,
(
)
x x
e e
′
=
.
4) Variations : La fonction exponentielle est strictement croissante sur
ℝ
. Démonstration :
(
)
x x
e e 0
′
= >
pour tout x.
Remarque : La courbe de la fonction ln et de la fonction exp sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
5) Limites :
x
x
lim e
→+∞
= +∞
et
x
x
lim e 0
→−∞
=
.(La droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe en
−∞
).
6) Tableau de variation et courbe :
x
f'(x)
exp(x)
-
0
+
+

7) Propriétés diverses :
a) Ordre :
a b
e e
≤
ssi
a b
≤
.
b) Egalité :
a b
e e
=
ssi
a b
=
.
c) Comparaison à 1 : Si x < 0 alors
x
0 e 1
< <
et si x > 0 alors x
e 1
>
.
8) Formes indéterminées :
a)
x
x
e
lim
x
→+∞
= +∞
plus généralement,
x
n
x
e
lim
x
→+∞
= +∞
pour n > 0.
b)
x
x
lim xe 0
→−∞
=
plus généralement,
n x
x
lim x e 0
→−∞
=
pour n > 0.
9) Inverse :
x x
x x
lim e 0 et lim e
− −
→+∞ →−∞
= = +∞
10) Dérivée de l’exponentielle d’une fonction : Soit u une fonction dérivable sur I alors la fonction
(
)
u x
x e
֏
est dérivable sur I
et pour tout x de I :
( )
(
)
( )
( )
u x u x
e u x e
′′
= × .
11) Primitive associée à l’exponentielle d’une fonction : Soit u une fonction dérivable sur I alors la fonction
u
u e
′
admet des
primitives sur I de la forme
u
e C
+
.
12) Limites composées : Si
(
)
x a
limu x b
→
=
et
X
X b
lime c
→
=
alors
(
)
u x
x a
lime c
→
=
.
3 – Fonction exponentielle de base 10 :
1) Définition : Pour tout nombre réel x, le nombre
x
10
est l’unique solution de l’équation d’inconnue y définie par : log y = x.
On définie ainsi la fonction exponentielle de base 10 définie sur
ℝ
qui à chaque réel x associe le nombre
x
10
.
2) Remarque : On peut écrire
x xln10
10 e=. En effet
xln10
xln10
lne xln10
loge x
ln10 ln10
= = =
. On conclue par unicité de la solution de
l’équation précédente.
3) Propriété : Pour tous réel a et b,
a b a b
10 10 10
+= × .
4) Conséquence : La fonction exponentielle de base 10 possède exactement les mêmes propriétés (variations, signe, limite,
formules) que la fonction exp.
4 – Les fonctions puissances :
1) Définition : Soit un réel
0
α >
. On appelle fonction puissance, la fonction f définie sur
]
[
0;
+∞
par
(
)
ln x
f x x e
α α
= = .
2) Variations : Les fonctions puissances telles que définies sont strictement croissantes sur
]
[
0;
+∞
.
Démonstration :
( )
ln x
f x e 0
x
α
α
′
= >
sur
]
[
0;
+∞
.
3) Limites et courbe :
a)
x 0
limx 0
α
→
=
et
x
lim x
α
→+∞
= +∞
.
b) Courbe :