Formes bilinéaires symétriques

Formes bilin´eaires sym´etriques
Licence-L2 Math´ematiques
H. Lombardi(∗)
18 septembre 2008
Livres de r´ef´erence
–Jacqueline Lelong-Ferrand, Jean-Marie Arnaudi` es.
Cours de math´ematiques 1 Alg`ebre. Dunod. R´e´edition 2003.
–Joseph Griffone.Alg`ebre lin´eaire. C´epadu`es-´ Editions. 1990.
–Jean-Pierre Escofier.Toute l’alg`ebre du 1er cycle. Dunod. 2002.
NB : ces notes de cours correspondent au programme 2007-2008.
Table des mati`eres
C’est ici ! ........................................... i
1 Formes bilin´eaires sym´etriques. Premiers pas. 1
1.1 Introduction ...................................... 1
1.2 Rappels sur les applications lin´eaires, les formes lin´eaires . . . ........... 2
Applications lin´eaires ................................. 2
Formes lin´eaires .................................... 3
Ind´ependance lin´eaire de vecteurs .......................... 4
Ind´ependance lin´eaire de formes lin´eaires ...................... 4
1.3 Forme bilin´eaire sur le produit de deux espaces vectoriels ............. 4
Expression matricielle d’une forme bilin´eaire .................... 6
Formule de changement de base ........................... 6
Forme bilin´eaire non d´eg´en´er´ee ........................... 7
1.4 Forme bilin´eaire sym´etrique sur un espace vectoriel ................ 7
Expression matricielle sur une base ......................... 7
Orthogonalit´e, diagonalisation d’une forme bilin´eaire sym´etrique ........ 8
2 Espaces vectoriels euclidiens 9
2.1 Produit scalaire et norme ............................... 9
Produit scalaire .................................... 9
In´egalit´e de Cauchy-Schwarz, norme, distance ................... 9
∗Equipe de Math´ematiques, UMR CNRS 6623, UFR des Sciences et Techniques, Universit´e de Franche-
Comt´e, 25030 BESANCON cedex, FRANCE, email: [e-mail]
i

ii Math´ematiques. L2. TABLE DES MATI ` ERES
2.2 Orthogonalit´e ..................................... 10
Proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt ................... 10
Bases orthonorm´ees et matrices orthogonales .................... 11
Dualit´e ......................................... 11
Sous-espaces orthogonaux .............................. 11
2.3 Orientation et volume ................................ 12
Produit mixte et volume ............................... 13
Produit vectoriel (en dimension n>3) ....................... 13
3 Applications lin´eaires/orthogonalit´e 15
3.1 Op´erateur adjoint ................................... 15
3.2 Endomorphismes sym´etriques d’un espace vectoriel euclidien ........... 15
Premi`eres propri´et´es ................................. 15
Diagonalisation sur une base orthonorm´ee ..................... 16
3.3 Formes bilin´eaires sym´etriques sur un espace euclidien .............. 17
G´eom´etrie d’une application lin´eaire entre deux espaces euclidiens ........ 17
3.4 Isom´etries d’un espace vectoriel euclidien ..................... 18
Le groupe orthogonal ................................. 18
Isom´etries en dimension 2 .............................. 18
Isom´etries en dimension 3 .............................. 20
Isom´etries en dimension finie arbitraire ....................... 21
4 Espaces hermitiens (complexes) 23
4.1 Produit scalaire hermitien .............................. 23
D´efinitions ....................................... 23
Proc´ed´e d’othogonalisation de Gram-Schmidt ................... 24
In´egalit´e de Cauchy-Schwarz ............................. 24
Bases orthonorm´ees et matrices unitaires ...................... 25
Dualit´e ......................................... 25
Orthogonalit´e ..................................... 25
4.2 Endomorphismes hermitiens ............................. 26
Diagonalisation sur une base orthonorm´ee ..................... 27
4.3 Isom´etries lin´eaires (applications unitaires) ..................... 27
Le groupe unitaire .................................. 27
Diagonalisation sur une base orthonorm´ee ..................... 28
4.4 Compl´ements ..................................... 28
Diagonalisation d’une forme hermitienne ...................... 28
G´eom´etrie d’une application lin´eaire entre deux espaces hermitiens ....... 29
Diagonalisation des endomorphismes normaux ................... 29
5 Formes bilin´eaires sym´etriques. Th´eorie g´en´erale. 31
5.1 Matrice de Gram ................................... 31
5.2 Orthogonalit´e, isotropie ............................... 32
Vecteurs et sous-espaces orthogonaux ........................ 32
Noyau et rang ..................................... 33
Restriction d’une forme bilin´eaire sym´etrique `a un sous-espace vectoriel . . . . 33
Vecteurs et sous-espaces isotropes .......................... 34
5.3 Base orthogonale, (( diagonalisation )) ........................ 34
Base orthonormales .................................. 36

TABLE DES MATI ` ERES iii
Cas des espaces complexes .............................. 36
Cas des espaces r´eels ................................. 36
6 Formes quadratiques 39
6.1 D´efinitions, propri´et´e caract´eristique ........................ 39
6.2 R´eduction d’une forme quadratique ......................... 40
La m´ethode de Gauss ................................. 40
7 Coniques et quadriques affines 43
7.1 Espaces r´eels affines .................................. 43
Introduction au plan r´eel affine ........................... 43
D´efinition moderne d’un espace affine r´eel ..................... 44
Remarques diverses .................................. 45
Changement de rep`ere affine ............................. 45
Fonctions polynomiales sur un espace affine .................... 46
Polynˆomes de degr´e 62 sur une droite affine .................... 46
7.2 Les coniques ...................................... 47
Classification compl`ete des polynˆomes de degr´e 62................ 47
Dans quelle mesure une courbe de degr´e 2 est-elle d´etermin´ee par son ´equation ? 48
Coniques d´eg´en´er´ees ................................. 48
7.3 Les quadriques .................................... 50
L’herbier des quadriques non d´eg´en´er´ees ...................... 50
Classification compl`ete en degr´e 2 .......................... 52
8 Compl´ements de g´eom´etrie 53
8.1 La m´ethode des moindres carr´es ........................... 53
8.2 Les isom´etries affines ................................. 53
8.3 Coniques ........................................ 54
Ellipses, hyperboles et paraboles ........................... 54
Intersection avec une droite ............................. 56
Sym´etries d’une conique ............................... 57
Sections coniques ................................... 57
Points conjug´es par rapport `a une conique ..................... 58
Les deux formes quadratiques associ´ees `a une conique ............... 59
8.4 Quadriques ...................................... 60
Les droites qui coupent trois droites de l’espace .................. 60
Intersection avec un plan ............................... 60
Points conjugu´es par rapport `a une quadrique ................... 60
Les deux formes quadratiques associ´ees `a une quadrique .............. 60

1 Formes bilin´eaires sym´etriques. Premiers pas.
Contexte
Nous ´etudions certains objets qui se pr´esentent naturellement dans le cadre des espaces
vectoriels.
Ces espaces vectoriels seront des espaces vectoriels sur un corps Ktel que Q,R,Q[√−1]
ou C.
Il seront presque toujours de dimension finie, mais quelques d´efinitions et r´esultats n’utilisent
pas cette hypoth`ese.
L’histoire commence avec la g´eom´etrie euclidienne et le th´eor`eme de Pythagore, elle se
poursuit avec les g´eom´etries non euclidiennes, les s´eries de Fourier, la m´ethode des moindres
carr´es en analyse num´erique, et les espaces de Hilbert en analyse abstraite (´etude des espaces de
fonctions, o`u chaque fonction est vue comme un simple point d’un espace de Hilbert, `a d´efinir
avec soin).
1.1 Introduction
Introduisons notre sujet avec un peu de g´eom´etrie et le th´eor`eme de Pythagore.
Rappelons tout d’abord un ´enonc´e de ce th´eor`eme.
Th´eor`eme 1.1 Si ABC est un triangle rectangle en Balors le carr´e construit sur l’hy-
poth´enuse AC est la somme des carr´es construits sur les cot´es BA et BC.
Une preuve du th´eor`eme de Pythagore repose toujours sur un minimum de th´eorie des
parall`eles. Cette th´eorie permet par exemple d’affirmer que si un quadrilat`ere a 3 angles droits,
alors le quatri`eme angle est droit aussi. Un autre pr´esuppos´e est qu’une figure peut ˆetre d´eplac´ee
d’un endroit `a un autre dans le plan.
La figure ci-dessous peut servir `a prouver le th´eor`eme de Pythagore (( par puzzle )). Les
pr´esuppos´es concernant la th´eorie des parall`eles sont visualis´es sur la figure par le papier qua-
drill´e, qui n’existe que parce que la somme des angles d’un quadrilat`ere est ´egale `a 4 angles
droits. L’aire mesur´ee en carreaux des deux petits carr´es est respectivement de 16 et 121, donc
l’aire du grand est de 137. Sous forme alg´ebrique : a2+b2+ 2ab = (a+b)2=c2+ 2ab.
Figure 1 – Pythagore par puzzle soustractif