Notes de cours - CPGE Dupuy de Lôme

Notes de cours
Endomorphismes d’un espace euclidien
PC, Lycée Dupuy de Lôme
(E, < . >) est un espace euclidien
1
Endomorphismes symétrique
1.1
Définition
Définition Soit u ∈ L(E). On dit que u est symétrique si :
∀x, y ∈ E, < u(x), y >=< x, u(y) >
Remarque L’ensemble des endomorphismes symétriques, noté S(E), est un sous espace vectoriel de
L(E).
Proposition Soit p ∈ L(E) un projecteur. Les assertions suivantes sont équivalentes :
– p est un projecteur orthogonal.
– p est symétrique.
Preuve Déjà vu dans le cours sur les espaces euclidiens.
Exemple On munit E = Rn [X] du produit scalaire :
Z
∀f, g ∈ E, < f, g >=
1
f (t)g(t)dt
0
Montrer que l’endomorphisme T de E défini comme suit est symétrique :
T (P ) = (2X − 1)P 0 + X(X − 1)P 00
1.2
Caractérisation matricielle
Proposition Soit u ∈ L(E) et B une base orthonormale de E. Les assertions suivantes sont équivalentes :
– u est symétrique.
– M atB (u) est symétrique
Preuve ...
Exemple Reconnaı̂tre l’endomorphisme f :
f : (x, y) → (
1.3
x+y x+y
,
)
2
2
Etude de t A
Le produit scalaire est le produit scalaire usuel sur Mn,1 (R) :
< X, Y >=
n
X
xk yk =t XY
k=1
Rappel Pour tout A ∈ Mn (R), X, Y ∈ Mn,1 (R) :
< AX, Y >=< X,t AY >
Proposition Soit A ∈ Mn (R)
1
– Ker(t A) = Im(A)⊥
– Im(t A) = Ker(A)⊥
Preuve ...
Proposition Soit A ∈ Mn (R).
– t AA et At A sont symétriques.
– Ker(t AA) = Ker(A)
– Im(At A) = Im(A)
Proposition Soit F un sous espace vectoriel de Rn . Soit A ∈ Mn (R). On a l’équivalence :
– F est stable par A
– F ⊥ est stable par t A.
Exemple Trouver les sous espaces stables de A :

1 −1
 1 0
0 1
2
2.1

1
0 
0
Automorphismes orthogonaux
Définition
Définition Soit u ∈ L(E). On dit que u est un automorphisme orthogonal si :
∀x, y ∈ E, < u(x), u(y) >=< x, y >
Proposition Soit u ∈ L(E), les assertions suivantes sont équivalentes :
– u est orthogonal.
– ∀x ∈ E, ku(x)k = kxk
Remarque Cette condition implique que u est un automorphisme, d’où la terminologie.
Remarque Un projecteur orthogonal n’est pas un orthogonal.
Définition-Proposition On note O(E) l’ensemble des automorphismes orthogonaux de E. (O(E), o)
est un groupe.
Remarque Si f ∈ O(E), Sp(f ) ⊂ {−1, 1}
2.2
Caractérisation matricielle
Proposition Soit u ∈ L(E), B une base orthonormale de E, M = M atB (u). On a l’équivalence :
– u est un automorphisme orthogonal.
– M tM = M tM = I
Remarque En pratique l’une des deux relation M t M = I ou t M M = I implique l’autre.
Vocabulaire Une matrice vérifiant cette condition est dite orthogonale, l’ensemble des matrices orthogonales est noté On (R), c’est un sous groupe de GLn (R).
Remarque Si M ∈ On (R), det(M ) = ±1
2.3
Caractérisation des bases orthonormées
Proposition Soit M ∈ Mn (R). On note C1 , · · · , Cn ses colonnes. On a l’équivalence :
– M ∈ On (R)
– (C1 , · · · , Cn ) est une base orthonormée de Rn
Proposition Soit u ∈ L(E) et (e1 , · · · , en ) une base orthonormée de E. On a l’équivalence :
– u ∈ O(E)
– (u(e1 ), · · · , u(en )) est une base orthonormée de E
Remarque Une matrice de passage entre bases orthonormées est orthogonale.
Exemple Soit u ∈ O(E). Soit F un sous espace de E stable par u. Montrer que F ⊥ l’est aussi.
2
2.4
Symétries orthogonales
Définition Soit s ∈ L(E).
– On dit que s est une symétrie si s2 = id.
– Lorsque s est une symétrie E = Ker(s−id)⊕Ker(s+id). Il s’agit de la symétrie sur Ker(s−id)
parallèlement à Ker(s + id).
– Une symétrie s est dite orthogonale si les espaces Ker(s − id) et Ker(s + id) sont orthogonaux.
– On appelle réflexion une symétrie orthogonale s tel que Ker(s − id) est un hyperplan de E.
Preuve ...
Proposition Soit s ∈ L(E) une symétrie. On a l’équivalence :
– s est une symétrie orthogonale
– s ∈ O(E)
Proposition Soit s une réflexion de E, alors det(s) = −1
Exemple Soit a ∈ E, a 6= 0 Soit s la réflexion par rapport à V ect(a)⊥ . Alors :
∀x ∈ E, s(x) = x − 2
< x, a >
a
kak2
Exemple Soit (i, j, k) une base orthonormée de R3 . Décrire géométriquement l’endomorphisme dont
la matrice dans la base (i, j, k) est :


1 −2 −2
1
−2 1 −2 
3
−2 −2 1
2.5
Rotations
Définition On appelle rotation tout u ∈ L(E) tel que u ∈ O(E), det(u) = 1
Rappel Soit r une rotation de E.
– Si dim(E) = 2, la matrice de r dans n’importe quelle base orthonormée de E est de la forme :
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
– Si dim(E) = 3 et E orienté, il existe une base dans laquelle la matrice de r est de la forme :


1
0
0
 0 cos(θ) − sin(θ) 
0 sin(θ) cos(θ)
Lorsque r 6= id, l’espace Ker(r − id) est de dimension 1 et est appelé axe de la rotation, θ est
appelé angle de la rotation, il est unique modulo 2π. On a :
cos(θ) =
1
(T r(r) − 1) , sin(θ) = det(u, r(u), a)
2
où a est un vecteur directeur unitaire de l’axe de r et u un vecteur unitaire orthogonal à a.
Exemple Décrire géométriquement l’endomorphisme de R2 dont la matrice dans la base canonique
est :
√
3 √
−1
1
3
Exemple Prouver que M est la matrice d’une rotation dont on déterminera les éléments caractéristiques.
√ 

3
1
√6
1

M=
1
√
√3 − 6
4
− 6
6
2
3
3
Théorème spectral
3.1
Enoncé
Proposition Soit u ∈ S(E).
– χu est scindé sur R, toutes les valeurs propres de u sont réelles.
– Les sous espaces propres de u sont orthogonaux
– Si F est un sous espace vectoriel stable par u, alors F ⊥ aussi.
Preuve ...
Remarque On dispose de résultats analogues pour les matrices.
Théorème (version endomorphisme) Soit u ∈ S(E). Il existe une base orthonormée de vecteurs
propres pour u.
Preuve ..
Théorème (version matrice) Soit M ∈ Sn (R). M est diagonalisable en base orthonormée : Il existe
P ∈ On (R) et D diagonale telle que :
M = P DP −1
Remarque Dans ce cas, le calcul de P −1 est simple : P −1 =t P
Remarque Le théorème est faux pour une matrice symétrique complexe. Par exemple :
1 i
i −1
Remarque La réciproque est vrai (et souvent inutile).
3.2
Aspect concret
Remarque Pour diagonaliser une matrice symétrique, on procède comme d’habitude sauf qu’il faut
prendre des bases orthonormées des espaces propres.
Exemple Diagonaliser dans une base orthonormée la matrice M


1 1 1
M = 1 1 1 
1 1 1


0 − 21 0
0 0 
M =  − 21
0
0 1
3.3
Application à la résolution d’équations
Exemple Trouver les matrices A ∈ Sn (R) telles que A + A2 + A3 + A4 + A5 = 0
Exemple Soit u ∈ S(E). Montrer qu’il existe v ∈ S(E) tel que v 3 = u
Exemple Soit A ∈ Sn (R). Montrer l’équivalence des assertions :
– Sp(A) ⊂ [0, +∞[
– Il existe B ∈ Mn (R) tel que A =t BB
3.4
Application à l’étude d’inéquations
Exemple Soit u ∈ S(E). Soit λ la plus grande valeur propre de u. Montrer que
λ = Sup{< u(x), x >, kxk ≤ 1}
Exemple Soit A ∈ Sn (R) tel que Sp(A) ⊂]0, +∞[. Prouver que :
1
det(A) n ≤
1
T r(A)
n
Exemple Soit A ∈ Sn (R), A 6= 0. Prouver que
(T r(A))2
≤ rg(A)
T r(A2 )
4