Notes de cours - CPGE Dupuy de Lôme

Notes de cours
Endomorphismes d’un espace euclidien
PC, Lyc´ee Dupuy de Lˆome
(E, < . >) est un espace euclidien
1 Endomorphismes sym´etrique
1.1 D´efinition
D´efinition Soit u∈ L(E). On dit que uest sym´etrique si :
∀x, y ∈E, < u(x), y >=< x, u(y)>
Remarque L’ensemble des endomorphismes sym´etriques, not´e S(E), est un sous espace vectoriel de
L(E).
Proposition Soit p∈ L(E) un projecteur. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
–pest un projecteur orthogonal.
–pest sym´etrique.
Preuve D´ej`a vu dans le cours sur les espaces euclidiens.
Exemple On munit E=Rn[X] du produit scalaire :
∀f, g ∈E, < f, g >=Z1
0
f(t)g(t)dt
Montrer que l’endomorphisme Tde Ed´efini comme suit est sym´etrique :
T(P) = (2X−1)P0+X(X−1)P00
1.2 Caract´erisation matricielle
Proposition Soit u∈ L(E) et Bune base orthonormale de E. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
–uest sym´etrique.
–MatB(u) est sym´etrique
Preuve ...
Exemple Reconnaˆıtre l’endomorphisme f:
f: (x, y)→(x+y
2,x+y 2)
1.3 Etude de tA
Le produit scalaire est le produit scalaire usuel sur Mn,1(R) :
< X, Y >=
n
X
k=1
xkyk=tXY
Rappel Pour tout A∈ Mn(R), X, Y ∈ Mn,1(R) :
< AX, Y >=< X,tAY >
Proposition Soit A∈ Mn(R)
1

–Ker(tA) = Im(A)⊥
–Im(tA) = Ker(A)⊥
Preuve ...
Proposition Soit A∈ Mn(R).
–tAA et AtAsont sym´etriques.
–Ker(tAA) = Ker(A)
–Im(AtA) = Im(A)
Proposition Soit Fun sous espace vectoriel de Rn. Soit A∈ Mn(R). On a l’´equivalence :
–Fest stable par A
–F⊥est stable par tA.
Exemple Trouver les sous espaces stables de A:
1−1 1
100
010
2 Automorphismes orthogonaux
2.1 D´efinition
D´efinition Soit u∈ L(E). On dit que uest un automorphisme orthogonal si :
∀x, y ∈E, < u(x), u(y)>=< x, y >
Proposition Soit u∈ L(E), les assertions suivantes sont ´equivalentes :
–uest orthogonal.
–∀x∈E,ku(x)k=kxk
Remarque Cette condition implique que uest un automorphisme, d’o`u la terminologie.
Remarque Un projecteur orthogonal n’est pas un orthogonal.
D´efinition-Proposition On note O(E) l’ensemble des automorphismes orthogonaux de E. (O(E), o)
est un groupe.
Remarque Si f∈ O(E), Sp(f)⊂ {−1,1}
2.2 Caract´erisation matricielle
Proposition Soit u∈ L(E), Bune base orthonormale de E,M=MatB(u). On a l’´equivalence :
–uest un automorphisme orthogonal.
–MtM=MtM=I
Remarque En pratique l’une des deux relation MtM=Iou tMM =Iimplique l’autre.
Vocabulaire Une matrice v´erifiant cette condition est dite orthogonale, l’ensemble des matrices or-
thogonales est not´e On(R), c’est un sous groupe de GLn(R).
Remarque Si M∈ On(R), det(M) = ±1
2.3 Caract´erisation des bases orthonorm´ees
Proposition Soit M∈ Mn(R). On note C1,··· , Cnses colonnes. On a l’´equivalence :
–M∈ On(R)
– (C1,··· , Cn) est une base orthonorm´ee de Rn
Proposition Soit u∈ L(E) et (e1,··· , en) une base orthonorm´ee de E. On a l’´equivalence :
–u∈ O(E)
– (u(e1),··· , u(en)) est une base orthonorm´ee de E
Remarque Une matrice de passage entre bases orthonorm´ees est orthogonale.
Exemple Soit u∈ O(E). Soit Fun sous espace de Estable par u. Montrer que F⊥l’est aussi.
2

2.4 Sym´etries orthogonales
D´efinition Soit s∈ L(E).
– On dit que sest une sym´etrie si s2=id.
– Lorsque sest une sym´etrie E=Ker(s−id)⊕Ker(s+id). Il s’agit de la sym´etrie sur Ker(s−id)
parall`element `a Ker(s+id).
– Une sym´etrie sest dite orthogonale si les espaces Ker(s−id) et Ker(s+id) sont orthogonaux.
– On appelle r´eflexion une sym´etrie orthogonale stel que Ker(s−id) est un hyperplan de E.
Preuve ...
Proposition Soit s∈ L(E) une sym´etrie. On a l’´equivalence :
–sest une sym´etrie orthogonale
–s∈ O(E)
Proposition Soit sune r´eflexion de E, alors det(s) = −1
Exemple Soit a∈E,a6= 0 Soit sla r´eflexion par rapport `a V ect(a)⊥. Alors :
∀x∈E, s(x) = x−2< x, a >
kak2a
Exemple Soit (i, j, k) une base orthonorm´ee de R3. D´ecrire g´eom´etriquement l’endomorphisme dont
la matrice dans la base (i, j, k) est :
1
3
1−2−2
−2 1 −2
−2−2 1
2.5 Rotations
D´efinition On appelle rotation tout u∈ L(E) tel que u∈ O(E), det(u) = 1
Rappel Soit rune rotation de E.
– Si dim(E) = 2, la matrice de rdans n’importe quelle base orthonorm´ee de Eest de la forme :
cos(θ)−sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
– Si dim(E) = 3 et Eorient´e, il existe une base dans laquelle la matrice de rest de la forme :
1 0 0
0 cos(θ)−sin(θ)
0 sin(θ) cos(θ)
Lorsque r6=id, l’espace Ker(r−id) est de dimension 1 et est appel´e axe de la rotation, θest
appel´e angle de la rotation, il est unique modulo 2π.Ona:
cos(θ) = 1
2(T r(r)−1) ,sin(θ) = det(u, r(u), a)
o`u aest un vecteur directeur unitaire de l’axe de ret uun vecteur unitaire orthogonal `a a.
Exemple D´ecrire g´eom´etriquement l’endomorphisme de R2dont la matrice dans la base canonique
est : √3−1
1√3
Exemple Prouver que Mest la matrice d’une rotation dont on d´eterminera les ´el´ements caract´eristiques.
M=1
4
3 1 √6
1 3 −√6
−√6√6 2
3

3 Th´eor`eme spectral
3.1 Enonc´e
Proposition Soit u∈ S(E).
–χuest scind´e sur R, toutes les valeurs propres de usont r´eelles.
– Les sous espaces propres de usont orthogonaux
– Si Fest un sous espace vectoriel stable par u, alors F⊥aussi.
Preuve ...
Remarque On dispose de r´esultats analogues pour les matrices.
Th´eor`eme (version endomorphisme) Soit u∈ S(E). Il existe une base orthonorm´ee de vecteurs
propres pour u.
Preuve ..
Th´eor`eme (version matrice) Soit M∈ Sn(R). Mest diagonalisable en base orthonorm´ee : Il existe
P∈ On(R) et Ddiagonale telle que :
M=P DP −1
Remarque Dans ce cas, le calcul de P−1est simple : P−1=tP
Remarque Le th´eor`eme est faux pour une matrice sym´etrique complexe. Par exemple :
1i
i−1
Remarque La r´eciproque est vrai (et souvent inutile).
3.2 Aspect concret
Remarque Pour diagonaliser une matrice sym´etrique, on proc`ede comme d’habitude sauf qu’il faut
prendre des bases orthonorm´ees des espaces propres.
Exemple Diagonaliser dans une base orthonorm´ee la matrice M
M=
111
111
111
M=
0−1
20
−1
20 0
0 0 1
3.3 Application `a la r´esolution d’´equations
Exemple Trouver les matrices A∈ Sn(R) telles que A+A2+A3+A4+A5= 0
Exemple Soit u∈ S(E). Montrer qu’il existe v∈ S(E) tel que v3=u
Exemple Soit A∈ Sn(R). Montrer l’´equivalence des assertions :
–Sp(A)⊂[0,+∞[
– Il existe B∈ Mn(R) tel que A=tBB
3.4 Application `a l’´etude d’in´equations
Exemple Soit u∈ S(E). Soit λla plus grande valeur propre de u. Montrer que
λ=Sup{< u(x), x >, kxk ≤ 1}
Exemple Soit A∈ Sn(R) tel que Sp(A)⊂]0,+∞[. Prouver que :
det(A)1
n≤1
nT r(A)
Exemple Soit A∈ Sn(R), A6= 0. Prouver que
(T r(A))2
T r(A2)≤rg(A)
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