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2M371 – Alg`ebre lin´eaire 2 Universit´e Pierre et Marie Curie
Math´ematiques Ann´ee 2016/2017
FdE no6 – Formes bilin´eaires et quadratiques I : d´efinitions et propri´et´es de base
D´efinition 1. Soit Eun k-espace vectoriel, k∈ {Q,R,C}. Une forme bilin´eaire sur Eest une
application φ:E×E→ktelle que :
φ(λ1x1+λ2x2, y) = λ1φ(x1, y) + λ2φ(x2, y),∀x1, x2, y ∈E, ∀λ1, λ2∈k,
φ(x, µ1y1+µ2y2) = µ1φ(x, y1) + µ2φ(x, y2),∀x, y1, y2∈E, ∀µ1, µ2∈k.
1. On suppose k=R. Dans chacun des cas suivants, l’application φest-elle une forme bilin´eaire ?
(a) φ:R×R→R,φ(x, y) = xy.
(b) φ:Rn×Rn→R,φ(x, y) = x1y1+· · · +xnyn.
(c) φ:R2×R2→R,φ(x, y) = x1y2−x2y1.
(d) φ:Rn[x]×Rn[x]→R,φ(P, Q) = P(0)Q(0) + P0(0)Q0(0).
(e) φ:Rn[x]×Rn[x]→R,φ(P, Q) = R1
0P(x)Q(x)dx.
(f) φ:Rn[x]×Rn[x]→R,φ(P, Q) = (P Q)0(0).
D´efinition 2. Soit Eun k-espace vectoriel, e1, . . ., enune base de Eet φ:E×E→kune forme
bilin´eaire. On pose aij =φ(ei, ej), A= (aij )∈Mn(k). Alors pour tout x,y∈E:
φ(x, y) = X
i,j
xiyjφ(ei, ej) = X
i,j
aij xiyj=txAy,
x=x1e1+· · · +xnen, y =y1e1+· · · +ynen.
On appelle Ala matrice de φdans la base e1, . . ., en.
2. Soit Eun k-espace vectoriel, e1, . . ., enet f1, . . ., fndeux bases de E,φune forme bilin´eaire sur
E. Soit Aeune matrice de φdans la base e1, . . ., enet Pune matrice de passage de e1, . . ., en`a
f1, . . ., fn. Trouver la matrice Afde φdans la base f1, . . ., fn.
3. Dans chacun des cas suivants, ´ecrire la matrice d’une forme bilin´eaire dans une base propos´ee :
(a) φ:Rn×Rn→R,φ(x, y) = λ1x1y1+· · · +λnxnyn, dans la base canonique.
(b) φ:R2×R2→R,φ(x, y) = x1y2−x2y1, dans la base canonique.
(c) φ:Rn[x]×Rn[x]→R,φ(P, Q) = P(0)Q(0) + P0(0)Q0(0), dans la base 1, t,t2, . . ., tn.
(d) φ:Rn[x]×Rn[x]→R,φ(P, Q) = R1
0P(x)Q(x)dx, dans la base 1, t,t2, . . ., tn.
D´efinition 3. Soit Eun k-espace vectoriel et φune forme bilin´eaire sur E. On appelle φsym´etrique
si φ(x, y) = φ(y, x) pour tout x,y∈E. Une application q:E→k,q(x) = φ(x, x), s’appelle la forme
quadratique associ´ee `a φ. On dit que φest la forme polaire de q.
4. (a) Soit Eun k-espace vectoriel, e1, . . ., enune base de E, et φune application bilin´eaire.
Montrer que φest sym´etrique si et seulement si la matrice Ade φdans la base e1, . . ., en
est sym´etrique.
(b) (Egalit´e de polarisation). Soit Eun k-espace vectoriel, φune forme bilin´eaire sym´etrique
sur Eet qla forme quadratique associ´ee. Exprimer φen fonction de q.
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(c) Soit Eun k-espace vectoriel et φune forme bilin´eaire sym´etrique sur Edont la matrice dans
la base e1, . . ., ende Eest A. Soit x=x1e1+· · · +xnen∈E. Montrer que q(x) = txAx,
o`u qd´esigne la forme quadratique associ´ee `a φ.
5. (Jordan-von Neumann). Soit Eun k-espace vectoriel et q:E→kune application. Montrer
que si qest une forme quadratique, elle satisfait la loi du parall´elogramme :
2q(u)+2q(v) = q(u+v) + q(u−v),∀u, v ∈E.
Montrer que si k=Qet qest une application qui satisfait la loi du parall´elogramme, alors qest
une forme quadratique :
(a) Montrer que q(λx) = |λ|2q(x) pour tout λ∈Q,x∈E.
(b) On pose φ(x, y) = 1
4(q(x+y)−q(x−y)). Montrer que φ(x, y) = φ(y, x) et φ(x, x) = q(x).
(c) Montrer que φ(x+y, z) = φ(x, z) + φ(y, z) pour tout x,y,z∈E.Indication : appliquer la
loi du parall´elogramme `a u=x+z,v=yet `a u=y+z,v=xet les additionner pour
obtenir l’expression pour q(x+y+z). En d´eduire l’expression pour q(x+y−z). Substraire
l’un de l’autre pour obtenir l’expression pour φ(x+y, z).
(d) Montrer que φ(λx, y) = λφ(x, y) pour tout λ∈Q.Indication : d´eduire de (a) et (b) que
c’est vrai pour λ∈Z.
6. Dans chacun des cas suivants, l’application φest-elle une forme quadratique ? Si oui, trouver la
forme bilin´eaire polaire :
(a) q:Rn→R,q(x) = |x|2.
(b) q:C[0,1] →R,q(x) = R1
0f2(x)dx.
(c) q:C[0,1] →R,q(x) = maxx∈[0,1] |f(x)|2.
(d) q:R[x]→R,q(P) = P(0)2+P0(0)2.
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