feuille 6

2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2016/2017
FdE no 6 – Formes bilinéaires et quadratiques I : définitions et propriétés de base
Définition 1. Soit E un k-espace vectoriel, k ∈ {Q, R, C}. Une forme bilinéaire sur E est une
application φ : E × E → k telle que :
φ(λ1 x1 + λ2 x2 , y) = λ1 φ(x1 , y) + λ2 φ(x2 , y),
∀x1 , x2 , y ∈ E, ∀λ1 , λ2 ∈ k,
φ(x, µ1 y1 + µ2 y2 ) = µ1 φ(x, y1 ) + µ2 φ(x, y2 ),
∀x, y1 , y2 ∈ E, ∀µ1 , µ2 ∈ k.
1. On suppose k = R. Dans chacun des cas suivants, l’application φ est-elle une forme bilinéaire ?
(a) φ : R × R → R, φ(x, y) = xy.
(b) φ : Rn × Rn → R, φ(x, y) = x1 y 1 + · · · + xn y n .
(c) φ : R2 × R2 → R, φ(x, y) = x1 y 2 − x2 y 1 .
(d) φ : Rn [x] × Rn [x] → R, φ(P, Q) = P (0)Q(0) + P 0 (0)Q0 (0).
R1
(e) φ : Rn [x] × Rn [x] → R, φ(P, Q) = 0 P (x)Q(x) dx.
(f) φ : Rn [x] × Rn [x] → R, φ(P, Q) = (P Q)0 (0).
Définition 2. Soit E un k-espace vectoriel, e1 , . . ., en une base de E et φ : E × E → k une forme
bilinéaire. On pose aij = φ(ei , ej ), A = (aij ) ∈ Mn (k). Alors pour tout x, y ∈ E :
X
X
φ(x, y) =
xi y j φ(ei , ej ) =
aij xi y j = t xAy,
i,j
1
i,j
n
y = y 1 e1 + · · · + y n en .
x = x e1 + · · · + x en ,
On appelle A la matrice de φ dans la base e1 , . . ., en .
2. Soit E un k-espace vectoriel, e1 , . . ., en et f1 , . . ., fn deux bases de E, φ une forme bilinéaire sur
E. Soit Ae une matrice de φ dans la base e1 , . . ., en et P une matrice de passage de e1 , . . ., en à
f1 , . . ., fn . Trouver la matrice Af de φ dans la base f1 , . . ., fn .
3. Dans chacun des cas suivants, écrire la matrice d’une forme bilinéaire dans une base proposée :
(a) φ : Rn × Rn → R, φ(x, y) = λ1 x1 y 1 + · · · + λn xn y n , dans la base canonique.
(b) φ : R2 × R2 → R, φ(x, y) = x1 y 2 − x2 y 1 , dans la base canonique.
(c) φ : Rn [x] × Rn [x] → R, φ(P, Q) = P (0)Q(0) + P 0 (0)Q0 (0), dans la base 1, t, t2 , . . ., tn .
R1
(d) φ : Rn [x] × Rn [x] → R, φ(P, Q) = 0 P (x)Q(x) dx, dans la base 1, t, t2 , . . ., tn .
Définition 3. Soit E un k-espace vectoriel et φ une forme bilinéaire sur E. On appelle φ symétrique
si φ(x, y) = φ(y, x) pour tout x, y ∈ E. Une application q : E → k, q(x) = φ(x, x), s’appelle la forme
quadratique associée à φ. On dit que φ est la forme polaire de q.
4. (a) Soit E un k-espace vectoriel, e1 , . . ., en une base de E, et φ une application bilinéaire.
Montrer que φ est symétrique si et seulement si la matrice A de φ dans la base e1 , . . ., en
est symétrique.
(b) (Egalité de polarisation). Soit E un k-espace vectoriel, φ une forme bilinéaire symétrique
sur E et q la forme quadratique associée. Exprimer φ en fonction de q.
1
(c) Soit E un k-espace vectoriel et φ une forme bilinéaire symétrique sur E dont la matrice dans
la base e1 , . . ., en de E est A. Soit x = x1 e1 + · · · + xn en ∈ E. Montrer que q(x) = t xAx,
où q désigne la forme quadratique associée à φ.
5. (Jordan-von Neumann). Soit E un k-espace vectoriel et q : E → k une application. Montrer
que si q est une forme quadratique, elle satisfait la loi du parallélogramme :
2q(u) + 2q(v) = q(u + v) + q(u − v),
∀u, v ∈ E.
Montrer que si k = Q et q est une application qui satisfait la loi du parallélogramme, alors q est
une forme quadratique :
(a) Montrer que q(λx) = |λ|2 q(x) pour tout λ ∈ Q, x ∈ E.
(b) On pose φ(x, y) = 41 (q(x + y) − q(x − y)). Montrer que φ(x, y) = φ(y, x) et φ(x, x) = q(x).
(c) Montrer que φ(x + y, z) = φ(x, z) + φ(y, z) pour tout x, y, z ∈ E. Indication : appliquer la
loi du parallélogramme à u = x + z, v = y et à u = y + z, v = x et les additionner pour
obtenir l’expression pour q(x + y + z). En déduire l’expression pour q(x + y − z). Substraire
l’un de l’autre pour obtenir l’expression pour φ(x + y, z).
(d) Montrer que φ(λx, y) = λφ(x, y) pour tout λ ∈ Q. Indication : déduire de (a) et (b) que
c’est vrai pour λ ∈ Z.
6. Dans chacun des cas suivants, l’application φ est-elle une forme quadratique ? Si oui, trouver la
forme bilinéaire polaire :
(a) q : Rn → R, q(x) = |x|2 .
R1
(b) q : C[0, 1] → R, q(x) = 0 f 2 (x)dx.
(c) q : C[0, 1] → R, q(x) = maxx∈[0,1] |f (x)|2 .
(d) q : R[x] → R, q(P ) = P (0)2 + P 0 (0)2 .
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