EXAMEN – ALGEBRE

EXAMEN – ALGEBRE
Université du Littoral Côte d’Opale
Mercredi 17 juin 2009, 9h-12h
L’usage de tout ouvrage de référence, de tout document et de tout matériel électronique (incluant le
téléphone portable, la calculatrice, ...) est rigoureusement interdit.
Question de cours Soient Eun espace vectoriel sur un corps R.
Soient F={f1, f2, . . . , fn}et G={g1, g2, . . . , gk}deux familles d’éléments de E.
On note hFi l’espace vectoriel engendré par Fet hGi l’espace vectoriel engendré par G.
1. (a) Donner la définition de "Fest génératrice de E".
(b) Donner la définition de "Fest libre dans E".
(c) Comment appelle-t-on une "famille libre et génératrice de E" ?
2. hFi et hGi sont "supplémentaires dans E" s’écrit : E=hFi LhGi.
Donner la définition de cette notion.
Application.E=R3;F={(1,1,1)}et G={(1,1,−1),(1,−1,1)}.
Montrer que hFi et hGi sont "supplémentaires dans E".
Exercice 1
1. En détaillant les étapes du calcul, donner la valeur du déterminant
1−1 1 −1
−1 2 −6 24
1−6 24 −120
−1 24 −120 720
.
2. En détaillant les étapes du calcul, donner l’inverse de la matrice
M=
1 1 1
1−1 1
1 1 −1
.
Exercice 2 L’ensemble R2[X]est connu comme étant un espace vectoriel de dimension 3sur le corps
Rdont on connaît une base B={1, X, X2}.
1

L1 Maths - Info Algèbre – S2 2009
On considère l’ensemble
E={P(X)∈R2[X]tel que P(−1) = P(1)}.
1. Montrer que Eest un sous espace vectoriel de R2[X].
2. Donner une base de E(sans justification).
On considère alors l’application fde Edans Rqui à P(X)associe P0(0) (remarque : P0est le polynôme
dérivé de P).
1. Montrer que fest une application linéaire.
2. Donner successivement Ker(f)et Im(f).
3. Énoncer le théorème de la dimension et le vérifier pour f.
Exercice 3 On considère R3muni de la base canonique B={~e1= (1,0,0), ~e2= (0,1,0), ~e3= (0,0,1)}
et de la base B0={~u = (−1,1,1), ~v = (2,1,1), ~w = (0,−1,1)}et fl’endomorphisme de R3dont la matrice
associée relativement à la base Best donnée par :
A=mat(f, B) =
1 1 1
1−1 1
1 1 −1
.
1. Calculer f(~u),f(~v),f(~w). En déduire D=mat(f, B0)la matrice associée à frelativement à la base
B0.
2. Donner Pla matrice de passage de Bvers B0et vérifier que son inverse P−1est
P−1=
−1
3
1
3
1
3
1
3
1
6
1
6
0−1
2
1
2
.
3. Calculer AP et P D. En déduire une expression de Autilisant D,Pet P−1.
4. Calculer Anpour tout entier naturel n.
–2/2– Mathématiques