Feuille 4 Conditionnement des matrices

ENSIMAG 1`ere ann´ee (2008-09) TD M´ethodes num´eriques
Feuille 4
Conditionnement des matrices
Exercice 1 :
Soit A∈Mn(R) inversible et b∈Rn. On consid`ere la solution xdu syst`eme
Ax =b, et la solution x+δx du syst`eme A(x+δx) = b+δb dont le second
membre est perturb´e par un vecteur δb ∈Rn. On se donne une norme sur
Rnet on munit Mn(R) de la norme induite associ´ee.
1- Montrer que
kδxk
kxk≤κ(A)kδbk kbk,(1)
o`u
κ(A) = kAk kA−1k(2)
est appel´e conditionnement de la matrice Apour la norme consid´er´ee.
2- Montrer qu’il existe b∈Rnet δb ∈Rntels que (1) soit remplac´e par une
´egalit´e.
3- Montrer que κ(A)≥1.
4- Montrer que κ(AB)≤κ(A)κ(B).
Exercice 2 : Soit A∈Mn(R) inversible. On munit Rnde la norme eucli-
dienne et Mn(R) de la norme induite associ´ee. On note κ2(A) le condition-
nement de la matrice Apour la norme euclidienne.
1- Montrer que la matrice AtAest sym´etrique d´efinie positive.
2- On note σmax,σmin respectivement la plus grande et la plus petite valeur
propre de AtA. Montrer que
κ2(A) = rσmax
σmin
.(3)
Indication : on pourra utiliser la propri´et´e kAk2=pρ(AtA).
1

3- Montrer que si Aest sym´etrique d´efinie positive alors
κ2(A) = λmax
λmin
,(4)
o`u λmax,λmin d´esignent respectivement la plus grande et la plus petite valeur
propre de A.
4- Calculer κ2(A) pour la matrice A∈Mn(R) suivante
A=
2−1 0 · · · 0
−1 2 −1 0 .
.
.
0−1......0
.
.
. 0 ...2−1
0· · · 0−1 2
(cette matrice est celle du syst`eme lin´eaire obtenu en discr´etisant par diff´erences
finies l’´equation de Poisson unidimensionnelle avec conditions aux limites de
Dirichlet, cf. feuille de TD n◦1).
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