Feuille 4 Conditionnement des matrices

ENSIMAG 1ère année (2008-09)
TD Méthodes numériques
Feuille 4
Conditionnement des matrices
Exercice 1 :
Soit A ∈ Mn (R) inversible et b ∈ Rn . On considère la solution x du système
Ax = b, et la solution x + δx du système A(x + δx) = b + δb dont le second
membre est perturbé par un vecteur δb ∈ Rn . On se donne une norme sur
Rn et on munit Mn (R) de la norme induite associée.
1- Montrer que
kδbk
kδxk
≤ κ(A)
,
kxk
kbk
(1)
κ(A) = kAk kA−1 k
(2)
où
est appelé conditionnement de la matrice A pour la norme considérée.
2- Montrer qu’il existe b ∈ Rn et δb ∈ Rn tels que (1) soit remplacé par une
égalité.
3- Montrer que κ(A) ≥ 1.
4- Montrer que κ(AB) ≤ κ(A)κ(B).
Exercice 2 : Soit A ∈ Mn (R) inversible. On munit Rn de la norme euclidienne et Mn (R) de la norme induite associée. On note κ2 (A) le conditionnement de la matrice A pour la norme euclidienne.
1- Montrer que la matrice At A est symétrique définie positive.
2- On note σmax , σmin respectivement la plus grande et la plus petite valeur
propre de At A. Montrer que
r
σmax
.
(3)
κ2 (A) =
σmin
p
Indication : on pourra utiliser la propriété kAk2 = ρ(At A).
1
3- Montrer que si A est symétrique définie positive alors
κ2 (A) =
λmax
,
λmin
(4)
où λmax , λmin désignent respectivement la plus grande et la plus petite valeur
propre de A.
4- Calculer κ2 (A) pour la matrice A ∈ Mn (R) suivante


2 −1 0 · · · 0
.. 

 −1 2 −1 0
. 


.. ..

A=
.
.
0
−1
0


 .

.
.
.
 .
. 2 −1 
0
0 · · · 0 −1 2
(cette matrice est celle du système linéaire obtenu en discrétisant par différences
finies l’équation de Poisson unidimensionnelle avec conditions aux limites de
Dirichlet, cf. feuille de TD n◦ 1).
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