Faculté des Sciences et Techniques de Limoges Lundi 9 janvier 2006 Analyse fonctionnelle et topologie Examen écrit no 2 Durée : 3h Exercice 1 (6 points) Soit (E, d) un espace métrique et (R, |.|), le corps des nombres réels muni de la valeur absolue. Pour toute partie U de E, on définit l’application ϕU : E → R par ϕU (x) = d(x, U ) = inf d(x, y). y∈U 1. Montrer que l’application ϕU est lipschitzienne. 2. Montrer que x ∈ U si, et seulement si, ϕU (x) = 0. 3. Pour quelles parties U de E a-t-on ϕU = ϕ∂(U ) ? 4. Soit A et B deux parties fermées disjointes de E. (a) Montrer que pour tout x ∈ E, d(x, A) + d(x, B) > 0 et que l’application d(x, A) ψ : E → R, définie par ψ(x) = , est continue. d(x, A) + d(x, B) (b) Préciser les valeurs prises par la fonction ψ sur A, puis sur B. (c) En déduire l’existence de deux ouverts disjoints OA et OB tels que A ⊂ OA , B ⊂ OB . ******* Exercice 2 (4 points) Soit (E, d) un espace métrique. On appelle diamètre d’une partie A non vide de E le nombre ∆(A) = sup d(x, y). (x,y)∈A×A 1. Montrer que pour toute partie A de E, on a ∆(A) = ∆(A). 2. Soit K une partie compacte de E. Établir l’existence de deux points a et b de K tels que ∆(K) = d(a, b). 3. Soit (un ) une suite d’éléments de E. On pose Ωn = {up ; p ≥ n}. Montrer que la suite (un ) est de Cauchy si, et seulement si, la suite des diamètres des parties (Ωn ) tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. ******* Exercice 3 (4 points) Le couple (E, ||.||) désigne un espace vectoriel normé sur R. 1. Montrer que toute boule ouverte est connexe par arcs. 2. Montrer qu’un ouvert de (E, ||.||) est connexe si, et seulement si, il est connexe par arcs. ******* Problème (8 points) Soit R[t] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans R et N, N # : R[t] → R deux applications définies, pour tout polynôme P = a0 + a1 t + a2 t2 + · · · + an tn , par N (P ) = sup |P (t)| t∈[0,1] et N # (P ) = max{|ai |, i = 0, . . . , n}. 1. Montrer que N et N # sont des normes. 2. Calculer les normes au sens de N et N # des polynômes t2 tn En (t) = 1 + t + + · · · + , Sn (t) = tn et Rn (t) = 1 + t + t2 + · · · + tn . 2! n! 3. En considérant la suite de polynômes Rn , montrer que les normes N et N # ne sont pas équivalentes. Pour tout nombre réel α, on définit la forme linéaire Fα : R[t] → R par Fα (P ) = P (α). 4. On munit l’espace vectoriel R[t] de la norme N . (a) On suppose que |α| ≤ 1. Montrer que la forme linéaire Fα est continue et que N (Fα ) = sup |Fα (P )| = 1. N (P )≤1 (b) On suppose que |α| > 1. Calculer Fα (tn ). En déduire que la forme linéaire Fα n’est pas continue. 5. On munit l’ensemble R[t] de la norme N # . (a) On suppose que |α| < 1. Montrer que la forme linéaire Fα est continue. et en 1 . déduire que N # (Fα ) = 1 − |α| (b) On suppose que |α| > 1. Calculer Fα (tn ). En déduire que la forme linéaire Fα n’est pas continue. (c) Les formes linéaires F−1 et F1 sont-elles continues ? *******