Analyse fonctionnelle et topologie

Facult´e des Sciences Lundi 9 janvier 2006
et Techniques de Limoges
Analyse fonctionnelle et topologie
Examen ´ecrit no2
Dur´ee : 3h
Exercice 1 (6 points)
Soit (E, d) un espace m´etrique et (R,|.|), le corps des nombres r´eels muni de la valeur
absolue. Pour toute partie Ude E, on d´efinit l’application ϕU:E→Rpar
ϕU(x)=d(x, U) = inf
y∈Ud(x, y).
1. Montrer que l’application ϕUest lipschitzienne.
2. Montrer que x∈Usi, et seulement si, ϕU(x) = 0.
3. Pour quelles parties Ude Ea-t-on ϕU=ϕ∂(U)?
4. Soit Aet Bdeux parties ferm´ees disjointes de E.
(a) Montrer que pour tout x∈E,d(x, A)+d(x, B)>0 et que l’application
ψ:E→R, d´efinie par ψ(x)= d(x, A)
d(x, A)+d(x, B), est continue.
(b) Pr´eciser les valeurs prises par la fonction ψsur A, puis sur B.
(c) En d´eduire l’existence de deux ouverts disjoints OAet OBtels que
A⊂OA,B ⊂OB.
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Exercice 2 (4 points)
Soit (E, d) un espace m´etrique. On appelle diam`etre d’une partie Anon vide de Ele
nombre ∆(A) = sup
(x,y)∈A×A
d(x, y).
1. Montrer que pour toute partie Ade E,ona∆(A)=∆(A).
2. Soit Kune partie compacte de E.´ Etablir l’existence de deux points aet bde K
tels que ∆(K)=d(a, b).
3. Soit (un) une suite d’´el´ements de E. On pose Ωn={up;p≥n}.
Montrer que la suite (un) est de Cauchy si, et seulement si, la suite des diam`etres
des parties (Ωn) tend vers 0 lorsque ntend vers l’infini.
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Exercice 3 (4 points)
Le couple (E,||.||) d´esigne un espace vectoriel norm´e sur R.
1. Montrer que toute boule ouverte est connexe par arcs.
2. Montrer qu’un ouvert de (E, ||.||) est connexe si, et seulement si, il est connexe par
arcs.
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Probl`eme (8 points)
Soit R[t] l’espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients dans Ret N, N #:R[t]→R
deux applications d´efinies, pour tout polynˆome P=a0+a1t+a2t2+· · · +antn, par
N(P) = sup
t∈[0,1]
|P(t)|et N#(P) = max{|ai|,i=0, . . . , n}.
1. Montrer que Net N#sont des normes.
2. Calculer les normes au sens de Net N#des polynˆomes
En(t) = 1 + t+t2
2! +· · · +tn n!,Sn(t)=tnet Rn(t) = 1 + t+t2+· · · +tn.
3. En consid´erant la suite de polynˆomes Rn, montrer que les normes Net N#ne sont
pas ´equivalentes.
Pour tout nombre r´eel α, on d´efinit la forme lin´eaire Fα:R[t]→Rpar Fα(P)=P(α).
4. On munit l’espace vectoriel R[t] de la norme N.
(a) On suppose que |α|≤1. Montrer que la forme lin´eaire Fαest continue et que
N(Fα) = sup
N(P)≤1
|Fα(P)|= 1.
(b) On suppose que |α|>1. Calculer Fα(tn). En d´eduire que la forme lin´eaire Fα
n’est pas continue.
5. On munit l’ensemble R[t] de la norme N#.
(a) On suppose que |α|<1. Montrer que la forme lin´eaire Fαest continue. et en
d´eduire que N#(Fα)= 1
1−|α|.
(b) On suppose que |α|>1. Calculer Fα(tn). En d´eduire que la forme lin´eaire Fα
n’est pas continue.
(c) Les formes lin´eaires F−1et F1sont-elles continues ?
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