MAT231 -- Chapitre 4 : Algèbre linéaire

MAT231, Chapitre 4
MAT231 – Chapitre 4 : Algèbre linéaire
Université Joseph Fourier – 2008-2009
Pierre Bérard
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MAT231, Chapitre 4
Rappels de première année
Applications linéaires, compléments
Matrice associée à une application linéaire
Changements de base
Réduction des endomorphismes, I
Groupe des permutations
Formes multi-linéaires
Déterminant
Déterminant d’un endomorphisme
Calcul des déterminants
Réduction des endomorphismes, II
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Chapitre 4, Algèbre linéaire
Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C.
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Rappels de première année
Rappels de première année
Définition (Espace vectoriel)
Soit K un corps commutatif. Un espace vectoriel sur le corps K est
la donnée d’un groupe commutatif (E , +), dont l’élément neutre
est noté 0E , et d’une action de K sur E , · : K × E → E ,
(λ, x ) 7→ λ · x (ou plus simplement λx ) telle que
I
pour tous α, β ∈ K et x ∈ E , (α + β) · x = α · x + β · x ,
I
pour tous α ∈ K et x , y ∈ E , α · (x + y ) = α · x + α · y ,
I
pour tous α, β ∈ K et x ∈ E , (αβ) · x = α · (β · x ),
I
pour tout x ∈ E , 1K · x = x .
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Rappels de première année
Exemples
I
L’ensemble Rn , muni des opérations usuelles, l’addition des
vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est
un espace vectoriel sur R.
I
L’ensemble Cn , muni des opérations usuelles, l’addition des
vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est
un espace vectoriel sur C.
I
L’ensemble Mm,n (R) des matrices à m lignes et n colonnes,
muni des opérations usuelles, addition des matrices et
multiplication d’une matrice par un scalaire, est un espace
vectoriel sur R.
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Rappels de première année
Définition
On appelle combinaison linéaire de vecteurs de E toute somme
(finie) de la forme α1 u1 + · · · + αk uk où les αj sont des éléments
de K et où les uj sont des éléments de E .
Définition
On dit qu’une famille {uj }j∈I de vecteurs de E est une famille
génératrice si tout élément de E peut s’écrire comme combinaison
linéaire (finie) d’éléments de la famille {uj }j∈I .
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Rappels de première année
Définition
On dit qu’une famille {uj }j∈I de vecteurs de E est une famille libre
P
si, pour tout sous-ensemble fini J ⊂ I, l’égalité j∈J αj uj = 0
implique que αj = 0 pour tout j ∈ J .
Définition
On dit qu’une famille de vecteurs de E est une base de E si elle est
libre et génératrice.
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Rappels de première année
Exemples
I
La famille e1 := (1, 0, . . . , 0), . . . , en := (0, . . . , 0, 1) est une
famille libre et génératrice de Rn . C’est une base de Rn .
I
La famille {1, X , X 2 , . . .} est une base de l’espace vectoriel sur
C[X ] des polynômes à coefficients complexes.
I
La famille {e ikx }k∈Z est une famille libre dans l’espace
vectoriel sur C des fonctions continues de R dans C. Elle n’est
pas génératrice.
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Rappels de première année
Proposition et Définition
Soit A une partie non vide d’un espace vectoriel E . L’ensemble
Vect(A) des combinaisons linéaires de vecteurs appartenant à A
est un sous-espace vectoriel de E , appelé l’espace vectoriel
engendré par A. C’est le plus petit (au sens de l’inclusion)
sous-espace vectoriel de E qui contient A.
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Définition
On dit qu’un K-espace vectoriel E est de dimension finie sur le
corps K s’il possède une famille génératrice finie. On dit qu’un
espace vectoriel est de dimension infinie s’il n’est pas de dimension
finie.
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Rappels de première année
Théorème (de la base incomplète)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soient L une
famille libre de E et G une famille génératrice. Alors, il existe une
base B de E telle que L ⊂ B ⊂ L ∪ G.
Corollaire
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, non réduit à {0}.
1. Toute famille libre de E est contenue dans une base.
2. Toute famille génératrice de E contient une base.
3. L’espace vectoriel E possède une base finie.
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Lemme
Soit E un espace vectoriel. Soit {v1 , . . . , vn } une famille de n
vecteurs de E . Alors, toute famille de (n + 1) vecteurs du
sous-espace vectoriel Vect(v1 , . . . , vn ) est liée.
Théorème et Définition
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Alors, toutes les
bases de E ont le même nombre d’éléments. Ce nombre s’appelle
la dimension de l’espace vectoriel E .
Attention. La dimension dépend du corps de base. Ainsi, le
C-espace vectoriel C2 est de dimension 2 sur C, mais il est de
dimension 4 si on le voit comme un R-espace vectoriel.
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Rappels de première année
Corollaire
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n.
1. Toute partie libre de E a au plus n éléments.
2. Toute partie libre de E qui possède n éléments est une base.
3. Toute partie génératrice de E a au moins n éléments.
4. Toute partie génératrice de E qui a n éléments est une base.
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Rappels de première année
Soit E un espace vectoriel. Si F et G sont deux sous-espaces
vectoriels de E , alors F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E .
Attention, en général F ∪ G n’est pas un sous-espace vectoriel de
E.
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Rappels de première année
Définition
Soit E un espace vectoriel et soient F et G deux sous-espaces
vectoriels.
1. On note H := F + G l’espace vectoriel Vect(F ∪ G) engendré
par F et G. On dit que l’espace H est la somme des espaces
F et G.
2. On dit que H est la somme directe des espaces F et G si
H = F + G et si de plus F ∩ G = {0}. On écrit alors
H = F ⊕ G.
3. Si E = F ⊕ G, on dit que les espaces F et G sont
supplémentaires (ou encore que l’espace G est un
supplémentaire de F et réciproquement).
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Proposition
L’espace vectoriel H est somme directe des sous-espaces vectoriels
F et G, H = F ⊕ G, si et seulement si tout vecteur x de H peut
s’écrire de manière unique sous la forme x = xF + xG avec xF ∈ F
et xG ∈ G. Si F et G sont de dimension finie, alors H est
également de dimension finie. Étant donnés F une base de F et G
une base de G, la famille F ∪ G est une base de H et
dim(H) = dim(F ) + dim(G).
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Rappels de première année
Généralisation. Plus généralement, soient E1 , . . . , Ep des
sous-espaces vectoriels de E , de somme F := E1 + · · · + Ep (définie
comme Vect(∪i Ei )). On dit que les espaces Ej sont en somme
directe, et on écrit leur somme F = E1 ⊕ · · · ⊕ Ep si, pour
tout
T
j, 1 ≤ j ≤ p, Ej
E1 + · · · + Ej−1 + Ej+1 + · · · + Ep = {0}.
Proposition
Les sous-espaces Ej , 1 ≤ j ≤ p sont en somme directe si et
seulement si tout vecteur x de F , s’écrit de manière unique comme
x = x1 + · · · + xp avec xj ∈ Ej pour 1 ≤ j ≤ p. De plus, si Ej est
une base de Ej , pour 1 ≤ j ≤ p, alors E = ∪pj=1 Ej est une base de
F . Si les espaces Ei sont de dimension finie, F est également de
dimension finie et on a l’égalité dim(F ) = dim(E1 ) + · · · + dim(Ep ).
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Définition (Application linéaire)
Soient E , F deux espaces vectoriels sur le corps K. Une application
linéaire u de E dans F est une application u : E → F qui vérifie
1. Pour tous x , y ∈ E , on a u(x + y ) = u(x ) + u(y ).
2. Pour tout α ∈ K et pour tout x ∈ E , on a u(αx ) = αu(x ).
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Définition
Soient E , F deux K-espaces vectoriels et u : E → F une
application linéaire.
1. On appelle image de u, et on note Im(u), le sous-espace
vectoriel u(E ) ⊂ F .
2. On appelle noyau de u, et on note Ker(u) le sous-espace
vectoriel u −1 (0) ⊂ E .
Proposition
Soient E , F deux K-espaces vectoriels et u : E → F une
application linéaire. Alors,
I
l’application u est injective si et seulement si Ker(u) = {0} ;
I
l’application u est surjective si et seulement si Im(u) = F .
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Corollaire
Si l’espace vectoriel E est de dimension finie et si E = {e1 , . . . , en }
est une base de E , on pose V = {u(e1 ), . . . , u(en )}. On a les
propriétés suivantes.
I
L’application u est surjective si et seulement si V engendre F .
I
L’application u est injective si et seulement si V est libre dans
F.
I
L’application u est bijective si et seulement si V est une base
de F . Dans ce cas, on dit que u est un isomorphisme de E sur
F , que E et F sont isomorphes et on a dim(E ) = dim(F ).
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Rappels de première année
Théorème (du rang)
Soient E , F deux K-espaces vectoriels et u : E → F une application
linéaire. Si l’espace vectoriel E est de dimention finie, alors
dim(E ) = dim(Im(u)) + dim(Ker(u)).
Application. Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels d’un
espace vectoriel E de dimension finie, alors
dim(F + G) + dim(F ∩ G) = dim(F ) + dim(G).
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Rappels de première année
Théorème
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n, et soit F un espace
vectoriel. On se donne respectivement E = {e1 , . . . , en } une base
de E et V = {v1 , . . . , vn } une famille de vecteurs de F . Alors, il
existe une application linéaire u de E dans F , et une seule, telle que
u(ei ) = vi pour 1 ≤ i ≤ n. Autrement dit, une application linéaire
est entièrement déterminée par la donnée de l’image d’une base.
Proposition
Soient E et H deux espaces vectoriels et u une application linéaire
de E dans H. Soient F , G deux sous-espaces vectoriels
supplémentaires de E . Alors l’application u est entièrement
déterminée par ses restrictions u|F et u|G .
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Rappels de première année
Références
Université Joseph Fourier, Grenoble I. Mathématiques,
Informatique et Mathématiques appliquées. Licence Sciences et
Technologies, Première Année.
http ://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/
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MAT231, Chapitre 4
Applications linéaires, compléments
Applications linéaires, compléments
Notations
Soient E et F deux K espaces vectoriels.
I
On note LK (E , F ) (ou, plus simplement, L(E , F ) s’il n’y a
pas d’ambiguïté sur le corps de base), l’ensemble des
applications linéaires de E dans F .
I
On note LK (E ) l’ensemble des applications linéaires de E
dans lui-même (endomorphismes de E ).
I
On note E ∗ l’ensemble L(E , K) des applications linéaires de E
dans K (formes linéaires sur E ). L’ensemble E ∗ s’appelle le
dual de E .
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Applications linéaires, compléments
Proposition
Les ensembles LK (E , F ), LK (E ) et E ∗ , munis des opérations
(u, v ) 7→ u + v ,
(λ, v ) 7→ λv ,
définie par (u + v )(x ) := u(x ) + v (x ),
définie par (λv )(x ) := λv (x ),
sont des espaces vectoriels sur K.
De plus, si G est un espace vectoriel sur K, la composition des
applications, (u, v ) 7→ v ◦ u, définit une application de
LK (E , F ) × LK (F , G) dans LK (E , G). En particulier, la
composition des applications linéaires est une loi interne sur
LK (E ).
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Applications linéaires, compléments
Soient E , F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Soient
E = {e1 , . . . en } une base de E et F = {f1 , . . . fm } une base de F .
• Pour 1 ≤ j ≤ n, on définit les formes linéaires ej∗ : E → K, par
ej∗ (ek ) := δjk , c’est-à-dire, ej∗ (ej ) = 1 et ej∗ (ek ) = 0 si k 6= j.
• Pour 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n, on définit les applications linéaires
Eij : E → F , par
Eij (ek ) := δjk fi , c’est-à-dire, Eij (ej ) = fi et Eij (ek ) = 0 si k 6= j.
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Applications linéaires, compléments
Proposition
Soient E et F des espaces vectoriels de dimension finie sur K, de
bases respectives E = {e1 , . . . en } et F = {f1 , . . . fm }, où
n = dim(E ) et m = dim(F ).
I
L’espace vectoriel E ∗ est de dimension n et la famille
{ej∗ , 1 ≤ j ≤ n} est une base de E ∗ (appelée la base duale de
la base E).
I
L’espace vectoriel LK (E , F ) est de dimension nm et la famille
{Eij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} est une base de LK (E , F ).
I
En particulier, l’espace vectoriel LK (E ) est de dimension n2 .
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MAT231, Chapitre 4
Applications linéaires, compléments
Transposée d’une application linéaire
Définition
Étant donnés deux espaces vectoriels E et F et u une application
linéaire de E dans F , on définit une application de F ∗ dans E ∗ ,
notée tu et appelée transposée de l’application u, par la relation
t
u(ϕ) := ϕ ◦ u
pour toute forme linéaire ϕ ∈ F ∗ .
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Applications linéaires, compléments
Proposition
L’application tu est une application linéaire de F ∗ dans E ∗ . Pour
tous u, v ∈ L(E , F ) et pour tout λ ∈ K, on a
t
(u + v ) = tu + tv et t(λu) = λtu.
De plus, si u ∈ L(E , F ) et v ∈ L(F , G), alors
t
(v ◦ u) = tu ◦ tv .
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Applications linéaires, compléments
F
Définition (bi-dual d’un espace vectoriel)
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. On note E ∗∗
l’espace dual de l’espace E ∗ . Cet espace vectoriel est appelé le
bi-dual de E . Si E := {e1 , . . . , en } est une base de E , on note
E ∗ := {e1∗ , . . . , en∗ } la base duale de E et on note
E ∗∗ := {e1∗∗ , . . . , en∗∗ } la base duale de E ∗ .
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Applications linéaires, compléments
F
Proposition et Définition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. L’application
c : E → E ∗∗ définie par
c(x )(ϕ) := ϕ(x ) pour tous x ∈ E , ϕ ∈ E ∗
est un isomorphisme linéaire de E sur E ∗∗ . On l’appelle
l’isomorphisme canonique de E sur son bi-dual E ∗∗ .
Étant données une base E de E et E ∗∗ la base associée de E ∗∗ , on
a c(ej ) = ej∗∗ .
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Matrice associée à une application linéaire
Notations
I
On désigne par Mm,n (K) l’ensemble des matrices à m lignes
et n colonnes et à coefficients dans K. C’est un K-espace
vectoriel de dimension mn dont une base est donnée par la
famille {Mij | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} des matrices
élémentaires, où Mij est la matrice dont tous les coefficients
sont nuls sauf le coefficient de la i-ème ligne, j-ème colonne
qui vaut 1.
I
On désigne par Mn (K) l’ensemble des matrices carrées à n
lignes et n colonnes. On rappelle que c’est à la fois un
K-espace vectoriel et un anneau (non commutatif) pour la
multiplication des matrices.
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Matrice associée à une application linéaire
Définition (matrice associée à une application linéaire)
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie. Soient
E = {e1 , . . . , en } et F = {f1 , . . . , fm } des bases respectivement de
E et F , où n = dim(E ) et m = dim(F ). On appelle matrice
associée à l’application linaire u : E → F , relativement aux bases E
et F, la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des
vecteurs u(ej ), 1 ≤ j ≤ n, dans la base F, c’est-à-dire la matrice,
notée MFE (u), telle que MFE (u) = mij 1≤i≤m,1≤j≤n où les
coefficients mij sont définis par
u(ej ) =
m
X
mij fi pour tout j, 1 ≤ j ≤ n.
i=1
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Matrice associée à une application linéaire
Théorème
L’application
MFE : LK (E , F ) → Mm,n (K)
MFE : u 7→ MFE (u)
est une application linéaire bijective (un isomorphisme linéaire) de
LK (E , F ) dans Mm,n (K). De plus, avec les notations du
Transparent 27,
MFE (Eij ) = Mij .
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Matrice associée à une application linéaire
Proposition (Écriture matricielle)
Soit x ∈ E un vecteur qui s’écrit x = x1 e1 + · · · + xn en dans la
base E ; on note XE le vecteur colonne des coordonnées de x dans
la base E. Le vecteur u(x ) s’écrit u(x ) = y1 f1 + . . . + ym fm dans la
base F ; on note YF le vecteur colonne des coordonnées de u(x )
dans la base F.
Alors,
y1
x1
 .. 
.
E
E
 .  = MF (u)  ..  , càd YF = MF (u)XE .
ym
xn




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MAT231, Chapitre 4
Matrice associée à une application linéaire
Proposition
Soient E , F et G trois K-espaces vectoriels de dimension finie et
E, F et G des bases de E , F et G respectivement. Soient
u : E → F et v : F → G des applications linéaires. Alors
MGE (v ◦ u) = MGF (v ) MFE (u)
où le produit dans le second membre est le produit des matrices.
En particulier, MEE est un isomorphisme de l’anneau LK (E ) des
endomorphismes de E dans l’anneau Mn (K) des matrices carrées
d’ordre n = dim(E ).
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MAT231, Chapitre 4
Matrice associée à une application linéaire
Proposition
Soit u : E → F une application linéaire entre deux espaces
vectoriels de dimension finie, et soit tu : F ∗ → E ∗ sa transposée.
Alors,
∗
MEF∗ (tu)
t
=
MFE (u)
.
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MAT231, Chapitre 4
Changements de base
Changements de bases
Définition
On appelle matrice de passage de la base E à la base E 0 et on note
0
PEE , la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs
de la base E 0 dans la base E.
Propriété
0
0
La matrice PEE est la matrice MEE (iE ) de l’application identité iE ,
(E , E 0 ) → (E , E) ,
x 7→ x
de E dans lui-même, relativement aux bases E 0 et E.
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MAT231, Chapitre 4
Changements de base
Proposition
0
0
La matrice PEE est inversible et (PEE )−1 = PEE0 .
Coordonnées d’un vecteur relativement à deux bases
différentes
Proposition
Soit x ∈ E un vecteur dont les coordonnées dans la base E sont
données par le vecteur colonne XE et dont les coordonnées dans la
base E 0 sont données par le vecteur colonne XE 0 . Alors,
0
XE = PEE XE 0 et XE 0 = PEE0 XE .
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MAT231, Chapitre 4
Changements de base
Matrices d’une application linéaire relativement à deux paires
de bases
Proposition
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et soit
u ∈ L(E , F ) une application linéaire. On se donne deux bases E et
E 0 de l’espace vectoriel E et deux bases F et F 0 de l’espace
vectoriel F . Alors
0
0
MFE 0 (u) = PFF0 MFE (u)PEE .
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Changements de base
Le diagramme commutatif
0
E (u)
MF
0
(E , E 0 ) −−−−→ (F , F 0 )
u

0
E
PE yiE
x
 F
iF PF
0
u
(E , E) −−−−→ (F , F)
E (u)
MF
traduit les égalités
0
0
u = iF ◦ u ◦ iE et MFE 0 (u) = PFF0 MFE (u)PEE .
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MAT231, Chapitre 4
Changements de base
Corollaire
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et u ∈ L(E ) un
endomorphisme de E . Si E et E 0 sont deux bases de E , il existe
0
une matrice P ∈ Mn (K), inversible, telle que MEE0 (u) = P −1 MEE P.
0
La matrice P est donnée par P = PEE .
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MAT231, Chapitre 4
Changements de base
Le diagramme commutatif
0
(E , E 0 )
MEE0 (u)
−−−−→ (E , E 0 )
u

0
E
PE yiE
x

iE PEE0
u
(E , E) −−−−→ (E , E)
MEE (u)
traduit les égalités
u = iE ◦ u ◦ iE
0
0
0
et MEE0 (u) = (PEE )−1 MEE (u)PEE .
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MAT231, Chapitre 4
Réduction des endomorphismes, I
Réduction des endomorphismes, I
Analyse raisonnée
Étant donné un endomorphisme u d’un espace vectoriel E , de
dimension finie sur un corps K, on veut trouver une base de E
dans laquelle la matrice de l’endomorphisme soit la plus simple
possible, c’est-à-dire une matrice diagonale ou une matrice
triangulaire supérieure (ou inférieure), formes qui permettent de
résoudre simplement les systèmes linéaires ou les équations
différentielles linéaires par exemple.
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MAT231, Chapitre 4
Réduction des endomorphismes, I
Valeurs propres – Vecteurs propres
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n.
Définition
Soit u ∈ L(E ). Le scalaire λ ∈ K est appelé valeur propre de
l’endomorphisme u s’il existe un vecteur x ∈ E tel que x 6= 0 et
u(x ) = λx . Le vecteur x est dit vecteur propre de u associé à la
valeur propre λ.
Définition
Si λ est valeur propre de u, le sous-espace vectoriel
Eλ := Ker(u − λiE ) de E s’appelle l’espace propre de u associé à
la valeur propre λ (il est, par définition, non réduit à {0}).
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MAT231, Chapitre 4
Réduction des endomorphismes, I
Proposition
Soit u ∈ L(E ). Si λ1 , . . . , λp sont des valeurs propres de u deux à
deux distinctes, alors les espaces propres associés, Eλ1 , . . . , Eλp ,
sont en somme directe, c’est-à-dire, pour tout j, 1 ≤ j ≤ p,
Eλ j
\
Eλ1 + · · · + Eλj−1 + Eλj+1 + · · · + Eλp = {0}.
Corollaire
Si u ∈ L(E ) et si dim(E ) = n alors u possède au plus n valeurs
propres distinctes dans K.
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MAT231, Chapitre 4
Réduction des endomorphismes, I
Théorème et Définition (Endomorphisme diagonalisable)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit u ∈ L(E ) un
endomorphisme de E . Les trois assertions suivantes sont
équivalentes.
1. Il existe une base de E formée de vecteurs propres de u.
2. Les espaces propres Eλ1 , . . . , Eλp de u correspondant à des
valeurs propres distinctes vérifient E = Eλ1 ⊕ · · · ⊕ Eλp .
3. Il existe une base E de E telle que la matrice MEE (u) de u
dans cette base soit diagonale.
Dans ce cas, on dit que l’endomorphisme u est diagonalisable.
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MAT231, Chapitre 4
Réduction des endomorphismes, I
Corollaire
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit u un
endomorphisme de E qui admet n valeurs propres distinctes dans
K. Alors l’endomorphisme u est diagonalisable.
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MAT231, Chapitre 4
Réduction des endomorphismes, I
Théorème et Définition (Endomorphisme trigonalisable)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit u ∈ L(E ) un
endomorphisme de E . Les deux assertions suivantes sont
équivalentes.
1. Il existe une base E = {e1 , . . . , en } de E telle que les
sous-espaces vectoriels V1 := Vect(e1 ), V2 := Vect(e1 , e2 ),
. . . , Vn := Vect(e1 , . . . , en ) soient stables par u, c’est-à-dire
u(Vj ) ⊂ Vj pour 1 ≤ j ≤ n.
2. Il existe une base E de E telle que la matrice MEE (u) de u
dans cette base soit triangulaire supérieure.
Dans ce cas, on dit que l’endomorphisme u est trigonalisable. Les
coefficients diagonaux de la matrice MEE (u) sont les valeurs propres
de u dans K.
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MAT231, Chapitre 4
Réduction des endomorphismes, I
Définition
Soit M une matrice carrée n × n, à coefficients dans K. Soit u
l’endomorphisme de Kn dont la matrice associée relativement à la
base canonique de Kn est M. On dit que la matrice M est
diagonalisable (resp. trigonalisable) si l’endomorphisme u
correspondant est diagonalisable (resp. trigonalisable).
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MAT231, Chapitre 4
Réduction des endomorphismes, I
Hypothèse (T)
On dira que le corps K possède la propriété (T) si, pour tout
K-espace vectoriel E , de dimension finie, tout endomorphisme u de
E possède au moins une valeur propre c’est-à-dire, il existe au
moins un élément λ ∈ K tel que Ker(u − λiE ) 6= {0}.
Théorème
Supposons que le corps K possède la propriété (T). Soit E un
espace vectoriel de dimension finie sur K. Alors, tout
endomorphisme u de E est trigonalisable.
Remarque. On montrera ultérieurement que C possède la
propriété (T). Le corps R ne possède pas la propriété (T).
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MAT231, Chapitre 4
Groupe des permutations
Groupe des permutations
I
Pour n ∈ N• , on désigne par N•n l’ensemble {1, 2, . . . , n}.
I
On désigne par Sn le groupe des permutations, c’est-à-dire le
groupe des bijections de N•n dans lui-même. Notons que le
groupe Sn a n! éléments.
I
On peut expliciter une permutation σ ∈ Sn par un tableau
σ=
1
2
···
σ(1) σ(2) · · ·
!
n
.
σ(n)
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MAT231, Chapitre 4
Groupe des permutations
I
On note σ ◦ τ ou στ la composition des deux permutations σ
et τ ; on note ι la permutation identité.
I
On appelle transposition une permutation τ qui échange deux
indices et qui laisse les autres inchangés. Autrement dit, une
permutation τ est de la forme τ = τij où
τij (i) = j, τij (j) = i, et τij (k) = k, pour k 6= i, k 6= j.
Pour toute permutation τ , on a τ 2 = τ .
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MAT231, Chapitre 4
Groupe des permutations
Théorème
Pour n ≥ 2, l’ensemble des transpositions de Sn engendre Sn ,
c’est-à-dire, toute permutation peut s’écrire comme produit de
transpositions.
Remarque. La décomposition d’une permutation en produit de
transpositions n’est pas unique en général. Remarquons également
que pour n ≥ 3, le groupe S3 n’est pas commutatif.
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MAT231, Chapitre 4
Groupe des permutations
Définition (Signature)
Soit n ≥ 2 et soit σ ∈ Sn . Le nombre (σ) défini par
(σ) =
Y
1≤i<j≤n
σ(i) − σ(j)
i −j
s’appelle la signature de la permutation σ.
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MAT231, Chapitre 4
Groupe des permutations
Théorème
Pour σ ∈ Sn , la signature (σ) est égale (−1)N où N est le nombre
d’éléments de l’ensemble {(i, j) ∈ N•n × N•n | i < j et σ(i) > σ(j)}
(c’est-à-dire le nombre d’inversions de σ).
La signature est un homomorphisme surjectif du groupe Sn sur le
groupe multiplicatif Γ = {−1, 1}.
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MAT231, Chapitre 4
Groupe des permutations
Définition
Les permutations telles que (σ) = 1 forment un sous-groupe de
Sn appelé le groupe alterné et noté An . Les éléments de An sont
appelés permutations paires ; les élements de Sn \ An sont appelés
permutations impaires.
Attention. Les permutations impaires ne forment pas un
sous-groupe.
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MAT231, Chapitre 4
Formes multi-linéaires
Formes multi-linéaires
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et soit p ∈ N• .
Définition
On dit que l’application ϕ de |E × ·{z
· · × E} (p exemplaires de E )
p
dans K est une forme p-linéaire sur E si, pour tout j tel que
1 ≤ j ≤ p, et pour tous vecteurs y1 , . . . , yp ∈ E , les applications
partielles
x 7→ ϕ(y1 , . . . , yj−1 , x , yj+1 , . . . yp )
sont des formes linéaires de E dans K. Si p = 2, on dira que ϕ est
bilinéaire. On notera Lp (E , K) l’ensemble des formes p-linéaires
sur E .
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MAT231, Chapitre 4
Formes multi-linéaires
Étant données ϕ ∈ Lp (E , K) une forme p-linéaire sur E et σ ∈ Sp
une permutation, on définit une forme p-linéaire sur E , notée σ ∗ ϕ,
par la formule
σ ∗ ϕ(x1 , . . . , xp ) := ϕ(xσ(1) , . . . , xσ(p) ).
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MAT231, Chapitre 4
Formes multi-linéaires
Définition
On dit qu’une forme p-linéaire, ϕ ∈ Lp (E , K), est symétrique si
σ ∗ ϕ = ϕ pour tout σ ∈ Sp . On désigne par Sp (E , K) l’ensemble
des formes p-linéaires symétriques sur E .
Définition
On dit qu’une forme p-linéaire, ϕ ∈ Lp (E , K), est anti-symétrique
si σ ∗ ϕ = (σ)ϕ pour tout σ ∈ Sp . On désigne par Ap (E , K)
l’ensemble des formes p-linéaires anti-symétriques sur E .
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MAT231, Chapitre 4
Formes multi-linéaires
Définition
On dit qu’une forme p-linéaire, ϕ ∈ Lp (E , K), est alternée si
ϕ(x1 , . . . , xp ) = 0 chaque fois qu’il existe deux indices distincts i et
j tels que xi = xj .
Propriété
Une p-forme linéaire ϕ sur E est alternée si et seulement si elle est
anti-symétrique (rappelons que K = R ou C).
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MAT231, Chapitre 4
Formes multi-linéaires
Exemples
• Pour p = 1, on retrouve les formes linéaires.
• Dans R2 , l’application (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) 7→ x1 x2 + y1 y2 définit
une application bilinéaire symétrique.
• Dans R2 , l’application (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) 7→ x1 y2 − x2 y1 définit
une application bilinéaire anti-symétrique.
• Si ϕ1 , . . . , ϕp sont des formes linéaires sur E , l’application
(x1 , . . . , xp ) 7→ ϕ1 (x1 ) · · · ϕp (xp ) définit une application p-linéaire
que l’on note ϕ1 · · · ϕp .
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MAT231, Chapitre 4
Formes multi-linéaires
Théorème
Soit E un K-espace vectoriel et soit p ∈ N• .
1. Les ensembles Lp (E , K), Sp (E , K) et Ap (E , K), munis des
opérations naturelles, sont des espaces vectoriels sur K.
2. Pour qu’une p-forme linéaire ϕ sur E soit symétrique, il faut
et il suffit que τ ∗ ϕ = ϕ pour toute transposition τ ∈ Sp .
3. Pour qu’une p-forme linéaire ϕ sur E soit anti-symétrique, il
faut et il suffit que τ ∗ ϕ = −ϕ pour toute transposition
τ ∈ Sp .
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MAT231, Chapitre 4
Formes multi-linéaires
Remarques
• Si E est de dimension finie n, on peut montrer que Lp (E , K) est
de dimension finie.
• Si ϕ ∈ Lp (E , K) alors ϕ(x1 , . . . , xp ) = 0 si l’un des vecteurs xj
est nul.
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MAT231, Chapitre 4
Formes multi-linéaires
Proposition et Définition
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et soit
ϕ ∈ Lp (E , K) une forme p-linéaire sur E . Alors
S(ϕ) :=
X
σ ∗ ϕ et A(ϕ) :=
σ∈Sp
X
(σ)σ ∗ ϕ
σ∈Sp
sont des formes p-linéaires sur E . De plus,
1. la forme S(ϕ) est symétrique, on dit que c’est la symétrisée
de ϕ ;
2. la forme A(ϕ) est anti-symétrique, on dit que c’est
l’anti-symétrisée de ϕ.
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MAT231, Chapitre 4
Déterminant
Déterminant associé à une base d’un espace vectoriel
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et soit
E = {e1 , . . . , en } une base de E . On désigne par E ∗ = {e1∗ , . . . , en∗ }
la base duale de E ∗ .
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MAT231, Chapitre 4
Déterminant
Proposition et Définition
L’application de E n dans K qui au n-uplet de vecteurs (x1 , . . . , xn )
Q
associe nj=1 ej∗ (xj ) est une forme n-linéaire sur E . Son
anti-symétrisée
(x1 , . . . , xn ) 7→
X
σ∈Sn
(σ)
n
Y
ej∗ (σ(xj )),
j=1
est notée DetE et appelée le déterminant associé à la base E. Elle
vérifie DetE (e1 , . . . , en ) = 1. Il en résulte en particulier que
An (E , K) 6= {0}.
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MAT231, Chapitre 4
Déterminant
Exemples
• Dimension 2
• Dimension 3
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit p ∈ N• . Soit
E = {e1 , . . . , en } une base de E et soit E ∗ = {e1∗ , . . . , en∗ } la base
duale.
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MAT231, Chapitre 4
Déterminant
Théorème
Avec les notations précédentes,
1. Si p > n, on a Ap (E , K) = {0}.
2. L’espace vectoriel An (E , K) est de dimension 1 et admet pour
base DetE . Si ϕ ∈ An (E , K), on a
ϕ = ϕ(e1 , . . . , en ) DetE .
De plus, DetE est le seul élément de An (E , K) qui prend la
valeur 1 sur le n-uplet {e1 , . . . , en }.
3. Soit X := {x1 , . . . , xn } ∈ E n un n-uplet de vecteurs. On a,
DetE (X ) =
X
σ∈Sn
(σ)
n
Y
ej∗ (xσ(j) )
=
j=1
X
(σ)
σ∈Sn
n
Y
∗
eσ(j)
(xj ).
j=1
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MAT231, Chapitre 4
Déterminant
Soit X = (x1 , . . . , xn ) un n-uplet de vecteurs de E .
Définition
On dit que DetE (X ) := DetE (x1 , . . . , xn ) est le déterminant du
n-uplet dans la base E.
Proposition
Soit E un espace vectoriel de dimension n.
1. Si E et F sont des bases de E alors DetE (F) est inversible
dans K et (DetE (F))−1 = DetF (E).
2. Soit E une base de E et soit F un n-uplet de vecteurs. Alors,
F est une base de E si et seulement si DetE (F) 6= 0.
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MAT231, Chapitre 4
Déterminant d’un endomorphisme
Théorème et Définition (Déterminant d’un endomorphisme)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1 et soit u un
endomorphisme de E . Il existe un unique scalaire, appelé
déterminant de u, et noté Det(u), tel que pour tout
ϕ ∈ An (E , K), et tous x1 , . . . , xn ∈ E , on ait
ϕ(u(x1 ), . . . , u(xn )) = Det(u)ϕ(x1 , . . . , xn ).
Ce scalaire est donné, dans une base E = {e1 , . . . , en } de E , par
Det(u) = DetE (u(e1 ), . . . , u(en )).
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MAT231, Chapitre 4
Déterminant d’un endomorphisme
Remarque. La première formule du Transparent 71 montre que le
déterminant d’un endomorphisme ne dépend pas du choix d’une
base particulière. La deuxième formule donne un moyen de calculer
le déterminant.
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MAT231, Chapitre 4
Déterminant d’un endomorphisme
Théorème
Soit E un espace vectoriel de dimension n ≥ 1.
1. On a Det(iE ) = 1.
2. Pour λ ∈ K et u ∈ L(E ), on a Det(λu) = λn Det(u).
3. Pour u, v ∈ L(E ), on a Det(v ◦ u) = Det(v )Det(u) et
Det(tu) = Det(u) où tu ∈ L(E ∗ ) est l’endomorphisme
transposé de u.
4. Un endomorphisme u de E est inversible si et seulement si son
déterminant est non nul et alors, Det(u −1 ) = (Det(u))−1 .
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MAT231, Chapitre 4
Déterminant d’un endomorphisme
Définition (Déterminant d’une matrice carrée)
Soit A = (aij ) ∈ Mn (K) une matrice carrée sur le corps K. On
appelle déterminant de la matrice A, et on note Det(A) ou encore
|aij |, le déterminant du n-uplet des vecteurs colonnes de A dans la
base canonique de Kn .
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MAT231, Chapitre 4
Déterminant d’un endomorphisme
Proposition
Étant donnée une matrice carrée A = (aij ) ∈ Mn (K), on a
Det(A) =
X
σ∈Sn
(σ)
n
Y
j=1
ajσ(j) =
X
σ∈Sn
(σ)
n
Y
aσ(j)j
j=1
et, en particulier, Det(tA) = Det(A) où tA désigne la matrice
transposée.
Proposition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et E une base de E .
Si u ∈ L(E ) et si A := MEE (u) est la matrice de u dans la base E,
alors Det(u) = Det(A).
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MAT231, Chapitre 4
Déterminant d’un endomorphisme
Propriétés
Soient A, B ∈ Mn (K) et λ ∈ K. Le déterminant d’une matrice
carrée possède les propriétés suivantes.
I
Si on effectue une permutation σ sur les vecteurs colonnes de
A et si on appelle C la matrice ainsi obtenue, on a
Det(C ) = (σ)Det(A).
I
Le déterminant de A dépend linéairement de chacun des
vecteurs colonnes de A.
I
Le déterminant de A ne change pas si on ajoute à l’un de ses
vecteurs colonnes une combinaison linéaire des autres vecteurs
colonnes. Il est nul si un des vecteurs colonnes est
combinaison linéaire des autres vecteurs colonnes.
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MAT231, Chapitre 4
Déterminant d’un endomorphisme
Propriétés, suite
I
Comme Det(tA) = Det(A), les propriétés ci-dessus sont
également valables pour les vecteurs lignes.
I
On a Det(In ) = 1 (où In désigne la matrice identité d’ordre n),
Det(λA) = λn Det(A) et Det(AB) = Det(A)Det(B).
I
Si A est une matrice 1 × 1 identifiée à un scalaire α, on a
Det(A) = α.
I
La matrice A est inversible si et seulement si Det(A) 6= 0 et
alors Det(A−1 ) = (Det(A))−1 .
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MAT231, Chapitre 4
Calcul des déterminants
Calcul des déterminants
Lemme
Soient n, p, q ∈ N• avec n = p + q. Soient A ∈ Mp , B ∈ Mq et
C ∈ Mp,q . On définit une matrice M ∈ Mn par
!
M :=
A C
.
0 B
Alors, Det(M) = Det(A)Det(B).
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MAT231, Chapitre 4
Calcul des déterminants
Proposition
Soit M ∈ Mn une matrice de matrices, triangulaire supérieure,
c’est à dire de la forme



M := 


M11 M12 · · ·
0
M22 · · ·
..
..
.
.
0
0
···

M1m
M2m 

.. 

. 
Mmm
où les Mii , 1 ≤ i ≤ m, sont des matrices carrées. Alors,
Det(M) = Det(M11 ) · · · Det(Mmm ).
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MAT231, Chapitre 4
Calcul des déterminants
Corollaire
Si

a11 a12 · · ·

 0 a22 · · ·
A := 
..
 ..
.
 .
0
0 ···

a1n
a2n 

.. 

. 
ann
est une matrice triangulaire supérieure de taille n × n, alors
Det(A) = a11 · · · ann .
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MAT231, Chapitre 4
Calcul des déterminants
Proposition et Définition
Soit A := (aij ) une matrice carrée. On désigne par Âij la matrice
obtenue à partir de A en supprimant la i-ème ligne et la j-ème
colonne. Alors, pour 1 ≤ i, j ≤ n,
Det(A) =
n
X
k=1
(−1)
k+j
akj Det(Âkj ) =
n
X
(−1)i+k aik Det(Âik ).
k=1
La première (resp. seconde) égalité est appelée le développement
du déterminant de A suivant la j-ème colonne (resp. suivant la
i-ème ligne).
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MAT231, Chapitre 4
Calcul des déterminants
Définition
Étant donnée une matrice A := (aij ), le nombre (−1)i+j Det(Âij )
s’appelle le co-facteur du coefficient aij . La transposée de la
matrice des co-facteurs s’appelle la matrice complémentaire de la
matrice A et se note Ã.
Proposition
Soit A ∈ Mn une matrice et soit à sa matrice complémentaire.
Alors,
AÃ = ÃA = Det(A)In .
En particulier, si Det(A) 6= 0, la matrice A est inversible et son
inverse est donnée par la formule
A−1 = (Det(A))−1 Ã.
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MAT231, Chapitre 4
Réduction des endomorphismes, II
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et soit E une base
de E . Soit u un endomorphisme de E et A sa matrice dans la base
E. Les formules
Det(A − λIn ) =
X
(σ)
σ∈Sn
=
X
σ∈Sn
(σ)
n
Y
j=1
n
Y
(ajσ(j) − λδjσ(j) )
(aσ(j)j − λδσ(j)j )
j=1
permettent de définir un polynôme de degré n
PA (X ) :=
X
(σ)
σ∈Sn
n
Y
j=1
(ajσ(j) −X δjσ(j) ) =
X
σ∈Sn
(σ)
n
Y
(aσ(j)j −X δσ(j)j ).
j=1
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MAT231, Chapitre 4
Réduction des endomorphismes, II
Proposition et Définition (Polynôme caractéristique)
Soient E, F deux bases de E et soient A, B les matrices de
l’endomorphisme u dans ces bases. Alors, PA (X ) = PB (X ). Ce
polynôme, noté Pu (X ), s’appelle le polynôme caractéristique de
l’endomorphisme u.
Proposition
Les valeurs propres de l’endomorphisme u ∈ LK (E ) sont les
racines, dans K, du polynôme caractéristique Pu (X ) ∈ K[X ].
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MAT231, Chapitre 4
Réduction des endomorphismes, II
Version Octobre 2008
mat231-chap4-algebre-lineaire-081013.tex (13 octobre
2008)
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