IV Opérations sur les applications linéaires

APPLICATIONS LINEAIRES
IV
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IV Opérations sur les applications linéaires
Opérations sur les applications linéaires
Addition et multiplication par un scalaire
• Remarque. Si f , g ∈ L(E, F) et si λ ∈ K, on peut définir les applications f + g et λf en posant, pour tout x ∈ E
(f + g)(x) =
et
(λf )(x) = λf (x)
Proposition
Si f , g ∈ L(E, F) et si λ ∈ K, alors
Proposition
L(E, F) est un espace vectoriel. En particulier L(E) est aussi un espace vectoriel.
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Composition des applications linéaires
Proposition
Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels et soient f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G).
• g ◦ f est une application linéaire : g ◦ f ∈
• Si f est un isomorphisme de E sur F, alors f −1 est
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Calculs dans L(E)
Proposition : Règles de calculs avec « ◦ »
Soient f , g, h ∈ L(E).
• (f + g) ◦ h =
et f ◦ (g + h) =
• Si λ ∈ K, λ(f ◦ g) =
Proposition : Règles de calculs avec « ◦ »
La composée de deux automorphis
Définition
Soit f ∈ L(E). On définit les puissances de l’endomorphisme f par récurrence : on pose f 0 = IdE puis, pour
tout k ∈ N∗ , f k = f ◦ f k−1 . Autrement dit l’endomorphisme f k vérifie : f k =
Proposition
Soit f ∈ L(E). Pour p, q dans N, on a
f p ◦f q =
et
(f p )q =
j Attention j En général (f ◦ g)k , f k ◦ g k . Pour qu’il y ait égalité il suffirait que f et g commutent
Proposition : Formule du binôme de Newton
Soient f , g ∈ L(E) telles que f ◦ g = g ◦ f . Alors pour tout p ∈ N :
(f + g)p =
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IV 3
Calculs dans L(E)
Morale
La composition f ◦ g dans L(E) obéit aux mêmes règles de calcul que le produit matriciel AB dans Mn (R).