IV Opérations sur les applications linéaires

APPLICATIONS LINEAIRES IV Opérations sur les applications linéaires
IV Opérations sur les applications linéaires
1 Addition et multiplication par un scalaire
•Remarque. Si f ,g ∈ L(E,F) et si λ∈K , on peut définir les applications f + g et λf en posant, pour tout x∈E
(f+g)(x) = et (λf )(x) = λf (x)
Si f ,g ∈ L(E,F) et si λ∈K, alors
Proposition
L(E,F) est un espace vectoriel. En particulier L(E) est aussi un espace vectoriel.
Proposition
2 Composition des applications linéaires
Soient E,Fet Gtrois K-espaces vectoriels et soient f∈ L(E,F) et g∈ L(F, G).
•g◦fest une application linéaire : g◦f∈
• Si fest un isomorphisme de Esur F, alors f−1est
Proposition
3 Calculs dans L(E)
Soient f ,g,h ∈ L(E).
• (f+g)◦h= et f◦(g+h) =
• Si λ∈K,λ(f◦g) =
Proposition : Règles de calculs avec « ◦»
La composée de deux automorphis
Proposition : Règles de calculs avec « ◦»
Soit f∈ L(E). On définit les puissances de l’endomorphisme fpar récurrence : on pose f0= IdEpuis, pour
tout k∈N∗,fk=f◦fk−1. Autrement dit l’endomorphisme fkvérifie : fk=
Définition
Soit f∈ L(E). Pour p,q dans N, on a fp◦fq= et (fp)q=
Proposition
jAttention jEn général (f◦g)k,fk◦gk. Pour qu’il y ait égalité il suffirait que fet gcommutent
Soient f ,g ∈ L(E) telles que f◦g=g◦f. Alors pour tout p∈N:
(f+g)p=
Proposition : Formule du binôme de Newton

APPLICATIONS LINEAIRES IV 3 Calculs dans L(E)
La composition f◦gdans L(E) obéit aux mêmes règles de calcul que le produit matriciel AB dans Mn(R).
Morale