AlgLin_Fiche_1

Université de Paris 5 - René Descartes
UFR de Mathématiques et Informatique
45, rue des Saints-Pères 75270 Paris cedex 06
Licence 3eannée 2005-2006
Algèbre Linéaire
Fiche 1
Exercice 1. Dans un espace vectoriel on considère trois sous-espaces vectoriels U,V,W et on suppose
que U C V U W . Montrer que U C V ou U C W .
Exercice 2. Dans un espace vectoriel réel de dimension finie n, une famille est dite positivement
génératrice si tout vecteur de l'espace s'écrit comme combinaison linéaire à coefficients positifs
d'éléments de cette famille. Quel est le cardinal minimum d'une telle famille? Ji nv
Exercice 3. Soit A, B € .Md(R) On suppose que A et B sont semblables dans Md(C) c'est à dire qu'il
existe P € ÇCd(C) telle que PB = AP.
Montrer alors que A et B sont semblables dans ./Vf^M) c'est à dire qu'il existe Q £ QCd.(R) telle que
QB = AQ.
Exercice 4. Montrer qu'un endomorphisme u d'un espace vectoriel E de dimension finie qui laisse
stable toute droite vectorielle est une homothétie. Montrer qu'il en est de même si cet endomorphisme
laisse stable tout hyperplan. Généralisation?
Exercice 5. On note M (a. b. c) la matrice réelle avec des a au dessous de la diagonale, des b sur la
diagonale, des c au dessus de la diagonale.
1) Montrer que, pour toute matrice carrée (m
z
j), par rapport à la variable réelle t, det[(m;y + t)} est
une fonction affine de t.
2) Pour a ^ c, calculer le déterminant de M(a, b, c).
On suppose dorénavant a = c et on note M (a, b) pour M (a, b, a).
3) Calculer le déterminant de M (a, b)
Exercice 6 (Extrait du partiel de novembre 2000). Pour n 6 N* et ai, ... , a
n
nombres complexes
donnés, on note M (ai, . . . , a
n
) la matrice n x n de terme général (a;)-
7
"
1
où i désigne comme d'habitude
l'indice de ligne et j l'indice de colonne.
1) Dans le cas n = 3, écrire explicitement M (ai, 02, 0:3) et calculer son déterminant.
2) On revient au cas général n e N* quelconque.
2. a) Soit P un polynôme unitaire (c'est à dire de coefficient dominant égal à 1) de degré n — 1.
Montrer qu'on peut remplacer dans det M (ai, . . . , a
n
) la dernière colonne dont le terme général est
a™"
1
par la colonne de terme général P(ai).
2.b) Déterminer P pour qu'il s'annule en ai, ... ,a
n
_i.
2.c) Avec ce choix de P en déduire une formule de récurrence sur det M (ai, . . . ,a
n
) c'est à dire
exprimer det M (ai, . . . , a
n
) en fonction de ai, . . . , a
n
et de det M (ai, . . . , a
n
_i).
2.d) En déduire une expression de det M (ai, . . . , a
n
).
2.e) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice M (ai, . . . ,a
n
) ^ 0 soit in-
versible.