Feuille d`exercices 10

Ecole Normale Sup´erieure Paris Ann´ee 2013-2014
Alg`ebre 1
Feuille d’exercices 10
Exercice 1 Soient Uet Vdes espaces vectoriels (sur un corps k). On note U∗=
Homk(U, k) le dual de U. Expliciter une application lin´eaire naturelle injective Φ :
U∗⊗kV→Homk(U, V ). Quelles sont les images des tenseurs purs (c’est-`a-dire les λ⊗v
avec λ∈U∗et v∈V) ? Quelle est l’image de l’application Φ ? Quand est-elle un
isomorphisme ?
Exercice 2 Soit kun corps et soit Eun espace vectoriel de dimension finie sur k. Soit
n≥1 un entier. Montrer que le dual (VnE)∗de VnEest canoniquement isomorphe `a
VnE∗.
Exercice 3 Soit n≥1 un entier et soit kun corps et soit Eun espace vectoriel de dimen-
sion finie sur k. Montrer que le dual (ViE)∗de ViEest non-canoniquement isomorphe
`a Vn−iE.
Exercice 4 Soient kun corps et E, F des k-espaces vectoriels. Soit n≥1 un entier.
Montrer que l’on a une bijection entre les applications lin´eaires VnE→Fet les applica-
tions n-lin´eaires altern´ees En→F.
Exercice 5 Soient kun corps et Eun k-espace vectoriel. Soient u1, . . . , urdes ´el´ements
de E.
1. Montrer que l’on a u1∧· · ·∧ur6= 0 dans VrEsi et seulement si la famille (u1, . . . , ur)
est libre dans E.
2. Montrer que l’on a u1∧ · · · ∧ ur6= 0 dans VrEsi et seulement s’il existe une forme
altern´ee fsur Etelle que f(u1, . . . , ur)6= 0.
Exercice 6 Soient kun corps et E,Fdes k-espaces vectoriels. Soit n≥1 un entier et
soit u:E→Fune aplication lin´eaire.
1. D´efinir une application lin´eaire “naturelle” Vnu:VnE→VnF.
2. Supposons que le rang de uest fini ´egal `a un entier r. Montrer que si n≤r, alors
le rang de Vnuest Cn
r, et si n > r alors l’application Vnuest nulle.
1

Exercice 7 Soient kun corps et Eun k-espace vectoriel.
1. Supposons Ede dimension finie. On note VE=LnVnEet on ´ecrit tout ´el´ement
z∈VEsous la forme z=Pn≥0zn. Montrer que z∈VEest inversible si et
seulement si z06= 0.
2. Montrer que tout ´el´ement z∈VEappartient `a un VFpour un certain sous-espace
F⊂Ede dimension finie. Conclure.
Exercice 8 Soit Vun espace vectoriel hermitien complexe de dimension finie n, de base
(e1, . . . , en). On ne suppose pas que cette base est orthonormale. On d´esigne par h·,·i
la forme sesquilin´eaire hermitienne de V. Pour 1 ≤i≤n, soit siune transformation
unitaire telle que si(ei) = cieiavec ci6= 1 et telle que siest l’idetit´e sur e⊥
i. On appelle
Wle sous-groupe de GL(V) engendr´e par les si.
1. Soit x∈V. Exprimer si(x) comme combinaison lin´eaire de xet de ei.
2. Soit kun entier sup´erieur ou ´egal `a 1. Montrer que tout ´el´ement de Vk(V) invariant
par West nul. (On pourra proc´eder par r´ecurrence sur nen consid´erant le sous-
espace V0de base (e1, . . . , en−1), et en d´ecomposant Vcomme somme directe de V0
et de son suppl´ementaire orthogonal.)
3. On suppose que West fini. Montrer que pour tout ´el´ement Ade End(V) on a :
X
w∈W
det(A−w) = card(W)·det(A),et X
w∈W
det(Id −Aw) = card(W).
4. En d´eduire que pour tout Ade End(V), il existe w∈Wtel que Aw n’a aucun point
fixe non nul.
2