Trigonométrie - Math La Salle

Trigonométrie
F. Tuaillon 2013
I/ Rappels du collège: trigonométrie dans un triangle rectangle
côté
hypoténuse
cos
=
adjacent
hypoté nuse
sin
=
opposé
hypoté nuse
tan
=
sin
cos
opposé
côté
adjacent
=
opposé
adjacent
L’angle étant un angle d’un triangle rectangle, 0° < < 90°.
cos et sin étant des rapports de longueurs, cos > 0 et sin > 0.
Le côté opposé et le côté adjacent étant plus courts que l’hypoténuse, cos
Finalement, si 0° <
< 90°, alors 0 < cos
< 1 et 0 < sin
< 1 et sin
< 1.
< 1.
Exercice
Donner la longueur h de l’hypoténuse de ce triangle.
30°
5
On a le côté opposé à l’angle de 30° et on cherche l’hypoténuse.
Le cosinus donne un lien entre le côté opposé et l’hypoténuse.
Il est donc avantageux d’utiliser le cosinus.
5
5
cos 30° = donc h =
5,77.
h
cos 30
II/ Cercle trigonométrique
Dans un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle centré sur l’origine du
repère et de rayon 1.
À tout point M du cercle trigonométrique on associe un angle .
M
O
A
Au point A ( 1 ; 0 ) on associe l’angle de 0°.
Si l’on tourne d’un angle droit, on arrive au point de coordonnées ( 0 ; 1 ) qui correspond à
l’angle de 90°.
90°
180°
0°
270°
Pour atteindre le point de coordonnées ( 0 ; - 1 ), on peut faire trois quarts de tour à partir du
point A ( 1 ; 0 ).
On peut aussi faire un quart de tour dans l’autre sens.
Autrement dit, le point de coordonnées ( 0 ; - 1 ) correspond à l’angle de 270° et aussi à
l’angle de - 90°.
De même, le même point correspond à l’angle de 180° et à l’angle de - 180°. etc.
90°
180° ou - 180°
0° ou 360° ou - 360° etc.
270° ou - 90°
On décide donc de s’intéresser au sens des angles.
Le sens des aiguilles d’une montre est le sens négatif ou rétrograde.
Le sens inverse des aiguilles d’une montre est le sens positif ou sens trigonométrique.
Un angle qui tourne dans le sens des aiguilles d’une montre a une mesure négative.
Un angle qui tourne dans le sens trigonométrique a une mesure positive.
Quand on précise le sens d’un angle, on parle d’angle orienté.
Quand on ne précise pas le sens d’un angle, on parle d’angle géométrique (comme au collège).
III/ Cosinus et sinus
M
M’
O
Puisque OMM ’ est un triangle rectangle, on peut donner cos et sin .
OM '
cos =
= OM ’ car OM = 1 ( car le cercle trigonométrique a pour rayon 1 )
OM
donc cos est l’abscisse de M.
MM '
De même, sin =
= MM ’ et sin est l’ordonnée de M.
OM
Cela servira de définition du cosinus et du sinus :
Définition
Soit M un point du cercle trigonométrique.
Soit l’angle correspondant au point M.
cos est l’abscisse de M.
sin est l’ordonnée de M.
Exemples
90°
L’angle de 0° correspond au point de coordonnées ( 1 ; 0 )
donc cos 0° = 1 et sin = 0.
L’angle de 90° correspond au point de coordonnées
( 0 ; 1 ) donc cos 90° = 0 et sin 90° = 1.
180°
0°
De même, cos 180° = - 1 et sin 180° = 0.
De même, cos ( - 90° ) = 0 et sin ( - 90° ) = - 1.
- 90°
On peut maintenant donner le cosinus et le sinus d’un angle de n’importe quelle mesure,
même si elle est très grande, même si elle est négative.
De plus, comme M appartient au cercle centré sur l’origine du repère et de rayon 1, l’abscisse
et l’ordonnée de M sont comprises entre - 1 et 1.
Propriété: quel que soit le nombre , - 1
cos
1 et - 1
sin
1.
IV/ Utilisation du cercle trigonométrique
Ces valeurs doivent être connues par cœur (démonstration plus loin).
0°
30°
45°
60°
90°
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
sin
0
2
2
1
2
3
2
1
Donner cos 120° et sin 120°
B
A
L’angle de 60° est représenté par le point A.
3
3
1
1
cos 60° = et sin 60° =
donc les coordonnées de A sont ( ;
).
2
2
2
2
L’angle de 120° est représenté par le point B.
Pour des raisons de symétrie, A et B ont des abscisses opposées et la même ordonnée.
3
1
donc les coordonnées de B sont ( - ;
).
2
2
3
1
donc cos 120° = - et sin 120° =
.
2
2
Donner cos 225° et sin 225°
B
A
L’angle de 45° est représenté par le point A.
2
2
2
2
cos 45° =
et sin 45° =
donc les coordonnées de A sont (
;
).
2
2
2
2
L’angle de 225° est représenté par le point B.
Pour des raisons de symétrie, A et B ont des abscisses et des ordonnées opposées
2
2
donc les coordonnées de B sont ( ;).
2
2
2
2
donc cos 225° = et sin 225° = .
2
2
Donner cos ( - 30° ) et sin ( - 30° )
Faites-le vous même.
3
1
On trouve cos ( - 30° ) =
et sin ( - 30° ) = - .
2
2
V/ Enroulement autour du cercle trigonométrique
On fixe une corde au point A et on enroule cette corde autour du cercle trigonométrique.
M
O
A
O
A
Question: quelle est la longueur de corde enroulée autour du cercle entre les points A et M ?
Plus l’angle est grand, plus cette longueur de corde est grande.
On peut même dire que cette longueur de corde est proportionnelle à l’angle .
Bon, mais comment la calculer ?
On continue à enrouler jusqu’à faire un tour complet.
Cherchons la longueur de corde enroulée autour du cercle sur un tour complet (du point A au
point A).
Cette longueur est le périmètre du cercle, c’est-à-dire 2 R où R est le rayon du cercle
trigonométrique.
Comme le rayon du rayon du cercle trigonométrique est 1,
la longueur de corde enroulée autour du cercle sur un tour complet est 2 .
On enroule maintenant seulement sur un demi-tour.
Puisqu’il y a proportionnalité, la longueur de corde est deux fois plus petite.
La longueur de corde enroulée autour du cercle sur un demi-tour est .
On enroule maintenant seulement sur un quart de tour.
La longueur de corde est encore divisée par 2.
La longueur de corde enroulée autour du cercle sur un quart de tour est
2
.
Correspondance avec les angles
Quand on a enroulé sur un tour complet, on a tourné d’un angle de 360° et on a enroulé une
longueur de corde de 2 .
Quand on a enroulé sur un demi-tour, on a tourné d’un angle de 180° et on a enroulé une
longueur de corde de .
Quand on a enroulé sur un quart de tour, on a tourné d’un angle de 90° et on a enroulé une
longueur de corde de
2
.
2
360°
180°
2
4
90°
45°
La longueur de corde enroulée est une autre façon de mesurer un angle.
Cette nouvelle unité d’angle s’appelle le radian.
La mesure en degrés d’un angle droit est 90°.
La mesure en radians d’un angle droit est
2
.
Si l’on enroule sur une moitié d’angle droit (45°),
1
on trouve une longueur de corde de
= .
2
2
4
Si l’on enroule sur un tiers d’angle droit (30°),
1
on trouve une longueur de corde de
= .
3
2
6
Si l’on enroule sur deux tiers d’angle droit (60°),
2
on trouve une longueur de corde de
= .
3
2
3
Mesure en radians
0
Mesure en degrés
0°
On a vu que sin 30° =
6
4
3
2
30°
45°
60°
90°
180°
360°
1
1
. On dira donc que sin
= .
2
2
6
2
; sin 2 = 0 etc.
2
2
4
2
3
5
1
2
On peut même dire que cos
=; cos ( ) = ; sin
=
etc.
2
2
4
2
3
3
On dira aussi que cos
=-1;
sin
= 1 ; cos
=
VI/ Démonstrations
Calcul de cos 45° et de sin 45°
On utilise un triangle isocèle rectangle.
Si les deux côtés de même longueur ont pour longueur 1,
l’hypoténuse a pour longueur 2 donc
2
1
2
1
cos =
=
=
et
2
2
2
2
45°
sin
=
1
1
=
2
2
2
2
=
2
.
2
Calcul de cos 30°, sin 30°, cos 60° et sin 60°
On utilise un triangle équilatéral de côté 1.
1
,
2
3
le côté opposé à l’angle de 60° a pour longueur
,
2
l’hypoténuse a pour longueur 1 donc
3
1
cos 60° = et sin 60 ° =
.
2
2
Le côté adjacent à l’angle de 60° a pour longueur
30°
60°
3
, le côté opposé à l’angle de 30° a pour
2
3
1
1
longueur , l’hypoténuse a pour longueur 1 donc cos 30° =
et sin 30 ° = .
2
2
2
Le côté adjacent à l’angle de 30° a pour longueur
Finalement
0°
30°
45°
60°
90°
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
sin
0
1
2
2
2
3
2
1