Chapitre 3

Nombres complexes
B. Aoubiza
Département GTR
18 septembre 2002

Table des matières
3Nombrescomplexes 2
3.1 Définitionsetnotations ......................................... 2
3.2 Opérationsalgébriquessurlescomplexes................................ 2
3.2.1 Opérationsalgébriquessurlescomplexes—Addition ..................... 2
3.2.2 Opérationsalgébriquessurlescomplexes—Multiplication .................. 3
3.3 Représentationgéométriquedescomplexe ............................... 4
3.4 Quelquesconcepts ............................................ 6
3.4.1 Nombrecomplexeconjugué ................................... 6
3.4.2 Inversed’uncomplexe ...................................... 6
3.4.3 Divisiondeuxcomplexes..................................... 7
3.4.4 Moduled’unnombrecomplexe ................................. 7
3.5 Nombrecomplexesousformetrigonométrique............................. 8
3.6 Notationexponentielled’uncomplexe ................................. 9
3.6.1 Notationexponentielle—Produitdedeuxcomplexes ..................... 10
3.6.2 Notationexponentielle—Puissanced’uncomplexe ...................... 10
3.6.3 Notationexponentielle—FormuledeMoivre.......................... 10
3.6.4 Notationexponentielle—Formuled’Euler ........................... 11
3.7 Résolution des équations à coefficientscomplexes ........................... 11
3.7.1 Résolutiondeséquations—Racinesd’unnombrenégatif................... 11
3.7.2 Résolution des équations — Racines ni`eme del’unité...................... 12
3.7.3 Résolution des équations — Racines ni`eme d’uncomplexe................... 14
3.7.4 Résolutiondeséquations—Racinescarrées .......................... 15
3.7.5 Résolutiondeséquations—Equationduseconddegré..................... 17
3.8 Compléments:Conséquencesdelanotationexponentielle ...................... 18
3.8.1 Notation exponentielle — Justificationformelle......................... 18
3.8.2 Notationexponentielle—IdentitésTrigonométriques ..................... 19
3.8.3 Notation exponentielle — Calcul différentiel .......................... 20
3.8.4 Notation exponentielle — Equations différentielles....................... 20
1

Cha pitre 3
Nombres complexes
Introduction
On ne peut pas tout faire dans l’ensemble des réels R. Par exemple, l’équation x2=−1n’a pas de solutions
réels. Dans ce chapitre, on construit un ensemble plus grand que Ret dans lequel l’équation en question et bien
d’autres auront des solutions.
3.1 Définitions et notations
Définition 1 Un nombre complexe est un nombre de la forme : a+ib où aet bsont des nombres réels.
Notation 1 L’ensemble de tous les nombres complexes est noté : C.
Si z=a+ib est un nombre complexe :
aest dit partie réelle de z.Onnote:Re z=a
best dit partie imaginaire de z.Onnote:Im z=b
Si la partie imaginaire est nulle : z=a+i0=azest dit réel pur.
Si la partie réelle est nulle c’est-à-dire z=0+ib =ib z est dit imaginaire pur.
En particulier, on a 0=0+i0i=0+i1
Remarque 1 Noter qu’un réel peut être considéré comme un complexe dont la partie imaginaire est 0.Ainsi,
Ccontient tous les nombres réels et donc R⊂C.
Exemple 1 Le nombre 3+4iest un complexe : 3estsapartieréelleet4est sa partie imaginaire.
Le nombre 1
2−2 3iest un complexe : 1 2estsapartieréelleet−2 3est sa partie imaginaire.
Le nombre 6iest un complexe : 0estsapartieréelleet6est sa partie imaginaire.
Le nombre −7est un complexe : −7estsapartieréelleet0est sa partie imaginaire.
Egalitédedeuxcomplexes
Soient z1=(a+ib)et z2=(c+id)deux nombres complexes, on a :
z1=z2si et seulement si a=cet b=dc’est-à-dire Re z1=Rez2et Im z1=Imz2.
3.2 Opérations algébriques sur les complexes
3.2.1 Opérations algébriques sur les complexes — Addition
Soient z1=(a+ib)et z2=(c+id)deux nombres complexes. L’addition et la soustraction sont définies par :
(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)
(a+ib)−(c+id)=(a−c)+i(b−d)
2

Exemple 2 Calculer la somme (13 −2i)+(5+i).
Solution :
(13 −2i)+(5+i)=(13+5)+(−2i+i)=18−i
Exemple 3 Calculer µ5
3+11 3i¶−µ3 2+5 2i¶+¡9−√−4¢.
Solution :
Etape 1, on écrit le dernier complexe sous sa forme standard c’est-à-dire : a+ib.
µ5
3+11 3i¶−µ3 2+5 2i¶+¡9−√−4¢=µ5 3+11 3i¶−µ3 2+5 2i¶+(9−2i)
Etape 2, on introduit le signe −à l’intérieur des parenthèses (distributivité), on obtient
µ5
3+11 3i¶−µ3 2+5 2i¶+(9−2i)=µ5 3+11 3i¶+µ−3 2−5 2i¶+(9−2i)
Finalement, on a
µ5
3+11 3i¶+µ−3 2−5 2i¶+(9−2i)=µ5 3+µ−3 2¶+9
¶+µ11
3i+µ−5 2i¶+(−2i)¶
=µ10
6+µ−9 6¶+54 6¶+µ22 6+µ−15 6¶+µ−12 6¶¶i
=55
6−5 6i
Propriétés de l’addition
Dans ce qui suit, z1,z2,etz3représentent des nombres complexes arbitraires.
1. z1+z2=z2+z1Commutativité
2. z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3Associativité
3. 0+z=z(0=0+0i) Elément neutre
3.2.2 Opérations algébriques sur les complexes — Multiplication
Soient z1=(a+ib)et z2=(c+id)deux nombres complexes. La multiplication est définie par
(a+ib).(c+id)=(ac −bd)+i(ad +cb)
Cela paraît un peu bizarre, et difficile à retenir. Cependant il n’en est rien, si on suit les deux règles simples
suivantes :
—sia=0,b =1:i2=(0+i).(0 + i)=−1. c’est-à-dire
i2=−1
— les règles de calcul dans Csont les mêmes que ceux dans Rà condition de remplacer i2par −1chaque
fois qu’il apparaît. Ainsi
(a+ib).(c+id)=ac +a(id)+(ib)c+(ib)(id)
=ac +i(ad)+i(bc)+i2(bd)
=(ac −bd)+i(ad +cb)
Remarque 2 L’introduction des nombres complexes à quelques côtés inhabituels, par exemple dans l’ensemble
C, la somme des carrées de nombres non nuls peut être nulle : 12+(i)2=1−1=0.
3

Exemple 4 Calculer le produit (3 + 2i)(−4+i).
Solution : On développe les calculs comme dans Ret on remplace i2par −1chaque fois qu’il apparaît :
(3 + 2i)(−4+i)=−12 −8i+3i+2i2=−12 −5i+2(−1) = −14 −5i
Exemple 5 Calculer le produit (5 −2i)(5+2i).
Solution : On développe les calculs comme dans Ret on remplace i2par −1
(5 −2i)(5+2i) = 5(5) + 5(2i)+(−2i)(5) + (−2i)(2i)
=25+10i−10i−4i2=25−4(−1) = 29
Noterlerésultatestunnombreréel.
Propriétés de la multiplication Dans ce qui suit, z1,z2,etz3représentent des nombres complexes arbi-
traires.
1. z1·z2=z2·z1Commutativité
2. z1·(z2·z3)=(z1·z2)·z3Associativité
3. 1·z=zElément neutre
4. z·(z1+z2)=z·z1+z·z2Distributive
(z1+z2)·z=z1·z+z2·z
Remarque 3 Les puissances du complexe i. Il est facile de voir que
i0=1
i1=i
i2=−1
i3=−i
i4=1
i5=i
i6=−1
i7=−i
i8=1
i9=i
i10 =−1
i11 =−i
i12 =1
i13 =i
i14 =−1
i15 =−i
···
On constate que les puissances multiple de 4donne toujours 1. A partir de cette constatation, on peut calculer
facilement les puissances de i. Par exemple, i25 =i24 ·i=i(car i24 =¡i4¢6=1).
3.3 Représentation géométrique des complexe
A chaque nombre complexe on veut associer un point unique plan euclidien Oxy. Pour cela on procède
comme suit :
Si z=a+ib est un nombre complexe sous forme algébrique, alors on associe à zle couple de
réel (a, b). Le point du plan euclidien associé à z=a+bi sera donc le point de coordonnée (a, b).
Noter que si z=aest un nombre réel on peut l’écrire sous la forme a+0i.Cequisignifie que le point du
plan associé à aa pour coordonnes (a, 0). Ainsi, les nombres réels sont associés aux points de l’axe Ox.
Sur la figure ci-dessous, on présente les points 1−2i,3+i,−3−3i,et−2.
3
3
32
2
2
11
1
1
|||||||
3, 3
(
(
(
)
)
)
,
,
-3 - 3i
1 - 2i
3 +i
4