Terminale S CALCULS DANS LE CORPS DES COMPLEXES

Terminale S
CALCULS DANS LE CORPS DES COMPLEXES , ÉQUATIONS ,
MODULE , ARGUMENT , FORME TRIGONOMETRIQUE
Les règles de calcul dans
ℂ
sont les mêmes que dans
ℝ
… à un détail près : il existe un nombre (noté i) dont le carré est
égal à -1 ! Pour écrire une somme , une différence , un produit , on utilise donc les règles de calculs usuelles et le fait que i
Exemples : (4 + 2i) – (3 + 5i) = 4 + 2i – 3 – 5i = 1 – 3i et (1 + 3i)(3 + 2i) = 3 + 2i + 9i + 6i² = 3 +11i – 6 = - 3 + 11i .
2
=−1
Pour écrire un quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique , il suffit de multiplier le numérateur et le
dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur .
Exemple :
2
3 +5i (3 +5i)(1− 4i) 3 – 12 i+ 5i – 20i 23 – 17 i 23
=
=
=
= –i
1+ 4i (1 +4i )(1− 4i)
17
17
1 – 4 i2
EXERCICE 1
1. Écrire sous forme algébrique chacun des nombres suivants :
z 2=(3+2 i)(2−i)
z 3=4−(3+5 i)(−3+4 i )
z 1=3(1+ i) – 5( 2i−3)
2. Même question avec les nombres suivants :
1
10
z 1=
z 2=
2+3 i
3i
z 4=2 i (1+ i)(2−i)
z 3=
1+i
3−i
EXERCICE 2 Conjugués
1. Écrire sous forme algébrique le conjugué de chacun des nombres suivants :
a)
z 1=−1+ 4 i
b)
z 2=8 i−√3
c)
z 3=(1 – 2 i)(3+5 i)
d)
z 4=(−2+ 7 i )2
e)
z 5=
1+2 i
3– 4 i
2. Dans chacun des cas suivants , donner une expression du conjugué de Z (la forme algébrique n'est pas demandée)
3 –5 i
2 i+3
1+ i
Z=
Z=
Z=
z = 5 + 3i - (2 + 6i)(3i - 4)
2+ i
2+3 i
1−i
3. Soit z un nombre complexe .
3 (1+i) z – 5
Écrire à l'aide de ̄z , le conjugué de (1+i) z +3 – 5 i ; (2 – i)(3 z – 5 i )+3 i z +7 et
.
z –5i
EXERCICE 3 Résolution d'équations
1. Résoudre les équations suivantes :
a) (1+i) z – 11 i=0
b) 3 i z+ 4 (1+i) z−3 (z+ 5)+22=i
2. Même question avec les équations
a) z 2=−9
b) 3 z2 +12=0
c) (z+ 2)2 + 4=0
3. Résoudre les équations suivantes dans le corps des complexes :
a) z² + 3z - 4 = 0
b) z² + 4z + 5 = 0
e) 2z² + 3z + 2 = 0
d) 3z² - 12z + 1 = 0
4
3
4. On note: f ( z )  z  2 z  4 2 z  16 .
Montrer que , pour tout complexe z , on a : f(z) = (z² + 4) (z² - 2 z - 4).
En déduire l'ensemble des solutions de l'équation : f(z) = 0 .
c)
z –3 i
=5 i
z +2
d) 2( z – 3 i)2+6=0
c) 3z² + 5z + 3 = 0
EXERCICE 4
4
On veut résoudre l'équation (E)
z +4=0 .
1. Factoriser z 4 +4 sous forme d'un produit de deux facteurs de degré 2 .
2. Vérifier que (1+i )2=2 i .
En déduire une factorisation de z 4 +4 sous forme d'un produit de quatre facteurs de degré 1 .
3. Résoudre l'équation (E) .
 Soit w
 un vecteur d'affixe z .
On appelle argument de z et on note arg(z) toute mesure de
u ;w
l'angle  
 .
Si M a pour affixe z , arg (z )=(⃗
u ;⃗
OM )
Si M est le point du plan complexe d'affixe z , alors |z|
représente la distance OM .
Si z s'écrit z = a + ib , alors
|z|=√ a + b
2
2
Déterminer le module et l'argument d'un nombre complexe
Quelques cas particuliers :
Si
z est un réel positif ,
arg(z) = 0 [2 p]
z est un réel négatif ,
arg(z) = p [2 p]
Si
Si z s'écrit z = ib ,
Si z s'écrit z = ib ,
avec b < 0 ,
avec b > 0 ,
arg(z) = -p/2 [2 p]
arg(z) = p/2 [2 p]
On peut déterminer le module et un argument à l'aide de méthodes géométriques ou par le calcul :
 on détermine r , la valeur du module de z (à l'aide de la formule |z| =  a 2b2 )
 en notant , q = arg(z) , on doit avoir r cos(q) = a et r sin(q) = b .
Exemple : Pour trouver le module et un argument de z=−33  3 i .
Le module de z est −3 23  32=  9 27=6 .
En notant , q = arg(z) , on doit donc avoir 6 cosq = -3 et 6 sinq = 3 Ö3 , donc cosq = -1/2 et sinq = Ö3/2 .
La valeur de q dans ]-p ; p] qui correspond à ces valeurs est q = 2p/3 .
Forme trigonométrique :
Si z est un nombre complexe de module r et dont un argument est q, alors il s'écrit z = r (cosq + i sinq )
C'est sa forme trigonométique .

EXERCICE 5 Forme trigonométrique et argument
z 3=3−3i ;
1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres z 1=5 ; z 2 =−4 i
2. Donner la forme trigonométrique de z 4=4+ 4 i √3 et z 5=√6+i √2 .
u ; v  .
3. Le plan est rapporté à un repère orthonormal O ; 
On note A , B et C les points d'affixes respectives z A=cos π + i sin π ; z B=−3 et z C =6 – 6 i 3 .
4
4
Déterminer les valeurs de OA , OB et OC , puis une mesure de  u ; 
OB et  u ; 
OC  .
OA ;  u ; 
EXERCICE 6
1.a) Écrire chacun des nombres z 1=22 i 3 et z2 = 2 - 2i sous forme exponentielle .
b) En déduire la forme exponentielle de z1×z2 .


c) Écrire sous forme algébrique z1×z2 . En déduire la valeur de cos
et sin
.
12
12
2. On veut calculer 2  3−2i5 .
a) Déterminer le module et un argument de 2  3−2 i .
b) En déduire le module et un argument de 2  3−2i5 , puis sa forme algébrique .