Terminale S CALCULS DANS LE CORPS DES COMPLEXES

Terminale S
CALCULS DANS LE CORPS DES COMPLEXES , ÉQUATIONS ,
MODULE , ARGUMENT , FORME TRIGONOMETRIQUE
Les règles de calcul dans
ℂ
sont les mêmes que dans
ℝ
… à un détail près : il existe un nombre (noté i) dont le carré est
égal à -1 ! Pour écrire une somme , une différence , un produit , on utilise donc les règles de calculs usuelles et le fait que
i2=−1
Exemples : (4 + 2i) – (3 + 5i) = 4 + 2i – 3 – 5i = 1 – 3i et (1 + 3i)(3 + 2i) = 3 + 2i + 9i + 6i² = 3 +11i – 6 = - 3 + 11i .
Pour écrire un quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique , il suffit de multiplier le numérateur et le
dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur .
Exemple :
3+5i
1+4i =(3+5i)(1−4i)
(1+4i )(1−4i)=3–12 i+5i –20i2
1–4i2=23 –17 i
17 =23 17 – i
EXERCICE 1
1. Écrire sous forme algébrique chacun des nombres suivants :
z1=3(1+i)–5(2i−3)
z2=(3+2i)(2−i)
z3=4−(3+5i)(−3+4 i)
z4=2i (1+i)(2−i)
2. Même question avec les nombres suivants :
z1=1
2+3 i
z2=10
3i
z3=1+i
3−i
EXERCICE 2 Conjugués
1. Écrire sous forme algébrique le conjugué de chacun des nombres suivants :
a)
z1=−1+4 i
b)
z2=8i−
√
3
c)
z3=(1–2i)(3+5 i)
d)
z4=(−2+7i)2
e)
z5=1+2i
3–4 i
2. Dans chacun des cas suivants , donner une expression du conjugué de Z (la forme algébrique n'est pas demandée)
z = 5 + 3i - (2 + 6i)(3i - 4)
Z=3–5 i
2+i
Z=2i+3
2+3i
Z=1+i
1−i
3. Soit z un nombre complexe .
Écrire à l'aide de
̄
z
, le conjugué de
(1+i)z+3–5 i
;
(2–i)(3z – 5i)+3 i z+7
et
3(1+i)z – 5
z – 5i
.
EXERCICE 3 Résolution d'équations
1. Résoudre les équations suivantes :
a)
(1+i)z – 11 i=0
b)
3i z+4(1+i)z−3(z+5)+22=i
c)
z – 3 i
z+2=5 i
2. Même question avec les équations
a)
z2=−9
b)
3z2+12=0
c)
(z+2)2+4=0
d)
2(z – 3i)2+6=0
3. Résoudre les équations suivantes dans le corps des complexes :
a) z² + 3z - 4 = 0 b) z² + 4z + 5 = 0 c) 3z² + 5z + 3 = 0
d) 3z² - 12z + 1 = 0 e) 2z² + 3z + 2 = 0
4. On note:
f z z z z( )    
4 3
2 4 2 16
.
Montrer que , pour tout complexe z , on a : f(z) = (z² + 4) (z² - 2 z - 4).
En déduire l'ensemble des solutions de l'équation : f(z) = 0 .
EXERCICE 4
On veut résoudre l'équation (E)
z4+4=0
.
1. Factoriser
z4+4
sous forme d'un produit de deux facteurs de degré 2 .
2. Vérifier que
(1+i)2=2i
.
En déduire une factorisation de
z4+4
sous forme d'un produit de quatre facteurs de degré 1 .
3. Résoudre l'équation (E) .

 Soit
w
un vecteur d'affixe z .
On appelle argument de z et on note arg(z) toute mesure de
l'angle
u ;  w
.
Si M a pour affixe z ,
arg (z)=(⃗u ;
⃗
OM )
Si M est le point du plan complexe d'affixe z , alors |z|
représente la distance OM .
Si z s'écrit z = a + ib , alors
|z|=
√
a2+b2
Déterminer le module et l'argument d'un nombre complexe
Quelques cas particuliers :
Si
z est un réel positif ,
arg(z) = 0 [2 p]
Si
z est un réel négatif ,
arg(z) = p [2 p]Si z s'écrit z = ib ,
avec b > 0 ,
arg(z) = p/2 [2 p]
Si z s'écrit z = ib ,
avec b < 0 ,
arg(z) = -p/2 [2 p]
On peut déterminer le module et un argument à l'aide de méthodes géométriques ou par le calcul :
 on détermine r , la valeur du module de z (à l'aide de la formule |z| =
a2b2
)
 en notant , q = arg(z) , on doit avoir r cos( q ) = a et r sin( q ) = b .
Exemple : Pour trouver le module et un argument de
z=−33 3i
.
Le module de z est
−323 32= 927=6
.
En notant , q = arg(z) , on doit donc avoir 6 cos q = -3 et 6 sin q = 3 Ö3 , donc cos q = -1/2 et sin q = Ö3/2 .
La valeur de q dans ]- p ; p ] qui correspond à ces valeurs est q = 2 p /3 .
Forme trigonométrique :
Si z est un nombre complexe de module r et dont un argument est q , alors il s'écrit z = r (cos q + i sin q )
C'est sa forme trigonométique .
EXERCICE 5 Forme trigonométrique et argument
1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres
z1=5
;
z2=−4i
z3=3−3i
;
2. Donner la forme trigonométrique de
z4=4+4i
√
3
et
z5=
√
6+i
√
2
.
3. Le plan est rapporté à un repère orthonormal
O ; u ; v
.
On note A , B et C les points d'affixes respectives
zA=cos π
4+i sin π 4
;
zB=−3
et
zC=6–6i 3
.
Déterminer les valeurs de OA , OB et OC , puis une mesure de
u ; OA
;
u ; OB
et
u ; OC
.
EXERCICE 6
1.a) Écrire chacun des nombres
z1=22i 3
et z2 = 2 - 2i sous forme exponentielle .
b) En déduire la forme exponentielle de z1×z2 .
c) Écrire sous forme algébrique z1×z2 . En déduire la valeur de
cos 
12
et
sin 
12
.
2. On veut calculer
2 3−2i5
.
a) Déterminer le module et un argument de
2 3−2i
.
b) En déduire le module et un argument de
2 3−2i5
, puis sa forme algébrique .