NOMBRES COMPLEXES

NOMBRES COMPLEXES
I- Définitions et règles de calcul dans ℂ
Définition
Un nombre complexe est un nombre de la forme Z = a + i b où a et b sont des réels et i un
nombre vérifiant i² = –1
L'ensemble des nombres complexes est noté ℂ
Vocabulaire :
•La forme a + i b s’appelle la forme algébrique du nombre complexe Z
•le réel a s’appelle la partie r éelle de Z notée Re(Z) et le réel b la partie i maginaire notée Im(Z)
•Si la partie réelle d'un nombre complexe Z est nulle, on a Z = ib .
Z est alors appelé un imaginaire pur
Théorème
Pour tout nombre complexe Z,
•Z est un réel si et seulement si Im(Z) = 0
•Z est un imaginaire pur si et seulement si Re(Z) = 0
Définition
Deux nombres complexes Z = a + i b et Z’ = a’ + i b' sont égaux si et seulement si a = a’ et b = b’
En particulier, a + i b = 0 si et seulement si a = 0 et b = 0 .
Opération sur les nombres complexes
Soit Z et Z' deux nombres complexes de forme algébrique : Z = a + ib et Z' = a' + i b'
•Somme et produit
Z + Z' =
ZZ' =
•Inverse et quotient
1
Z
=
pour Z' ≠ 0 ,
Z
Z '
=
Applications: Ecrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique
( 1 + 2 i )( 5 – 4 i ) =
1
42 i
=
52 i
13 i
=
donc ℝ ⊂ ℂ

II- Nombre complexe conjugué
Définition
On appelle nombre complexe conjugué de Z = a + ib le nombre complexe, noté
Z
, tel que
Z
= a – ib
Exemple : Le nombre complexe conjugué de Z = 2 + 3i est
Z
=
Conséquence : On a Z +
Z
= et Z –
Z
= d’où les propriétés suivantes :
Z réel ⇔ et Z est imaginaire pur ⇔
Propriété des conjugués
Pour tous nombres complexes Z et Z’, on a :
ZZ ' =ZZ '
,
– Z=– Z
,
ZZ ' =ZZ'
,
Zn=Zn
,
Z
Z '
=Z
Z '
pour Z' ≠ 0
Démonstration : Posons Z = a + ib et Z’ = a’+ ib’. Alors :
ZZ '
=
ZZ '
=
Exemples :
•Le conjugué de Z =
4–5 i
3i
est
Z
=
•Le conjugué de Z =
2z2–i
5zi
est
Z
=
III- Module d'un nombre complexe
Définition On appelle module d’un nombre complexe Z = a + bi la quantité positive
∣
Z
∣
= a2b2
Exemple : Module de 3 – 2i
Théorème : Propriété des modules
Pour tout nombre complexe Z et Z’, on a :
1)
∣ Z ∣
2=Z Z
2)
∣ – Z ∣ = ∣ Z ∣
3)
∣ Z ∣ = ∣ Z ∣
4)
∣
Z×Z '
∣
=
∣
Z
∣
×
∣
Z '
∣
. En particulier, si k est un réel,
∣
k×Z
∣
=
∣
k
∣
×
∣
Z
∣
5)
∣
Z
Z '
∣
=
∣
Z
∣
∣
Z '
∣
6) Inégalité triangulaire :
∣
ZZ '
∣
≤
∣
Z
∣ ∣
Z '
∣
7)
∣ Zn ∣ = ∣ Z ∣
n

Démonstration :
IV- Equations du second degré
Théorème
Soit a , b et c trois réels avec a ≠ 0. L'équation
az2bzc=0
a pour discriminant
=b2– 4 ac
.
On rencontre alors trois cas :
•Si
0
, l'équation admet deux solutions réelles
z1=– b –
2 a
et
z2=– b
2 a
•Si
=0
, l'équation admet une solution réelle
z0=–b
2 a
•Si
0
l'équation admet deux solutions complexes :
z1=– b – i
−
2 a
et
z2=– bi
−
2 a
Exemple : Résoudre l'équation
2 z2– 3 x5=0

V- Représentation géométrique d’un nombre complexe
Munissons le plan d’un repère orthonormé ( O
, u , v
)
Principe : A tout nombre complexe Z = a + ib , on lui associe le point M de coordonnées (a ;b)
Z1 = 2 + i
Z2 = 3 – 2i
Z3 =
2
Z
Vocabulaire :
•Le point M(a ;b) s’appelle l’image du nombre
complexe Z = a + bi
•Le nombre complexe Z = a + bi s’appelle
l'affixe du point M(a ;b) (affixe : nom féminin)
On note Z = affixe(M) ou Z = aff(M)
Affixe d’un vecteur, du milieu d’un segment .
Soit A et B deux points du plan complexe admettant pour affixes respectives ZA et ZB .
* l’affixe du vecteur
AB
est ZB – ZA
* l’affixe du milieu I du segment [AB] est : ZI =
Démonstration :
•notons A(xA ; yA) et B(xB ; yB) . On a alors : ZA = xA + iyA et ZB = xB + iyB.
Nous savons que les coordonnées du vecteur
AB
sont (xB – xA ; yB – yA )
Or ZB – ZA = xB + iyB – (xA + iyA ) = (xB – xA) + i (yB – yA) donc l’affixe du vecteur
AB
est ZB– ZA.
•Milieu d'un segment
Ces interprétations géométriques des nombres complexes permettent de traduire des problèmes de géométrie en
relations entre nombres complexes. Ainsi, on adaptera les règles vues avec des coordonnées aux affixes :
•Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même affixe
•L’affixe d’une somme de deux vecteurs est la somme des affixes de ces vecteurs

VI- Forme trigonométrique d’u n nombre complexe
a) L'argument
Définition: On appelle argument d’un nombre complexe Z non nul, toute
mesure en radians de l’angle (
u
;
OM
)
On note (
u
;
OM
) = Arg (Z)
Un point M du plan peut alors être repéré de deux manières :
* par son affixe z = a + i b
* par ses coordonnées polaires (
∣ z ∣
; arg(z) )
Remarque sur l’argument Un nombre complexe admet une infinité d’argument.
Si
est un argument de Z, tout autre argument de Z est de la forme
+ 2
k
(k ∈ ℤ).
L’argument principal est celui qui appartient à
]–;]
Exemples : Arg (i ) = Arg (1) = Arg (–1) = Arg (–i) =
b) Forme trigonométrique
L’écriture Z = a + ib s’appelle la forme algébrique de Z
Or nous avons vu que a = r cos
et b = r sin
où r =
Z
et
= Arg(Z).
Le nombre complexe Z peut donc s’écrire : Z = r ( cos
θ
+ i sin
θ
) ; cette écriture s’appelle la forme
trigonométrique de Z
Définition
Soit Z un nombre complexe non nul . L’écriture Z =
∣ z ∣
(cos
+ i sin
) où
= Arg(Z)
s’appelle la forme trigonométrique de Z
Lien entre forme trigonométrique et forme algébrique
z = a + i b
⇔
z =
∣ z ∣
( cos
+ i sin
) avec
∣ z ∣ = a2b2
, cos
=
a
a2b2
, sin
=
b
a2b2
Déterminer la forme trigonométrique de z = 1 + i