DM 7 pour le 2 avril 2012

DM 7 pour le 2 avril 2012
OPTIQUE – MÉCANIQUE
Problème 1
LUNETTE ASTRONOMIQUE ACHROMATIQUE
La vergence Vdune lentille mince est donnée par la relation algébrique sui-
vante :
V=(n−1)µ1
R1−1 R2¶
où nest l’indice de réfraction du verre constituant la lentille et R1et R2, les
rayons de courbure algébriques (Rx=SxCx)respectivement des faces avant
et arrière de la lentille.
L’indice nvarie avec la longueur d’onde λsuivant la loi empirique de CAU-
CHY :
n=A+B
λ2
Aet Bétant deux constantes positives.
Pour un verre de type crown : A=1,515 et B=3,5.103nm2.
On définit la constringence νet le pouvoir dispersif Kd’un verre par :
ν=1
K=nD−1 nF−nC
où nF,nDet nCsont les indices du verre pour les radiations F(bleu : λF=486
nm), D(jaune : λD=589 nm) et C(rouge : λC=656 nm).
On notera f′
F,f′ Det f′ Cles distances focales images et F’F, F’Det F’Cles foyers
images de la lentille pour les radiations F,Det Crespectivement.
1. Constringence, pouvoir dispersif et distance focale d’une
lentille d’un verre crown
Une lentille mince (L), en verre crown, est biconvexe avec les rayons de cour-
bure R1et R2tels que |R1|=90 cm et |R2|=150 cm. Le diamètre de (L) est :
D=8cm.
1.1. Calculer, avec le nombre de chiffres significatifs correct, les indices nF,
nDet nC. En déduire la constringence νet le pouvoir dispersif Kpour ce verre
crown.
1.2. Déterminer la distance focale moyenne f′
Dde (L).
2. Aberrations chromatiques principales des lentilles minces
Deux lentilles minces (L1) convergente (Figure 1) et (L2) divergente (Figure
2) sont éclairées, parallèlement à l’axe optique, par un faisceau de lumière
blanche.
(λF),(λC)
(λF),(λC)
(λF),(λC)
(λF),(λC)
O1O2
(L1)(L2)
Figure 1 Figure 2
2.1. Reproduire les figures 1 et 2 et tracer le cheminement des rayons lumi-
neux bleu et rouge de longueurs d’onde respectives (λF) et (λC) émergeant
des lentilles (L1) et (L2), en indiquant pour chacune de ces deux lentilles la
position relative des foyers F’Fet F’Csur l’axe optique.
2.2. Aberrations chromatiques longitudinale et transversale
2.2.1. L’aberration chromatique longitudinale d’une lentille est définie par la
distance algébrique AL=F′
FF′ Cqui sépare les foyers bleu F′
Fet rouge F′ C.
Exprimer ALpour la lentille convergente (L), en fonction de la constringence
ν. et de la distance focale moyenne f′
D, en supposant que f′ Ff′ C≃f′2 D. Commen-
taire.
Calculer numériquement AL.
2.2.2. On définit l’aberration chromatique transversale ATd’une lentille
comme le rayon de la plus petite tache lumineuse produite par les faisceaux
bleu et rouge, interceptée par un écran disposé normalement à l’axe optique.
Exprimer ATpour (L), en fonction de la constringence νet de D, en sup-
posant de plus que f′
Dest quasiment la moyenne arithmétique de f′ Fet f′ C.

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Commentaire.
Calculer la valeur de AT.
3. Objectif achromatique
On réalise un objectif achromatique mince, en accolant la lentille (L) précé-
dente biconvexe, de rayons de courbures R1et R2en verre crown avec une
lentille (L’), plan-concave en verre de type flint, de sorte que les faces en
contact aient le même rayon de courbure R2.
Les indices de réfraction des deux verres sont donnés par la loi de Cauchy :
- lentille (L), en verre crown : n1=A1+B1
λ2avec A1=1,515 et B1=3,5.103nm2
- lentille (L’), en verre flint : n2=A2+B2
λ2où A2et B2sont à déterminer.
3.1. Exprimer les vergences V1,V2respectivement des lentilles (L), (L’) en
fonction des constantes A1,A2,B1et B2des rayons R1,R2et de λ. En déduire
la vergence V=V1+V2des deux lentilles accolées.
3.2. Déterminer l’expression de ∂V
∂λ .
Que doit valoir cette expression pour supprimer l’aberration chromatique ?
En déduire une relation entre B1,B2,R1et R2puis exprimer la vergence Ven
fonction de A1,A2,R1et R2.
3.3. Calculer les constantes A2et B2pour une vergence Vde l’objectif égale à
0,5 m−1.
4. Oculaire achromatique
Soient deux lentilles biconvexes (L1) et (L2), de focales images respectives
f′
1et f′ 2, taillées dans le même verre flint d’indice n2, de même axe optique,
dont les deux dioptres, pour chacune d’elles, ont en valeur absolue le même
rayon, R′
1pour (L1) et R′ 2pour (L2). Les deux lentilles placées à une distance
d′l’une de l’autre doivent permettre de réaliser un oculaire achromatique
(Figure 3).
x
x′
(L1)(L1)
d′
O’1O’2
Figure 3
4.1. Déterminer, en fonction de R′
1,R′ 2,A2,B2,d′et λ, les vergences V′ 1de (L1),
V′
2de (L2) et V′de cet oculaire en appliquant la formule de GULLSTRAND :
V′=V′
1+V′ 2−d′V′ 1V′ 2
4.2. Calculer ∂V′
∂λ et en déduire les facteurs numériques k1et k2de l’expres-
sion :
∂V′
∂λ =k1(n2−1)B2 R′
1R′ 2λ3¡f′
1+f′ 2+k2d′¢
4.3. Quelles doivent être les relations, d’une part entre f′
1et f′ 2si R′ 1=3R′ 2et
d’autre part entre d′et f′
2si on veut éliminer l’aberration chromatique ?
4.4. Calculer, dans les conditions de la question précédente, la valeur de d′
pour avoir un oculaire de vergence V′=75 m−1.
4.5. On définit respectivement par (F1; F’1) et (F2; F’2) les foyers principaux
objet et image pour les lentilles (L1) et (L2).
4.5.1. Déterminer le foyer objet F (conjugué de F2dans (L1)) et le foyer image
F’ (conjugué de F’1dans (L2)) pour ce doublet en exprimant F1Fet F′
2F′en
fonction de d′.
4.5.2. En prenant comme référence la distance d′entre les deux lentilles,
reproduire la Figure 3 en positionnant les six foyers objet et image pour ce
doublet.

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5. Lunette achromatique
L’objectif achromatique (L)+(L’), assimilé à une lentille mince unique, est as-
socié à cet oculaire (L1)+(L2) pour réaliser une lunette astronomique (Figure
4).
α
x′x
(L)+(L’)
(L1) (L2)
oculaire
objectif Figure 4
OO’1O’2
5.1. Calculer le grossissement angulaire de cette lunette. (On assimilera
l’oculaire à une lentille unique de vergence V′=75 m−1).
5.2. Reproduire la Figure 4 et tracer le chemin suivi par le rayon incident
(sous l’angle α) à travers et à la sortie de l’oculaire. On précisera les foyers
et rayons secondaires utiles à la construction.
Problème 2
On se propose ici d’étudier dans quelle direction et à quelle vitesse un ba-
teau à voile est susceptible d’avancer sous l’action du vent. Pour simplifier le
modèle, on admettra :
-que la bateau avance selon une trajectoire rectiligne horizontale (par rap-
port à la mer horizontale) à la vitesse uniforme et constante ~ v, de norme v;
-que cette trajectoire est parallèle à l’axe zz′de la quille (en d’autres termes,
le bateau ne peut qu’avancer droit devant lui, sans mouvement latéral) ;
-que le vent est animé, par rapport à la mer, d’une vitesse uniforme et
constante V0horizontale ;
-que le bateau n’a qu’une voile, supposée plane et verticale ;
-que la force Fexercée par le vent sur la voile est perpendiculaire à celle-ci ;
On désignera par φla valeur absolue de l’angle (~ zz′,V0):φvaut 0 par vent
arrière, π
2par vent latéral et πpar vent debout.
z
z′
voile
V0
Vr
vent apparent
φ
α
i
1. Montrer, en utilisant la loi de composition des vitesses, que pour un na-
vigateur immobile par rapport au bateau, le vent a une vitesse rela-
tive (ou apparente) Vrdifférente de V0. Calculer Vr= ||Vr|| en fonction de
V0= ||V0||,vet φ. On parle de vent apparent pour ce vent que ressent un
observateur fixe sur le bateau.
2. De même, en projetant la loi de composition des vitesses sur la direction
zz′, exprimer cos α, où αest la valeur absolue de l’angle (~ zz′,Vr)en fonction
de Vr,v,V0et φ.
3. On suppose pour l’instant que la norme de la force Fexercée par le vent
sur la voile s’écrit : F=ksini, avec k=cte et i=angle aigu que fait le vent
apparent avec la voile.
a. Pour une direction αdu vent apparent donnée, quel est l’angle βque
fait cette force Favec la direction zz′. On exprimera cet angle en fonc-
tion de iet α.
b. Quelle est la valeur de iqui donnera le réglage optimum de la voile,
c’est à dire la plus petite valeur i0de ipour laquelle la projection de
la force Fsur la direction zz′sera maximum. On exprimera cette va-
leur i0en fonction de αet on en déduira alors la valeur de l’angle β
correspondante.
Par la suite, on prendra toujours pour icette valeur optimale.
4. En fait, la norme de la force Fdépend aussi du module de la vitesse ap-
parente du vent V0, de telle manière qu’on puisse écrire :
F=k′V2
rsiniavec k′=cte positive

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Sachant que la mer exerce elle même une force Rde résistance à l’avan-
cement du bateau et que la composante selon l’axe zz′de celle-ci est
proportionnelle au carré de la vitesse vdu bateau, montrer en utilisant
le principe fondamental de la dynamique projeté sur la direction zz′que :
v2=A(v2+V2
0−2vV0cosφ)cos2α
2
où Aest une constante.
5. A partir de maintenant, nous supposerons que φet αpeuvent être confon-
dus de même que Vret V0.
a. Dans quelle condition cela vous semble-t-il raisonnable ? (On pourra
exprimer cette condition à l’aide de vet V0)
b. Calculer alors la vitesse vdu bateau, pour un angle φdonné, en fonc-
tion de la vitesse vmqu’il atteint par vent arrière (φ=0) et de φ. On
exprimera vmen fonction de la constante Aet de V0.
6. On appelle wla projection de la vitesse ~ vdu bateau sur la direction du
vecteur V0. Calculer, étudier et tracer la fonction w(φ)pour φ∈[0,π]. Mon-
trer que w(φ)admet un minimum négatif pour une valeur φ0que l’on
calculera.
7. Que permet cette valeur particulière φ0de φpour le bateau ? Expliquer à
l’aide d’un petit schéma comment le voilier peut se rendre d’un point Aà
un point Bmême si le vent souffle dans la direction AB et de Bvers A.
Problème 3
TIR D’UN OBUS VERS LE ZÉNITH
Au 17ème siècle, le Père MERSENNE, ami et correspondant de DESCARTES,
se livra à un tir d’obus, le canon étant pointé vers le zénith. Le résultat ne
fut pas du tout celui escompté.
On se propose d’étudier l’influence de différents facteurs physiques sur la
trajectoire de l’obus.
En un lieu A de latitude λ=48°N, un canon tire un obus à la vitesse v0=100
m.s−1suivant la verticale ascendante Az. On désigne par Ax yz un repère
orthonormé lié à la Terre, Ax étant dirigé vers le Sud.
On assimile la Terre à une sphère homogène, tournant autour de l’axe des
pôles à la vitesse angulaire ω0=7,3.10−5rad.s−1.
On note g0le champ de pesanteur terrestre, de module g0supposé constant
égal à 10 m.s−2.
1- On considère le référentiel lié à la Terre galiléen
1-1- On néglige la résistance de l’air.
a) Donner l’expression de la vitesse vde l’obus à un instant quelconque.
b) Exprimer l’énergie mécanique de l’obus. Varie-t-elle au cours du temps ?
Calculer l’altitude maximale atteinte par l’obus.
c) En quel point et au bout de combien de temps l’obus retombe- t-il ?
1-2- La résistance de l’air sur l’obus, de forme sphérique de rayon r0=5cm
et animé d’une vitesse v, se traduit par une force de module kπr2
0v2. Au voi-
sinage des conditions normales, k=0,25 S.I. L’obus est en plomb de masse
volumique ρ=11, 3 g.cm−3.
a) Préciser l’unité de k.
b) Comparer la force de frottement au poids. Que penser ?
c) On prend en compte cette force de frottement fluide. On pose u=v2. Mon-
trer que, dans la phase ascendante, uvérifie l’équation :
du
d z =−2g0−2kπ mr2
0u
Expliciter la fonction z(u). En déduire l’altitude maximale atteinte par l’obus.
On posera d=m
2kπr2
0
.
Dans la suite du problème, on ne prend pas en compte les frottements de l’air
sur l’obus.
2- On considère que le référentiel lié à la Terre (A,x,y,z)est non
galiléen
2-1- Ecrire l’équation du mouvement de l’obus. Pourquoi la force d’inertie
d’entraînement n’intervient pas explicitement dans l’équation du mouve-
ment ?
2-2- On évalue la force d’inertie de CORIOLIS en utilisant la loi de vitesse
obtenue au 1-1 a). Justifier cette méthode de calcul.
Soit (i,j,k) la base orthonormée associée au repère (Ax y z). M repérant la
position de l’obus, on pose AM =xi +y j +zk. Montrer que :
¨
y=−2ω0(v0−g0t)cosλ

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En déduire une expression approchée de l’ordonnée yde l’obus. Évaluer yau
moment où l’obus tombe sur le sol. La déviation se fait-elle vers l’Ouest ou
vers l’Est ?
Le résultat dépend-il de l’hémisphère dans lequel on effectue le tir ?
2-3- L’expression de la force de CORIOLIS utilisée ne permet pas de mettre en
évidence une déviation dans l’axe Nord-Sud. Or cette déviation existe. Expli-
quer cette apparente contradiction. Que penser de cette déviation comparée
à celle calculée à la question précédente ?
3- Analyse du mouvement de l’obus dans le référentiel géocen-
trique
3-1 a) Rappeler la définition du référentiel géocentrique. Pourquoi peut-il
être supposé galiléen pour ce type d’expérience ?
b) Déterminer la vitesse initiale de l’obus dans ce référentiel.
3-2- Si on considère le champ de gravitation uniforme sur la trajectoire de
l’obus, montrer alors que celui-ci retombe en A. Comment l’observateur géo-
centrique peut-il justifier la déviation évaluée au 2-2- ?