Les nombres complexes prolongent l`ensemble des nombres réels
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Terminale STI2D Chapitre 5 : Nombres complexes Les nombres complexes prolongent l’ensemble des nombres réels. Ils se composent d’une partie réelle et d’une partie imaginaire. Ils permettent, par exemple, de donner des solutions à l’équation 𝑥 2 + 1 = 0. Leurs applications sont nombreuses en électromagnétisme et en électronique, puisque leur écriture trigonométrique permet de simplifier la transcription des phénomènes ondulatoires. I. Rappels de première A. Rappel 1 : forme algébrique Définition : Forme algébrique L’ensemble ℂ des nombres complexes a les caractéristiques suivantes : - Il contient le nombre 𝑖 vérifiant …………………… (solution de 𝑃(𝑥) =…………………………) - Chaque élément 𝑧 s’écrit de manière unique 𝑧 =………………………… où 𝑎 est la partie ……………… de 𝑧 noté ………………… et 𝑏 est la partie …………………… de 𝑧 noté ………………. - Le conjugué du nombre complexe 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 est le nombre …………………………………. Exemple : Soit 𝑧 = 2 + 3𝑖 et 𝑧 ′ = −5 + 𝑖 2𝑧 − 3𝑧 ′ = ……………………………………………………………………………………………………………………………… 𝑧𝑧 ′ = ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑧 + 𝑧′ = …………………………………………………………………………………………………………………………………… 𝑧 𝑧′ = ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 1 SAES Guillaume Chapitre 6 : Nombres complexes Terminale STI2D B. Rappel 2 : frome trigonométrique Définition : Forme trigonométrique Soit 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 un nombre complexe non-nul et 𝑀 le point d’affixe 𝑧. - Le module de 𝑧 est le réel positif ……… tel que ………………………………………………………… ( on a la propriété que |𝑧|2 =………………………) - L’argument de 𝑧 est le nombre réel ………… tel que …………………………………………………… elle vérifie deux choses : cos( )= 𝑒𝑡 sin( )= Tout nombre complexe non-nul 𝑧 peut s’écrire 𝑧 =…………………………………………………………………. Cette écriture s’appelle la forme trigonométrique de 𝑧. Exemple : Soit 𝑧 = 1 + 𝑖√3 |1 + 𝑖√3| = …………………………………………………………………………………………………………………………… arg(1 + 𝑖√3) = ……………………………………………………………………………………………………………………… 1 + 𝑖√3 = ……………………………………………………………………………………………………………………………… Propriété : - |𝑧| = 0 ⟺…………………………… - |−𝑧| = |𝑧̅| =………………………… - arg(𝑧𝑧 ′ ) = ……………………………………………………… 𝑧 - arg (𝑧 ′ ) = ……………………………………………………… 2 SAES Guillaume Chapitre 6 : Nombres complexes II. Terminale STI2D Forme exponentielle A. Définition Pour tout nombre réel 𝜃, on pose ………………………………………………………………………… Définition : Forme exponentielle Tout nombre complexe 𝑧 non-nul de module 𝑟 et d’argument 𝜃 peut s’écrire sous la forme 𝑧 = ………………………………………………………. Cette écriture, avec 𝑟 > 0, est appelée forme exponentielle du nombre 𝑧. Remarque : On a alors 𝑧 = ……………………………………………………………………………………………………………. Exemple : Différentes écritures du nombre complexe 𝑧 = 1 + 𝑖√3 Forme algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle Exemple : Passage de la forme exponentielle à la forme trigonométrique, puis 3𝜋 algébrique de 𝑧 = 4𝑒 𝑖 4 : - 𝑧= - 𝑧= - 𝑧= 3 SAES Guillaume Chapitre 6 : Nombres complexes Terminale STI2D B. Règles de calcul en notation exponentielle Pour les calculs du type « somme » ou « différence », on utilisera la forme algébrique. On préférera la forme exponentielle pour les calculs de produits ou de quotients. Propriété : Soit 𝜃 et 𝜃′ des nombres réels et 𝑛 un nombre entier. ′ - Produit : 𝑒 𝑖𝜃 × 𝑒 𝑖𝜃 = ……………………………………………………… 𝑛 - Puissance : (𝑒 𝑖𝜃 ) = ……………………………………………………… 1 - Inverse : 𝑒 𝑖𝜃 = ……………………………………………………… - Quotient : 𝑒 𝑖𝜃 𝑒 𝑖𝜃 ′ = ……………………………………………………… - Conjugué : ̅̅̅̅ 𝑒 𝑖𝜃 = ……………………………………………………… ′ Démonstration de la 1ère propriété : Montrons que 𝑒 𝑖𝜃 × 𝑒 𝑖𝜃 = ……………… pour 𝜃, 𝜃′ ∈ ℝ. ′ 𝑒 𝑖𝜃 × 𝑒 𝑖𝜃 = = = = = On a utilisé une des nombreuses formules d’additivités (voir en annexe). 𝜋 𝜋 Exemple : Soit 𝑧 = 2𝑒 𝑖 3 et 𝑧 ′ = 2√3𝑒 𝑖 6 𝑧𝑧 ′ = ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 𝑧 ′4 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 𝑧′ 𝑧 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4 SAES Guillaume
