Liban 2016. Enseignement spécifique

Liban 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 5 (3 points) (commun à tous les candidats)
On considère la suite (zn ) de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par :
!
z0 = 0
1
zn+1 = i × zn + 5
2
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mn le point d’affixe zn .
On considère le nombre complexe zA = 4 + 2i et A le point du plan d’affixe zA .
1) Soit (un ) la suite définie pour tout entier naturel n par un = zn − zA
a) Montrer que, pour tout entier naturel n, un+1 =
1
i × un .
2
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n :
un =
"
1
i
2
#n
(−4 − 2i).
2) Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, Mn et Mn+4 sont alignés.
http ://www.maths-france.fr
1
c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.
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Liban 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 5 : corrigé
1) a) Soit n un entier naturel.
⎛
⎞
1
1 ⎜
−1 + 2i ⎟
1
izn + 5 − 4 − 2i = izn − (−1 + 2i) = i ⎝zn −
⎠
1
2
2
2
i
2
'
(
'
(
2(−1 + 2i)
2(−1 + 2i)(−i)
1
1
1
= i zn −
= i zn −
= i (zn − 2(−1 + 2i)(−i))
2
i
2
i(−i)
2
1
1
= i (zn − (2i + 4)) = iun .
2
2
un+1 = zn+1 − (4 + 2i) =
b) Montrons par récurrence que pour tout tout entier naturel n, un =
'
1
i
2
(n
(−4 − 2i).
(0
1
i (−4 − 2i). L’égalité est donc vraie quand n = 0.
2
' (n
1
• Soit n ! 0. Supposons que un =
i (−4 − 2i). Alors
2
• u0 = z0 − (4 + 2i) = −4 − 2i =
'
1
iun (d’après la question a))
2
' (n
1
1
= i×
i (−4 − 2i) (par hypothèse de récurrence)
2
2
' (n+1
1
=
i
(−4 − 2i).
2
un+1 =
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, un =
'
1
i
2
(n
(−4 − 2i).
−−−→
2) Soit n un entier naturel. L’affixe du vecteur AMn est
−−→
z−
AMn
= zn − zA = un =
'
1
i
2
(n
(−4 − 2i).
On en déduit que
−−−−→ =
z−
AMn+4
'
1
i
2
(n+4
(−4 − 2i) =
'
1
i
2
(4
×
'
1
i
2
(n
(−4 − 2i) =
1
z−−−→ .
16 AMn
−−−−−→
1 −−−→
−−−→
−−−−−→
Par suite, AMn+4 =
AMn . Ainsi, les vecteurs AMn et AMn+4 sont colinéaires ou encore
16
les points A, Mn et Mn+4 sont alignés.
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