Liban 2016. Enseignement spécifique

Liban 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 5 (3 points) (commun à tous les candidats)
On considère la suite (zn)de nombres complexes définie pour tout entier naturel npar :
!z0=0
zn+1 =1
2i×zn+5
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mnle point d’affixe zn.
On considère le nombre complexe zA=4+2iet Ale point du plan d’affixe zA.
1) Soit (un)la suite définie pour tout entier naturel npar un=zn−zA
a) Montrer que, pour tout entier naturel n, un+1 =1
2i×un.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n:
un="1
2i#n
(−4−2i).
2) Démontrer que, pour tout entier naturel n,lespointsA,Mnet Mn+4 sont alignés.
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

Liban 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 5 : corrigé
1) a) Soit nun entier naturel.
un+1 =zn+1 −(4 + 2i)= 1
2izn+5−4−2i=1 2izn−(−1+2i)= 1 2i⎛
⎜
⎝
zn−
−1+2i
1
2i
⎞
⎟
⎠
=1
2i'zn−2(−1+2i) i(=1 2i'zn−2(−1+2i)(−i) i(−i)(=1 2i(zn−2(−1+2i)(−i))
=1
2i(zn−(2i+4))= 1 2iun.
b) Montrons par récurrence que pour tout tout entier naturel n,un='1
2i(n
(−4−2i).
•u0=z0−(4 + 2i)=−4−2i='1
2i(0
(−4−2i).L’égalitéestdoncvraiequandn=0.
•Soit n!0.Supposonsqueun='1
2i(n
(−4−2i).Alors
un+1 =1
2iun(d’après la question a))
=1
2i×'1 2i(n
(−4−2i)(par hypothèse de récurrence)
='1
2i(n+1
(−4−2i).
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n,un='1
2i(n
(−4−2i).
2) Soit nun entier naturel. L’affixe du vecteur −− −→ AMnest
z−− −→
AMn
=zn−zA=un='1
2i(n
(−4−2i).
On en déduit que
z−− − − −→
AMn+4 ='1
2i(n+4
(−4−2i)='1
2i(4
×'1
2i(n
(−4−2i)= 1
16z−− −→
AMn
.
Par suite, −− − − −→ AMn+4 =1
16
−− −→
AMn.Ainsi,lesvecteurs−− −→ AMnet −− − − −→ AMn+4 sont colinéaires ou encore
les points A,Mnet Mn+4 sont alignés.
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.