Antilles Guyane. Septembre 2014. Enseignement

Antilles Guyane. Septembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On note Cl’ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé !O, −→ u,−→ v".Onprendracommeunité2cm sur chaque axe.
Un graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré etcomplétéaufuretàmesuredesquestions.
On considère la fonction fqui à tout nombre complexe zassocie
f(z)=z2+2z +9.
1) Calculer l’image de −1+i√3par la fonction f.
2) Résoudre dans Cl’équation f(z)=5.
Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.
Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, lespointsAet Bdont l’affixe est solution de l’équation
(Aétant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).
On laissera les traits de construction apparents.
3) Soit λun nombre réel. On considère l’équation f(z)=λd’inconnue z.
Déterminer l’ensemble des valeurs de λpour lesquelles l’équation f(z)=λadmet deux solutions complexes
conjuguées.
4) Soit (F)l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe zvérifie
|f(z)−8|=3.
Prouver que (F)est le cercle de centre Ω(−1;0)et de rayon √3.
Tracer (F)sur le graphique.
5) Soit zun nombre complexe, tel que z=x+iy où xet ysont des nombres réels.
a) Montrer que la forme algébrique de f(z)est
x2−y2+2x +9+i(2xy +2y).
b) On note (E)l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe zest telle que f(z)soit un nombre réel.
Montrer que (E)est la réunion de deux droites D1et D2dont on précisera les équations.
Compléter le graphique en traçant ces droites.
6) Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles (E)et (F).
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EXERCICE 4 : corrigé
1)
f!−1+i√3"=!−1+i√3"2
+2!−1+i√3"+9=1−2i√3−3−2+2i√3+9=5.
f!−1+i√3"=5.
2) Pour tout nombre complexe z,f(z)=5⇔z2+2z +4=0.
Le discriminant de l’équation z2+2z +4=0est ∆=22−4×1×4=−12 < 0.L’équationz2+2z +4=0admet donc
deux solutions non réelles conjuguées à savoir z1=−2+i√12
2=−2+2i√3 2=−1+i√3et z2=z1=−1−i√3.
|z1|=#(−1)2+!√3"2 =√4=2puis
z1=2$−1
2+i√3 2%=2&cos &2π 3'+isin &2π 3''=2e 2iπ
3,
et aussi z2=z1=2e−
2iπ
3.
Les solutions de l’équation f(z)=5sont z1=−1+i√3=2e 2iπ
3et z2=z1=−1−i√3=2e−
2iπ
3.
Figure. Aest le point du cercle de centre Oet de rayon 2,d’abscisse−1et d’ordonnée positive.
1
2
−1
−2
12−1−2
A
B
3) Soit λun nombre réel. Pour tout nombre complexe z,f(z)=λ⇔z2+2z +9−λ=0.
Le discriminant de l’équation z2+2z +9−λ=0est
∆=22−4×1×(9−λ)=4λ−32.
L’équation f(z)=λadmet deux solutions complexes conjuguées si et seulement si∆<0ce qui équivaut à 4λ−32 < 0
ou enfin à λ<8.
L’ensemble cherché est ]−∞,8[.
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4) Soit zun nombre complexe. Soit Mle point du plan d’affixe z.
|f(z)−8|=3⇔((z2+2z +1((=3⇔(((z+1)2((=3⇔|z+1|2=3
⇔|z−(−1)|=√3⇔ΩM=√3.
Donc, (F)est le cercle de centre Ω(−1;0)et de rayon √3.OnnotequelespointsAet Bappartiennent à (F)car
f(z1)=5⇒f(z1)−8=−3⇒|f(z1)−8|=3,
et de même pour z2.
1
2
−1
−2
12−1−2−3
A
B
5) a) Soit zun nombre complexe. Posons z=x+iy où xet ysont des nombres réels.
f(z)=(x+iy)2+2(x+iy)+9=x2+2ixy −y2+2x +2iy +9=x2−y2+2x +9+i(2xy +2y).
b) Par suite,
f(z)∈R⇔Im (f(z)) = 0⇔2xy +2y =0⇔2y(x+1)=0
⇔y=0ou x=−1.
(E)est la réunion de la droite D1d’équation y=0et de la droite D2d’équation x=−1.Voirgraphiqueàlafin.
6) •Soit M(x, 0),x∈R,unpointdeD1puis z=xl’affixe de M.
M∈(F)⇔|x+1|=√3⇔x+1=√3ou x+1=−
√3⇔x=−1+√3ou x=−1−√3.
Les points d’intersection de (F)et D1sont les points C!−1−√3, 0"et D!−1+√3, 0".
•Soit M(−1, y),y∈R,unpointdeD2puis z=iy l’affixe de M.
M∈(F)⇔|−1+iy +1|=√3⇔|iy|=√3⇔|i|×|y|=√3⇔|y|=√3⇔y=−
√3ou y=− √3.
Les points d’intersection de (F)et D2sont les points A!−1, √3"et B!−1, −√3".
Finalement, les points d’intersection des ensembles (E)et (F)sont les points A!−1, √3",B!−1, −√3",C!−1−√3, 0"
et D!−1+√3, 0".
Remarque. On devait obtenir au moins les points Aet Bcar par exemple, d’après 2),
f(zA)=5⇒$f(zA)∈R
f(zA)−8=−3⇒$f(zA)∈R
|f(zA)−8|=3⇒A∈(E)∩(F).
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1
2
−1
−2
12−1−2−3
A
B
C D
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