S LIBAN mai 2016 - Meilleur En Maths

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S
LIBAN
Exercice 5
mai 2016
3 points
On considère la suite (z n) de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par :
z 0=
0
1
z n+ 1= i z n +5
2
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note M n le point d'affixe z n .
On considère le nombre complexe z A=4+2 i et A le point d'affixe z A .
{
1. Soit ( u n ) la suite définie pour tout entiernaturel n par : u n= z n−z A
1
a. Montrer que, pour tout entier naturel n, u n+1 = i×u n .
2
n
1
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n : u n= i (−4−2 i)
2
( )
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, M n et M n +4 sont alignés.
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S
LIBAN
mai 2016
CORRECTION
1. Pour tout entier naturel n, u n= z n−z A (donc z n=u n + z A )
a. Pour tout entier naturel n :
1
1
1
u n+1 =z n +1−z A = i×z n + 5−4−2 i= i(u n + 4+2 i)+1−2 i= i×u n +2 i−1+1−2 i
2
2
2
1
u n+1 = i×u n
2
b. Remarque
L'étude des suites géométriques dans l'ensembles des nombres n'est pas au programme de TS.
Alors on effectue un raisonnement par récurrence pour démontrer le résultat demandé.
On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n
n
1
u n= i (−4−2 i)
2
Initialisation
u0 =z 0−z A =0−4−2 i=−4−2 i
( )
0
0
( )
( )
1
1
i =1 et
i (−4−2 i)=1×(−4−2 i)=−4−2 i
2
2
La propriété est vérifiée pour n=0.
Hérédité
Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que
n
n +1
1
1
u n= i (−4−2 i) et on doit démontrer que u n+1 = i
(−4−2 i) ;
2
2
On admet que
( )
( )
= i ×u = i ×
( 12 ) ( 12 ) [( 12 i) (−4−2 i)]=( 12 i) (−4−2 i)
n
u n+1
n +1
n
Conclusion
Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, on a :
n
1
u n= i (−4−2 i)
2
( )
2. A (4+ 2 i) , M n (z n) et M n +4 ( z n +4 )
⃗
⃗
A M n (u n)
AMn +4 ( u n +4 )
n+ 4
( )
u n+ 4=
1
i
2
4
n
( ) ( )
(−4−2 i)=
4
( )
1
1
1
1
i × i (−4−2 i)= i u n = u n
2
2
2
16
1
A M n +4 = ⃗
AM n
donc ⃗
16
Conclusion
Les points A, M n et M n +4 sont alignés.
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