EXERCICE 4
Partie A
Soient z1et z2deux nombres complexes. On sait que z1z2=z1×z2et donc
|z1z2|2=z1z2(z1z2)=z1z1z2z2=|z1|2|z2|2.
En résumé, |z1z2|2=|z1|2|z2|2.Puisqu’unmoduleestunréelpositif,enprenantlaracinecarrée des deux membres de
l’égalité précédente, on obtient |z1z2|=|z1||z2|.Onamontréque
pour tous nombres complexes z1et z2,|z1z2|=|z1||z2|.
Partie B
1) (a)
zC!=1−zC
zC−1=1−(−2+i)
(−2−i)−1=3−i
−3−i=(3−i)(−3+i)
(−3−i)(−3+i)
=−9+6i +1
(−3)2+(−1)2=−8+6i
10 =−
4
5+3
5i.
zC!=−
4
5+3
5i.
(Voir figure page suivante)
(b) OC!=|zC!|=!"−4
5#2
+"3
5#2
=$16
25 +9
25 =√1=1.Donc
le point C!appartient au cercle de centre Oet de rayon 1.
(c) Le point Aapourcoordonnées(1, 0),lepointCapourcoordonnées(−2, 1)et le point C!apourcoordonnées
"−4
5,3
5#.Parsuite,levecteur−→
AC apourcoordonnées(−3, 1)et le vecteur −−→
AC!apourcoordonnées"−9
5,3
5#.
On en déduit que 3
5−→
AC =−−→
AC!et donc les vecteurs −→
AC et −−→
AC!sont colinéaires. Ceci montre que
les points A,Cet C!sont alignés.
2) Soit Mun point du plan distinct de A.Onnotezson affixe (zest donc un nombre complexe distinct de 1). Posons
z=x+iy où xet ysont deux réels tels que (x, y)$=(1, 0).
f(M)=A⇔1−z
z−1=1⇔1−z=z−1(et z$=1)
⇔z+z=2(et z$=1)
⇔x+iy +x−iy =2(et (x, y)$=(1, 0))
⇔x=1(et (x, y)$=(1, 0))
L’ensemble ∆est la droite d’équation x=1privée du point A.
3) Soit Mun point du plan distinct de Adont l’affixe est notée z.
OM!=|z!|=|1−z|
|z−1|=|−(z−1)|
|z−1|=|z−1|
|z−1|=1.
Donc M!appartient au cercle de centre Oet de rayon 1ou encore M!appartient au cercle C.
http ://www.maths-france.fr 6 c
!Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés.