EXERCICE 4 Partie A Soient z1 et z2 deux nombres complexes. On

EXERCICE 4
Partie A
Soient z1et z2deux nombres complexes. On sait que z1z2=z1×z2et donc
|z1z2|2=z1z2(z1z2)=z1z1z2z2=|z1|2|z2|2.
En résumé, |z1z2|2=|z1|2|z2|2.Puisquunmoduleestunréelpositif,enprenantlaracinecarrée des deux membres de
l’égalité précédente, on obtient |z1z2|=|z1||z2|.Onamontréque
pour tous nombres complexes z1et z2,|z1z2|=|z1||z2|.
Partie B
1) (a)
zC!=1zC
zC1=1(2+i)
(2i)1=3i
3i=(3i)(3+i)
(3i)(3+i)
=9+6i +1
(3)2+(1)2=8+6i
10 =
4
5+3
5i.
zC!=
4
5+3
5i.
(Voir figure page suivante)
(b) OC!=|zC!|=!"4
5#2
+"3
5#2
=$16
25 +9
25 =1=1.Donc
le point C!appartient au cercle de centre Oet de rayon 1.
(c) Le point Aapourcoordonnées(1, 0),lepointCapourcoordonnées(2, 1)et le point C!apourcoordonnées
"4
5,3
5#.Parsuite,levecteur
AC apourcoordonnées(3, 1)et le vecteur −−
AC!apourcoordonnées"9
5,3
5#.
On en déduit que 3
5
AC =−−
AC!et donc les vecteurs
AC et −−
AC!sont colinéaires. Ceci montre que
les points A,Cet C!sont alignés.
2) Soit Mun point du plan distinct de A.Onnotezson axe (zest donc un nombre complexe distinct de 1). Posons
z=x+iy xet ysont deux réels tels que (x, y)$=(1, 0).
f(M)=A1z
z1=11z=z1(et z$=1)
z+z=2(et z$=1)
x+iy +xiy =2(et (x, y)$=(1, 0))
x=1(et (x, y)$=(1, 0))
L’ensemble est la droite d’équation x=1privée du point A.
3) Soit Mun point du plan distinct de Adont l’axe est notée z.
OM!=|z!|=|1z|
|z1|=|(z1)|
|z1|=|z1|
|z1|=1.
Donc M!appartient au cercle de centre Oet de rayon 1ou encore M!appartient au cercle C.
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!Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés.
u
v
O
D
D!
A
C!
C
C
(
(
4) Soit zun nombre complexe distinct de 1.Posonsz=x+iy ou xet ysont deux réels tels que (x, y)$=(1, 0).
z!1
z1=
1z
z11
z1="1z
z11#×1
z1=(1z)(
z1)
(z1)(z1)=2zz
(z1)(z1)
=2(x+iy)(xiy)
|z1|2=22x
|z1|2.
Le nombre 22x
|z1|2est un nombre réel et donc le nombre z!1
z1est un nombre réel. Notons kce nombre réel.
z!1
z1=kz!1=k(z1)z−− −
AM !=kz−−
AM −− −
AM!=k−−
AM.
Ainsi, les vecteurs −−
AM et −− −
AM!sont colinéaires ou encore les points A,Met M!sont alignés.
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Pour tout point Mdistinct de A,lepointM!appartient à la droite (AM).
5) D’après la question 3), le point D!appartient au cercle C.Daprèslaquestion4),lepointD!appartient à la droite
(AD)et d’après la question 2), le point D!n’est pas le point Apuisque le point Dn’appartient pas à .D!est donc le
point d’intersection de la droite (AD)et du cercle Cautre que le point A.Voirfigurepageprécédente.
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