France métropolitaine 2010. Enseignement

France métro p olitaine 2010 . Enseigneme nt sp é cifique
Polynésie 2010. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct !O, −→ u,−→ v".
Partie A - Restitution organisée de connaissances
Prérequis Soit zun nombre complexe tel que z=a+bi où aet bsont deux nombres réels.
On note z,lenombrecomplexedéfiniparz=a−bi.
Questions.
1) Démontrer que, pour tous nombres complexes zet z′,z×z′=z×z′.
2) Démontrer que, pour tout entier naturel nnon nul et tout nombre complexe z,zn=(z)n.
Partie B
On considère l’équation (E):z4=−4où zest un nombre complexe.
1) Montrer que si le nombre complexe zest solution de l’équation (E)alors les nombres complexes −zet zsont
aussi solutions de l’équation (E).
2) On considère le nombre complexe z0=1+i.
a) Écrire le nombre complexe z0sous forme exponentielle.
b) Vérifier que z0est solution de l’équation (E).
3) Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l’équation (E).
Partie C
Soient A,B,Cet Dles points d’affixes respectives :
zA=1+i, zB=−1+i, zC=−1−iet zD=1−i.
Soient Eet Fles points d’affixes respectives :
zE=zC+e−iπ
3(zB−zC)et zF=zC+e−iπ 3(zD−zC).
1) Démontrer que l’affixe du point Eest égale à −1+√3.
2) Déterminer l’affixe zFdu point F.
3) Démontrer que le quotient zA−zE
zA−zF
est un réel.
4) Que peut-on en déduire pour les points A,Eet F?
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

France métro p olitaine 2010 . Enseigneme nt sp é cifique
Polynésie 2010. Enseignement spécifique
EXERCICE 1
Partie A - Restitution organisée de connaissances
1) Soient a,b,a′et b′quatre nombres réels puis z=a+ib et z′=a′+ib ′.
z×z′=(a−ib)(a′−ib ′)=(aa ′−bb ′)−i(ab ′+ba ′)=((aa ′−bb ′)+i(ab ′+ba ′))
=(a+ib)(a′+ib ′)=z×z′.
Pour tous nombres complexes zet z′,z×z′=z×z′.
2) Soit zun nombre complexe. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul n,zn=(z)n.
•C’est vrai pour n=1car z1=z=(z)1.
•Soit n!1.Supposonsquezn=(z)n.Alors
zn+1=zn×z=zn×z(d’après 1))
=(z)n×z(par hypothèse de récurrence)
=(z)n+1.
Le résultat est démontré par récurrence.
Pour tout nombre complexe zet tout entier naturel non nul n,zn=(z)n.
Partie B
1) Soit zun nombre complexe. Puisque (−z)4=z4,
z4=−4⇒(−z)4=−4.
D’autre part, puisque −4est un nombre réel,
z4=−4⇒z4=−4⇒(z)4=−4.
On a montré que
si zest solution de (E)alors −zet zsont solutions de (E).
2) a) |z0|=√12+12=√2puis
z0=√2!1
√2+1 √2
i"=√2#cos #π
4$+isin #π 4$$=√2eiπ/4.
z0=√2eiπ/4.
b) z4
0=#√2eiπ/4$4
=#√2$4%eiπ/4&4=4eiπ=4(−1+0i)=−4.Doncz0est solution de l’équation (E).
3) L’équation (E)admet z0=1+ipour solution. mais alors, d’après la question 1, l’équation(E)admet aussi pour
solution −z0=−1−i,z0=1−iet donc aussi −z0=−1+i.
Les quatre nombres 1+i,1−i,−1+iet −1−isont solutions de l’équation (E).
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Partie C
1)
zE=zC+e−iπ
3(zB−zC)
=−1−i+'1
2−i√3 2(((−1+i)−(−1−i)) = −1−i+2i '1 2−i√3 2(
=−1−i+i+√3=−1+√3.
zE=−1+√3.
2)
zF=zC+e−iπ
3(zD−zC)
=−1−i+'1
2−i√3 2(((1−i)−(−1−i)) = −1−i+2'1 2−i√3 2(
=−1−i+1−i√3=−i#1+√3$.
zF=−i#1+√3$.
3)
zA−zE
zA−zF
=
1+i−#−1+√3$
1+i+i#1+√3$=2−√3+i 1+i#2+√3$=#2−√3$
1+i
2−√3
1+i#2+√3$
=#2−√3$1+i#2+√3$
1+i#2+√3$(car #2+√3$#2−√3$=4−3=1)
=2−√3.
En particulier, zA−zE
zA−zF
est un nombre réel.
4) De l’égalité zA−zE
zA−zF
=2−√3,ondéduitl’égalitézA−zE=#2−√3$(zA−zF)puis l’égalité −→
EA =#2−√3$−→
FA.
En particulier, les vecteurs −→ EA et −→ FA sont colinéaires et on en déduit que
les points A,Eet Fsont alignés.
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1
−1
−2
−3
1−1
AB
CD
E
F
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