France métropolitaine 2010. Enseignement

France métropolitaine 2010. Enseignement spécifique
Polynésie 2010. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)
! − →
"
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, →
u,−
v .
Partie A - Restitution organisée de connaissances
Prérequis Soit z un nombre complexe tel que z = a + bi où a et b sont deux nombres réels.
On note z, le nombre complexe défini par z = a − bi.
Questions.
1) Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z ′ , z × z ′ = z × z ′ .
n
2) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul et tout nombre complexe z, zn = (z) .
Partie B
On considère l’équation (E) : z4 = −4 où z est un nombre complexe.
1) Montrer que si le nombre complexe z est solution de l’équation (E) alors les nombres complexes −z et z sont
aussi solutions de l’équation (E).
2) On considère le nombre complexe z0 = 1 + i.
a) Écrire le nombre complexe z0 sous forme exponentielle.
b) Vérifier que z0 est solution de l’équation (E).
3) Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l’équation (E).
Partie C
Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives :
zA = 1 + i,
zB = −1 + i,
zC = −1 − i
et zD = 1 − i.
Soient E et F les points d’affixes respectives :
π
π
zE = zC + e−i 3 (zB − zC ) et zF = zC + e−i 3 (zD − zC ).
√
1) Démontrer que l’affixe du point E est égale à −1 + 3.
2) Déterminer l’affixe zF du point F.
zA − zE
3) Démontrer que le quotient
est un réel.
zA − zF
4) Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ?
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1
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
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France métropolitaine 2010. Enseignement spécifique
Polynésie 2010. Enseignement spécifique
EXERCICE 1
Partie A - Restitution organisée de connaissances
1) Soient a, b, a ′ et b ′ quatre nombres réels puis z = a + ib et z ′ = a ′ + ib ′ .
z × z ′ = (a − ib)(a ′ − ib ′ ) = (aa ′ − bb ′ ) − i(ab ′ + ba ′ ) = ((aa ′ − bb ′ ) + i(ab ′ + ba ′ ))
= (a + ib)(a ′ + ib ′ ) = z × z ′ .
Pour tous nombres complexes z et z ′ , z × z ′ = z × z ′ .
n
2) Soit z un nombre complexe. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, zn = (z) .
1
• C’est vrai pour n = 1 car z1 = z = (z) .
n
• Soit n ! 1. Supposons que zn = (z) . Alors
zn+1 = zn × z = zn × z (d’après 1))
n
= (z) × z (par hypothèse de récurrence)
n+1
= (z)
.
Le résultat est démontré par récurrence.
Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, zn = (z)n .
Partie B
1) Soit z un nombre complexe. Puisque (−z)4 = z4 ,
z4 = −4 ⇒ (−z)4 = −4.
D’autre part, puisque −4 est un nombre réel,
4
z4 = −4 ⇒ z4 = −4 ⇒ (z) = −4.
On a montré que
si z est solution de (E) alors −z et z sont solutions de (E).
2) a) |z0 | =
√
√
12 + 12 = 2 puis
√
z0 = 2
!
1
1
√ +√ i
2
2
"
=
# π $$ √
√ # #π$
2 cos
+ i sin
= 2eiπ/4 .
4
4
z0 =
b) z40 =
√
2eiπ/4 .
#√
$4 #√ $4 %
&4
2eiπ/4 =
2
eiπ/4 = 4eiπ = 4(−1 + 0i) = −4. Donc z0 est solution de l’équation (E).
3) L’équation (E) admet z0 = 1 + i pour solution. mais alors, d’après la question 1, l’équation (E) admet aussi pour
solution −z0 = −1 − i, z0 = 1 − i et donc aussi −z0 = −1 + i.
Les quatre nombres 1 + i, 1 − i, −1 + i et −1 − i sont solutions de l’équation (E).
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Partie C
1)
π
zE = zC + e−i 3 (zB − zC )
'
'
√ (
√ (
1
1
3
3
((−1 + i) − (−1 − i)) = −1 − i + 2i
= −1 − i +
−i
−i
2
2
2
2
√
√
= −1 − i + i + 3 = −1 + 3.
zE = −1 +
√
3.
2)
π
zF = zC + e−i 3 (zD − zC )
'
'
√ (
√ (
3
3
1
1
((1 − i) − (−1 − i)) = −1 − i + 2
= −1 − i +
−i
−i
2
2
2
2
#
√
√ $
= −1 − i + 1 − i 3 = −i 1 + 3 .
#
√ $
zF = −i 1 + 3 .
3)
#
i
√ $
√
#
1
+
i
−
−1
+
3
√ $ 1 + 2 − √3
zA − zE
2− 3+i
#
#
#
=
√ $ =
√ $ = 2− 3
√ $
zA − zF
1+i+i 1+ 3
1+i 2+ 3
1+i 2+ 3
#
√ $
#
#
√ $
√ $1+i 2+ 3
√ $#
#
$
3
2
−
3 = 4 − 3 = 1)
= 2− 3
(car
2
+
√
1+i 2+ 3
√
= 2 − 3.
zA − zE
est un nombre réel.
zA − zF
#
√ $ −→
√
√ $
−→ #
zA − zE
4) De l’égalité
= 2 − 3, on déduit l’égalité zA − zE = 2 − 3 (zA − zF ) puis l’égalité EA = 2 − 3 FA.
zA − zF
−→
−→
En particulier, les vecteurs EA et FA sont colinéaires et on en déduit que
En particulier,
les points A, E et F sont alignés.
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B
A
1
E
−1
C
1
−1
D
−2
F
−3
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