France métro p olitaine 2010 . Enseigneme nt sp é cique
Polysie 2010. Enseignement spécique
EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct !O,
u,
v".
Partie A - Restitution organisée de connaissances
Prérequis Soit zun nombre complexe tel que z=a+bi aet bsont deux nombres réels.
On note z,lenombrecomplexedéniparz=abi.
Questions.
1) Démontrer que, pour tous nombres complexes zet z,z×z=z×z.
2) Démontrer que, pour tout entier naturel nnon nul et tout nombre complexe z,zn=(z)n.
Partie B
On considère l’équation (E):z4=4zest un nombre complexe.
1) Montrer que si le nombre complexe zest solution de l’équation (E)alors les nombres complexes zet zsont
aussi solutions de l’équation (E).
2) On considère le nombre complexe z0=1+i.
a) Écrire le nombre complexe z0sous forme exponentielle.
b) Vérifier que z0est solution de l’équation (E).
3) Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l’équation (E).
Partie C
Soient A,B,Cet Dles points d’axes respectives :
zA=1+i, zB=1+i, zC=1iet zD=1i.
Soient Eet Fles points d’axes respectives :
zE=zC+eiπ
3(zBzC)et zF=zC+eiπ
3(zDzC).
1) Démontrer que l’axe du point Eest égale à 1+3.
2) Déterminer l’axe zFdu point F.
3) Démontrer que le quotient zAzE
zAzF
est un réel.
4) Que peut-on en déduire pour les points A,Eet F?
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Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
France métro p olitaine 2010 . Enseigneme nt sp é cique
Polynésie 2010. Enseignement spécique
EXERCICE 1
Partie A - Restitution organisée de connaissances
1) Soient a,b,aet bquatre nombres réels puis z=a+ib et z=a+ib .
z×z=(aib)(aib )=(aa bb )i(ab +ba )=((aa bb )+i(ab +ba ))
=(a+ib)(a+ib )=z×z.
Pour tous nombres complexes zet z,z×z=z×z.
2) Soit zun nombre complexe. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul n,zn=(z)n.
C’est vrai pour n=1car z1=z=(z)1.
Soit n!1.Supposonsquezn=(z)n.Alors
zn+1=zn×z=zn×z(d’après 1))
=(z)n×z(par hypothèse de récurrence)
=(z)n+1.
Le résultat est démontré par récurrence.
Pour tout nombre complexe zet tout entier naturel non nul n,zn=(z)n.
Partie B
1) Soit zun nombre complexe. Puisque (z)4=z4,
z4=4(z)4=4.
D’autre part, puisque 4est un nombre réel,
z4=4z4=4(z)4=4.
On a montré que
si zest solution de (E)alors zet zsont solutions de (E).
2) a) |z0|=12+12=2puis
z0=2!1
2+1
2
i"=2#cos #π
4$+isin #π
4$$=2eiπ/4.
z0=2eiπ/4.
b) z4
0=#2eiπ/4$4
=#2$4%eiπ/4&4=4eiπ=4(1+0i)=4.Doncz0est solution de l’équation (E).
3) L’équation (E)admet z0=1+ipour solution. mais alors, d’après la question 1, léquation(E)admet aussi pour
solution z0=1i,z0=1iet donc aussi z0=1+i.
Les quatre nombres 1+i,1i,1+iet 1isont solutions de l’équation (E).
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Partie C
1)
zE=zC+eiπ
3(zBzC)
=1i+'1
2i3
2(((1+i)(1i)) = 1i+2i '1
2i3
2(
=1i+i+3=1+3.
zE=1+3.
2)
zF=zC+eiπ
3(zDzC)
=1i+'1
2i3
2(((1i)(1i)) = 1i+2'1
2i3
2(
=1i+1i3=i#1+3$.
zF=i#1+3$.
3)
zAzE
zAzF
=
1+i#1+3$
1+i+i#1+3$=23+i
1+i#2+3$=#23$
1+i
23
1+i#2+3$
=#23$1+i#2+3$
1+i#2+3$(car #2+3$#23$=43=1)
=23.
En particulier, zAzE
zAzF
est un nombre réel.
4) De l’égalité zAzE
zAzF
=23,ondéduitlégalitézAzE=#23$(zAzF)puis l’égalité
EA =#23$
FA.
En particulier, les vecteurs
EA et
FA sont colinéaires et on en déduit que
les points A,Eet Fsont alignés.
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