Antilles Guyane 2013. Enseignement spécifique

Antilles Guyane 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On considère la suite (zn)àtermescomplexesdéfinieparz0=1+iet, pour tout entier naturel n,par
zn+1=zn+|zn|
3.
Pour tout entier naturel n,onpose:zn=an+ibn,oùanest la partie réelle de znet bnest la partie imaginaire
de zn.
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites(an)et (bn).
Partie A
1) Donner a0et b0.
2) Calculer z1,puisendéduirequea1=1+√2
3et b1=1 3.
3) On considère l’algorithme suivant :
Variable s : Aet Bdes nombres réels
Ket Ndes nombres entiers
Initialisation : Affecter à Ala valeur 1
Affecter à Bla valeur 1
Traite ment : Entrer la valeur de N
Pour Kvariant de 1àN
Affecter à Ala valeur A+√A2+B2
3
Affecter à Bla valeur B
3
FinPour
AfficherA
a) On exécute cet algorithme en saisissant N=2.Recopieretcompléterletableauci-dessouscontenantl’état
des variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculées à 10−4près).
K A B
1
2
b) Pour un nombre Ndonné, à quoi correspond la valeur affichée par l’algorithme par rapport à la situation
étudiée dans cet exercice ?
Partie B
1) Pour tout entier naturel n,exprimerzn+1en fonction de anet bn.
En déduire l’expression de an+1en fonction de anet bn,etl’expressiondebn+1en fonction de anet bn.
2) Quelle est la nature de la suite (bn)?Endéduirel’expressiondebnen fonction de n,etdéterminerlalimite
de (bn).
3) a) On rappelle que pour tous nombres complexes zet z′:
|z+z′|!|z|+|z′|(inégalité triangulaire).
Montrer que pour tout entier naturel n,
|zn+1|!
2|zn|
3.
b) Pour tout entier naturel n,onposeun=|zn|.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
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un!!2
3"n
√2.
c) Montrer que, pour tout entier naturel n,|an|!un.Endéduirequelasuite(an)converge vers une limite
que l’on déterminera.
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EXERCICE 4
Partie A
1) a0=Re(z0)=1et b0=Im(z0)=1.
2) |z0|=√12+12=√2puis
z1=z0+|z0|
3=1+i+√2 3=1+√2 3+1 3i,
et donc a1=1+√2
3et b1=1 3.
3) a) Tableau.
K A B
10, 8047 0, 3333
20, 5586 0, 1111
b) Pour un nombre Ndonné, l’algorithme affiche la valeur de aN.
Partie B
1) Soit nun entier naturel.
zn+1=zn+|zn|
3=an+ibn+!a2
n+b2 n
3=an+!a2
n+b2 n
3+ibn 3.
Puisque an+!a2
n+b2 n
3et bn 3sont des réels, on en déduit que an+1=an+!a2
n+b2 n
3et bn+1=bn 3.
2) La suite (bn)est la suite géométrique de premier terme b0=1et de raison q=1
3.Onsaitquepourtoutentier
naturel n,
bn=b0×qn="1
3#n
.
Puisque −1<1
3<1,lim
n→+∞
bn=0.
3) a) Soit nun entier naturel.
|zn+1|=$
$
$
$
zn+|zn|
3$
$
$
$
=|zn+|zn||
|3|=|zn+|zn|| 3
!|zn|+||zn||
3=|zn|+|zn| 3(car |zn|est un réel positif)
=2|zn|
3.
b) Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n,un!"2
3#n√2.
•u0=|z0|=√2="2
3#0√2.Enparticulier,u0!"2 3#0√2.L’inégalitéàdémontrerestdoncvraiequandn=0.
•Soit n"0.Supposonsqueun!"2
3#n√2et montrons que un+1!"2 3#n+1√2.
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un+1=|zn+1|
!2|zn|
3(d’après la question précédente)
=2
3un
!2
3×"2 3#n√2(par hypothèse de récurrence)
="2
3#n+1√2.
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n,un!"2
3#n√2.
c) Soit nun entier naturel n.
un=%a2
n+b2 n"%a2 n=|an|.
et donc |an|!un.
Apartirdelaquestionprécédente,onendéduitencorequepour tout entier naturel n,|an|!"2
3#n√2.
Puisque −1<2
3<1,lim
n→+∞"2
3#n√2=0.Maisalors,d’aprèslethéorèmedesgendarmes, lim
n→+∞
an=0.
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