Equations différentielles

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Equations diff´erentielles
1 Equation lin´eaire du premier ordre
1.1 Equation lin´eaire homog`ene du premier ordre
y0=a(x)y(H)
Th´eor`eme 1 Si aest une fonction d´erivable sur l’intervalle I, la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene
y0=a(x)yest y=CeA(x)o`u Aest une primitive de asur Iet o`u Cest une constante r´eelle quelconque.
Exercice 1 R´esoudre sur ]0; +∞[ l’´equation diff´erentielle xy0+ 2y= 0.
1.2 Equation lin´eaire du premier ordre avec second membre
y0=a(x)y+b(x) (E)
Th´eor`eme 2 La solution g´en´erale de (E) : y0=a(x)y+b(x) peut s’obtenir en ajoutant `a une solution
particuli`ere de cette ´equation la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene associ´ee (H) : y0=a(x)y.
Exercice 2 Soit l’´equation diff´erentielle (E) : xy0−2y= 2 ln x−3.
1. Montrer que la fonction gd´efinie sur ]0; +∞[ par g(x) = 1 −ln xest solution de (E).
2. R´esoudre sur ]0; +∞[ l’´equation diff´erentielle (E).
3. D´eterminer la solution de (E) qui s’annule pour x= 1.
Exercice 3 Soit l’´equation diff´erentielle (E) : y0+xy =x2e−x
1. D´eterminer deux r´eels aet btels que la fonction gd´efinie sur Rpar g(x) = (ax +b)e−xsoit solution
de (E).
2. R´esoudre sur Rl’´equation (E).
3. D´eterminer la solution fde (E) qui v´erifie f(0) = 2.
1.3 Si on ne trouve pas de solution particuli`ere de (E)
Pour r´esoudre l’´equation (E) : y0=a(x)y+b(x) on pose y=zeA(x)o`u Aest une primitive de asur
Iet o`u zest une fonction inconnue. Cette m´ethode de r´esolution s’appelle m´ethode de variation de la
constante ou m´ethode de Lagrange.
Exercice 4 Soit l’´equation diff´erentielle (E) : xy0+y= cos x
1. D´eterminer, sur ]0; +∞[,la solution g´en´erale de l’´equation (H) : xy0+y= 0
2. D´eterminer, par la m´ethode de variation de la constante, une solution particuli`ere de (E).
3. D´eterminer, sur ]0; +∞[,la solution g´en´erale de l’´equation (E).

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Equations diff´erentielles 2
2 Equation lin´eaire du deuxi`eme ordre
2.1 Equation lin´eaire homog`ene du deuxi`eme ordre
ay00 +by0+cy = 0 (H)
D´efinition 1 ar2+br +c= 0 est appel´ee ´equation caract´eristique de (H) : ay00 +by0+cy = 0
Th´eor`eme 3 Lorsque l’´equation caract´eristique a une racine double r, la solution g´en´erale de ay00 +
by0+cy = 0 est y= (Ax +B)erx o`u Aet Bsont des constantes r´eelles quelconques.
Th´eor`eme 4 Lorsque l’´equation caract´eristique admet deux racines r´eelles distinctes r1et r2, la solution
g´en´erale de ay00 +by0+cy = 0 est y=Aer1x+Ber2xo`u Aet Bsont des constantes r´eelles quelconques.
Th´eor`eme 5 Si l’´equation caract´eristique poss`ede deux racines complexes conjugu´ees α+iβ et α−iβ,
la solution g´en´erale de ay00 +by0+cy = 0 est y=eαx(Acos βx +Bsin βx) o`u Aet Bsont des constantes
r´eelles quelconques.
Exercice 5 R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes :
1. y00 + 2y0−3y= 0 2. y00 −4y0+ 4y= 0 3. y00 −2y0+ 2y= 0 4. y00 + 4y= 0
2.2 Equation lin´eaire du deuxi`eme ordre avec second membre
ay00 +by0+cy =f(x) (E)
Th´eor`eme 6 La solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle (E) : ay00 +by0+cy =f(x) peut s’obtenir
en ajoutant `a une solution particuli`ere de cette ´equation la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene
associ´ee (H) : ay00 +by0+cy = 0
2.3 Recherche d’une solution particuli`ere de (E)
1. f(x) est un polynˆome
On cherche une solution particuli`ere de la forme y=P(x) avec Ppolynˆome dont on commencera
par d´eterminer le degr´e.
Remarque : deg (aP 00 +bP 0+cP ) = ½deg Psi c6= 0
deg P0si c= 0 et b6= 0
2. f(x) = P(x)ekx avec Ppolynˆome (une constante est un polynˆome particulier)
On pose y=zekx et on est alors ramen´e au cas pr´ec´edent.
3. f(x) = λcos ωx +µsin ωx
Chercher une solution de la forme
y=½x(αcos ωx +βsin ωx) si iω est racine de l’´equation caract´eristique
αcos ωx +βsin ωx sinon
Exercice 6 R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes :
1. y00 +y0+y=x2+x+ 1
2. y00 +y0= 1 −2x
3. y00 −2y0=x2
4. y00 + 2y0−3y=e2x
5. y00 + 2y0+y=xe−x
6. y00 +y0−2y=xex
7. y00 −y= cos x
8. y00 +y= cos x
9. y00 −3y0+ 2y= 3 sin x