Mathématiques de l`ingénieur I

Mathématiques de l’ingénieur I
MAT-10363 – E08
B
6.
Équations différentielles
Ordre 2 : ÉDs linéaires à coefficients constants et applications
Une ÉD linéaire du deuxième ordre est dite à coefficients constants si on peut l’écrire sous la
forme
y ′′ + py ′ + qy = r(x),
(I)
où p et q sont des nombres réels (et non pas des fonctions de x comme dans le cas général étudié à
la section B5). Le polynôme caractéristique de (I) est le polynôme quadratique λ2 + pλ + q et
l’équation caractéristique associée à (I) est
λ2 + pλ + q = 0.
Note : le symbole λ, qui se prononce lambda, est la onzième lettre de l’alphabet grec.
Résolution de l’équation homogène
Pour résoudre l’équation homogène associée à (I)
y ′′ + py ′ + qy = 0
(H),
il suffit de résoudre l’équation caractéristique associée à (I). Trois cas peuvent survenir
1) On trouve deux racines réelles distinctes, λ1 et λ2 .
Alors la solution générale de (H) est
yh = c1 eλ1 x + c2 eλ2 x .
2) On trouve une seule racine réelle double λ.
Alors la solution générale de (H) est
yh = eλx (c1 + c2 x).
3) On trouve deux racines conjuguées complexes α + iβ et α − iβ.
Alors la solution générale de (H) est
yh = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx).
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Exemple
Résoudre les ÉDs suivantes.
a) y ′′ + 2y ′ + y = 0.
Sol.
b) 4y ′′ + 4y ′ + 17y = 0.
c) y ′′ − 2y ′ + 43 y = 0.
Solution clip.
Résolution de l’équation inhomogène (méthode des coefficients indéterminés)
Sachant la solution générale de (H), il est possible de trouver une solution particulière de (I) en
appliquant la méthode de Lagrange vue à la section B5. Cependant, dans le cas où l’ÉD est à
coefficients constants et r(x) est relativement simple, il existe une technique plus facile appelée la
méthode des coefficients indéterminés.
On suppose que r(x) est de la forme
r(x) = P (x)eαx cos βx
ou
r(x) = P (x)eαx sin βx
(⋆)
où α et β sont des constantes réelles (qui pourraient être nulles) et P (x) est un polynôme de degré
d ≥ 0. La méthode suggère de chercher une solution particulière de la forme
yp (x) = xs eαx [P1 (x) cos βx + P2 (x) sin βx].
Ici, α et β sont les constantes apparaissant dans r(x), P1 (x) et P2 (x) sont des polynômes de degrés d
à déterminer et s est la multiplicité de α + iβ dans le polynôme caractéristique de (I) :
• s = 0 si α + iβ n’est pas racine du polynôme caractéristique,
• s = 1 si α + iβ est une racine simple du polynôme caractéristique,
• s = 2 si α + iβ est une racine double du polynôme caractéristique.
Remarque. De façon plus générale, si r(x) est une somme de termes de la forme (⋆), alors on prend
pour yp la somme des formes correspondantes.
Une fois les polynômes P1 et P2 déterminés, on a trouvé une solution particulière de (I). Ainsi, en
appliquant le principe de superposition, on a la solution générale de (I) : yg = yh + yp .
Exemples
1 Résoudre y ′′ + 2y ′ + y = 4xex .
Sol.
Solution clip.
L’équation caractéristique est
0 = λ2 + 2λ + 1 = (λ + 1)2 .
La solution générale de (H) est donc
yh = e−x (c1 + xc2 ).
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Puisque
r(x) = 4xex = (4x)e1x cos 0x,
on a ici P (x) = 4x, d = deg P = 1, α = 1, β = 0. Comme α + iβ = 1 + i0 = 1 n’est pas racine
du polynôme caractéristique (sa seule racine est −1), on choisit s = 0. Aussi, puisque d = 1,
on prend pour P1 et P2 des polynômes généraux de degrés 1. Ainsi, la forme suggérée par la
méthode des coefficients indéterminés est
yp = x0 e1x (Ax + B) cos 0x + (Cx + D) sin 0x = (Ax + B)ex .
Notre travail consiste maintenant à déterminer les valeurs des constantes A et B qui feront en
sorte que yp soit solution de (I). On veut donc,
4xex = yp′′ + 2yp′ + yp
= (2Aex + (Ax + B)ex ) + 2(Aex + (Ax + B)ex ) + (Ax + B)ex
= (4Ax + 4A + 4B)ex
Cette identité est vérifiée si et seulement si les coefficients de ex et xex sont les mêmes de chaque
côté de l’équation
0 = 4A + 4B et 4 = 4A.
Cela donne
A = 1 et B = −1.
On a donc trouvé la solution particulière
yp = (Ax + B)ex = (x − 1)ex .
Par le principe de superposition, la solution générale de (I) est
y = yh + yp = e−x (c1 + xc2 ) + (x − 1)ex .
2 Résoudre y ′′ − 3y ′ + 2y = 2x + e−x .
Sol.
Solution clip.
3 Soit y ′′ + 4y = 8 sin 2x. Quelle doit être la forme de yp ?
Sol.
Solution clip.
4 Soit y ′′ + 6y ′ + 9y = e−x (x + e−2x ). Quelle doit être la forme de yp ?
Sol.
Solution clip.
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