Mathématiques de l`ingénieur I

Math´ematiques de l’ing´enieur I
MAT-10363 – E08
B´ Equations diff´erentielles
6. Ordre 2 : ´ EDs lin´eaires `a coefficients constants et applications
Une ´ ED lin´eaire du deuxi`eme ordre est dite `a coefficients constants si on peut l’´ecrire sous la
forme
y′′ +py′+qy =r(x),(I)
o`u pet qsont des nombres r´eels (et non pas des fonctions de xcomme dans le cas g´en´eral ´etudi´e `a
la section B5). Le polynˆome caract´eristique de (I) est le polynˆome quadratique λ2+pλ +qet
l’´equation caract´eristique associ´ee `a (I) est
λ2+pλ +q= 0.
Note : le symbole λ, qui se prononce lambda, est la onzi`eme lettre de l’alphabet grec.
R´esolution de l’´equation homog`ene
Pour r´esoudre l’´equation homog`ene associ´ee `a (I)
y′′ +py′+qy = 0 (H),
il suffit de r´esoudre l’´equation caract´eristique associ´ee `a (I). Trois cas peuvent survenir
1) On trouve deux racines r´eelles distinctes, λ1et λ2.
Alors la solution g´en´erale de (H) est
yh=c1eλ1x+c2eλ2x.
2) On trouve une seule racine r´eelle double λ.
Alors la solution g´en´erale de (H) est
yh=eλx(c1+c2x).
3) On trouve deux racines conjugu´ees complexes α+iβ et α−iβ.
Alors la solution g´en´erale de (H) est
yh=eαx(c1cos βx +c2sin βx).
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Exemple R´esoudre les ´ EDs suivantes.
a) y′′ + 2y′+y= 0. b) 4y′′ + 4y′+ 17y= 0. c) y′′ −2y′+3
4y= 0.
Sol. Solution clip.
R´esolution de l’´equation inhomog`ene (m´ethode des coefficients ind´etermin´es)
Sachant la solution g´en´erale de (H), il est possible de trouver une solution particuli`ere de (I) en
appliquant la m´ethode de Lagrange vue `a la section B5. Cependant, dans le cas o`u l’´
ED est `a
coefficients constants et r(x) est relativement simple, il existe une technique plus facile appel´ee la
m´ethode des coefficients ind´etermin´es.
On suppose que r(x) est de la forme
r(x) = P(x)eαx cos βx ou r(x) = P(x)eαx sin βx (⋆)
o`u αet βsont des constantes r´eelles (qui pourraient ˆetre nulles) et P(x) est un polynˆome de degr´e
d≥0. La m´ethode sugg`ere de chercher une solution particuli`ere de la forme
yp(x) = xseαx[P1(x) cos βx +P2(x) sin βx].
Ici, αet βsont les constantes apparaissant dans r(x), P1(x) et P2(x) sont des polynˆomes de degr´es d
`a d´eterminer et sest la multiplicit´e de α+iβ dans le polynˆome caract´eristique de (I) :
•s= 0 si α+iβ n’est pas racine du polynˆome caract´eristique,
•s= 1 si α+iβ est une racine simple du polynˆome caract´eristique,
•s= 2 si α+iβ est une racine double du polynˆome caract´eristique.
Remarque. De fa¸con plus g´en´erale, si r(x) est une somme de termes de la forme (⋆), alors on prend
pour ypla somme des formes correspondantes.
Une fois les polynˆomes P1et P2d´etermin´es, on a trouv´e une solution particuli`ere de (I). Ainsi, en
appliquant le principe de superposition, on a la solution g´en´erale de (I) : yg=yh+yp.
Exemples
1 R´esoudre y′′ + 2y′+y= 4xex.
Sol. Solution clip.
L’´equation caract´eristique est
0 = λ2+ 2λ+ 1 = (λ+ 1)2.
La solution g´en´erale de (H) est donc
yh=e−x(c1+xc2).
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Puisque
r(x) = 4xex= (4x)e1xcos 0x,
on a ici P(x) = 4x,d= deg P= 1, α= 1, β= 0. Comme α+iβ = 1 + i0 = 1 n’est pas racine
du polynˆome caract´eristique (sa seule racine est −1), on choisit s= 0. Aussi, puisque d= 1,
on prend pour P1et P2des polynˆomes g´en´eraux de degr´es 1. Ainsi, la forme sugg´er´ee par la
m´ethode des coefficients ind´etermin´es est
yp=x0e1x(Ax +B) cos 0x+ (Cx +D) sin 0x= (Ax +B)ex.
Notre travail consiste maintenant `a d´eterminer les valeurs des constantes Aet Bqui feront en
sorte que ypsoit solution de (I). On veut donc,
4xex=y′′
p+ 2y′ p+yp
= (2Aex+ (Ax +B)ex) + 2(Aex+ (Ax +B)ex) + (Ax +B)ex
= (4Ax + 4A+ 4B)ex
Cette identit´e est v´erifi´ee si et seulement si les coefficients de exet xexsont les mˆemes de chaque
cˆot´e de l’´equation
0 = 4A+ 4Bet 4 = 4A.
Cela donne
A= 1 et B=−1.
On a donc trouv´e la solution particuli`ere
yp= (Ax +B)ex= (x−1)ex.
Par le principe de superposition, la solution g´en´erale de (I) est
y=yh+yp=e−x(c1+xc2) + (x−1)ex.
2 R´esoudre y′′ −3y′+ 2y= 2x+e−x.
Sol. Solution clip.
3 Soit y′′ + 4y= 8 sin 2x. Quelle doit ˆetre la forme de yp?
Sol. Solution clip.
4 Soit y′′ + 6y′+ 9y=e−x(x+e−2x). Quelle doit ˆetre la forme de yp?
Sol. Solution clip.
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