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Terminale S3/S4
Devoir Surveillé n°8
Le 09/05/2002 - Durée : 1 heure
L’utilisation de la calculatrice est nécessaire.
Exercice 1
On considère la liste suivante d’entiers :
11, 151 , 2003 , 2005 , 2929 , 65537 , 220761 , 316 – 1
1°) Indiquer (sans justification) les nombres premiers de la liste précédente.
On pourra utiliser sur calculatrice, le programme élaboré en classe.
2°) Proposer un diviseur strict de chaque nombre non premier de cette liste.
3°)
a) Soit n et a deux entiers supérieurs à 2. Vérifier que
a n – 1 = (a – 1) (1 + a + a2 + ... + an – 1 )
b) En déduire l’écriture de 316 – 1 en base 9.
Exercice 2
Soit n un entier supérieur à 2.
On pose N = n! + 1
1°) Démontrer que les nombres N + k avec 1≤ k ≤ n – 1 (k entier), ne sont pas premiers.
2°) En déduire une liste de 200 entiers consécutifs tels qu’aucun d’entre eux ne soit premier.
Exercice 3
1°) Décomposer 180 en produit de facteurs premiers.
En déduire la liste (ordonnée par ordre croissant) de tous les diviseurs positifs de 180.
2°) Déterminer l’ensemble des couples (a , b) d’entiers naturels vérifiant :
a<b
PGCD(a , b) = b – a
PPCM(a , b) = 180