Exercices chapitre 12 Entiers naturels, arithmétique

PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet
Exercices chapitre 12
Entiers naturels, arithmétique
Exercice 1. Travailler dans Rou dans N?
Résoudre dans Nles équations suivantes :
1. x−1|x+3 ;
2. x+2|x2+2.
Exercice 2. Équations diophantiennes.
Résoudre dans N2les équations suivantes :
1. xy =3x+2y;
2. 1
x+1 y=1 5;
3. x2−y2−4x−2y=5.
Exercice 3. Des maths avec des lettres.
Soient a∈N∗et b∈N∗, on note qle quotient de la division euclidienne de a−1 par b.
Déterminer pour tout n∈N, le quotient de la division euclidienne de (abn−1) par bn+1.
Exercice 4. Des maths avec des chiffres.
Montrer que 11 |2123 +3121.
Exercice 5. Des chiffres et des lettres.
Trouver les entiers n∈Ntels que 10 |n2+(n+1)2+(n+3)2.
Exercice 6. Pour une fois, c’est tout droit.
Montrer que si nest entier impair alors
n2≡1[8].
Exercice 7. Divisibilité par 9.
Soient a,bet ntrois nombres entiers non nuls, et r1et r2respectivement les restes de la
division de aet bpar n.
1. Montrer que le reste de la division euclidienne de a+bpar nest le reste de la division
euclidienne de r1+r2par n.
2. Montrer que le reste de la division euclidienne de ab par nest le reste de la division
euclidienne de r1r2par n.
3. En déduire le critère de divisibilité par 9 : un nombre mest divisible par 9 si et seulement
si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 9.
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Exercice 8. Algorithme d’Euclide.
Déterminer le PGCD et les coefficients de l’égalité de Bézout des entiers aet bsuivants :
1. a=33 et b=24 ;
2. a=37 et b=27 ;
3. a=270 et b=105.
Exercice 9. Comment se débarrasser de n?
Montrer que le PGCD de 2n+4 et 3n+3 ne peut être que 1, 2, 3 ou 6.
Exercice 10. Deux systèmes d’équations.
Résoudre dans N2les systèmes :
1. (PGCD(x,y)=5
PPCM(x,y)=60 ; 2. (x+y=100 PGCD(x,y)=10
Exercice 11. Somme ou produit ? Les deux.
Soient aet bpremiers entre eux.
Montrer que a∧(a+b)=b∧(a+b)=1 puis (a+b)∧ab =1.
Exercice 12. Comment se débarrasser de n, le retour.
Montrer que pour tout n∈N∗on a :
(n2+n)∧(2n+1) =1 et (3n2+2n)∧(n+1) =1.
Exercice 13. 10 pas.
Trouver la puissance de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de 1000!.
Exercice 14. Nombres entiers et racines rationnelles de polynômes.
Montrer que l’équation x3+x2+2x+1=0 n’a pas de racines dans Q.
Exercice 15. Une application pertinente de l’identité de Bézout.
Soient a,b∈N∗. On suppose qu’il existe m,npremiers entre eux tels que am=bn.
Montrer qu’il existe c∈N∗tel que a=cnet b=cm.
Exercice 16. Comment factoriser ?
Montrer que les nombres suivants sont composés :
1. 4n3+6n2+4n+1 avec n∈N∗;
2. n4−n2+16 avec n∈Z.
Exercice 17. Le retour de la formule.
Soient aet pdeux entiers supérieurs à 2.
Montrer que si ap−1 est premier alors a=2 et pest premier.
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Exercice 18. Petit théorème de Fermat.
Soit pun nombre premier.
1. Montrer
∀k∈{1,2,..., p−1},p|Ãp
k!.
2. En déduire que
∀n∈Z,np≡n[p].
Ce dernier résultat est connu sous le nom de petit théorème de Fermat (1601-1665).
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