Universit´
e de Li`
ege
Examen d’admission aux ´etudes de bachelier ing´enieur civil et
architecte
Trigonom´etrie et calcul num´erique
Prof. P. Dewallef et Prof. Q. Louveaux
Septembre 2016
Question 1 R´esoudre l’´equation trigonom´etrique suivante en pr´ecisant les condi-
tions d’existence :
tan xsin x
tan x+ sin x= 2 2 cos x
Repr´esenter les solutions appartenant `a l’intervalle [π, π[sur le cercle trigo-
nom´etrique.
Solution
C. E. : tan xdoit ˆetre d´efini donc x6=π
2+kπ, k Z.
De plus, tan x+ sin x6= 0. Pour trouver les valeurs `a rejeter des conditions
d’existence, on r´esout tan x+ sin x= 0. On obtient sin x
cos x+ sin x= 0 qui se
factorise en sin x(1
cos x+ 1) = 0 qui admet comme solution soit sin x= 0,
c’est-`a-dire x=kπ, k Z, soit cos x=1, c’est-`a-dire x=π+ 2kπ, k Z.
Les conditions d’existence se r´esument donc `a xR\ {kπ
2, k Z}.
Pour la suite, on suppose que xsatisfait les conditions d’existence. On peut
donc r´ecrire l’´equation initiale comme
sin x
cos xsin x= (2 2 cos x)( sin x
cos x+ sin x).
En utilisant les conditions d’existence, on en d´eduit que sin x6= 0, le sin xpeut
donc se simplifier et on obtient
1
cos x1 = (2 2 cos x)( 1
cos x+ 1).
En ramenant tout sur le mˆeme d´enominateur, et puisque cos x6= 0 d’apr`es les
conditions d’existence, on a
1cos x= 2 + 2 cos x2 cos x2 cos2x,
ce qui se simplifie en
2 cos2xcos x+ 1 = 0.
On pose `a pr´esent t= cos xet on r´esout 2t2t1 = 0 qui admet les deux
solutions t=1±3
4.Les solutions de cos x= 1 sont `a rejeter en vertu des condi-
tions d’existence. Les solutions de cos x=1
2m`enent `a x=2π
3+ 2kπ, k Z
ou x=2π
3+ 2kπ, k Z.
Seules les solutions 2π
3et 2π
3sont `a reporter sur le cercle trigonom´etrique.
x=2π
3
x=2π
3
Figure 1 – Repr´esentation des solutions sur le cercle trigonom´etrique
Question 2 On souhaite couvrir la toiture `a quatre pans repr´esent´ee en vue
de haut et en perspective sur la figure suivante. La base de la toiture est rec-
tangulaire, de cˆot´es AB = 8met BC = 12m. La toiture est sym´etrique, c’est-
`a-dire que les pans ABE et CDF sont isom´etriques, de mˆeme que les pans
BCF E et ADF E. En mesurant les arˆetes principales de la toiture, on obtient
que AE = 6m,EF = 6met F D = 6m.
A
B C
D
E F
A
B
C
D
EF
(a) Calculer la surface totale de la toiture `a couvrir.
(b) Calculer la hauteur de l’arˆete EF par rapport `a la base rectangulaire.
(c) On souhaite poser des panneaux photovolta¨ıques sur la toiture. Pour ce faire,
une inclinaison entre 30˚et 40˚est souhait´ee. D´eterminer quel pan de la
toiture est le plus appropri´e pour accueillir les panneaux.
2
Solution Soit E0la projection de Esur le plan ABCD. Soit ¯
Ele milieu du
segment AB. On note aussi par F0la projection de Fsur le plan ABCD et par
¯
Fla projection de F0sur le segment BC.
Dans le triangle rectangle B¯
EE0, on sait que |B¯
E|= 4 met |¯
EE0|= 3 mpar
sym´etrie. Par le th´eor`eme de Pythagore, on en d´eduit que |BE0|=19 + 9 =
5m..
Si on consid`ere le triangle rectangle BE0E, on a |BE0|= 5 met |BE|= 6 m.
Par Pythagore, on en d´eduit que |EE0|=36 25 = 11 m. Ceci r´epond `a la
question (b).
Pour obtenir l’aire de la toiture, on doit calculer les aires des triangles et
trap`ezes. Dans le triangle rectangle B¯
EE, on sait que |BE|= 6met que
|B¯
E|= 4 m. On en d´eduit, par Pythagore, que ¯
EE|=36 16 = 20 m,
ce qui est la hauteur du triangle ABE. Similairement, on calcule la hauteur du
trap`eze BCF E qui vaut 16 + 11 = 27 m. D`es lors, l’aire du triangle ABE
vaut 8·20
2= 8517,89 m2.L’aire du trap`eze BCF E vaut (12+6)
2·27 =
27346,77 m2.Si on somme les aires des quatre pans, on obtient une aire
approximative de 129,3m2.Ceci r´epond `a la question (a).
Remarque : La formule de H´eron permet d’obtenir directement l’aire du pan
ABE (et CDF ) avec p=1
2(8 + 6 + 6) = 10 et l’aire est ´egale `a 10 ·2·4·4 =
85.
Si on consid`ere le triangle rectangle ¯
EE0E, l’angle E¯
EE0= arctan 11
3
47,87˚. Si on consid`ere le triangle rectangle ¯
FFF0, l’angle F¯
F F 0= arctan 11
4
39,66˚.
Les pans BCF E et AEF D sont donc plus appropri´es pour recevoir les panneaux
photovolta¨ıques.
Question 3 Si A,Bet Cd´esignent les angles d’un triangle et a,bet cles
longueurs des cˆot´es oppos´es `a ces angles, montrer que :
cos B
2cos C
2=a+b+c
2asin A
2
Solution Notons α=A
2, β =B
2, γ =C
2.Remarquons tout d’abord que α+
β+γ=π
2puisque ce sont des demi-angles d’un triangle. Remarquons que cela
implique ´egalement que α, β, γ ]0,π
2[ de mˆeme que a, b, c > 0.Les conditions
d’existence sont donc satisfaites. Dans la suite, il sera ´egalement correct de
diviser par a, b ou cou par le cosinus ou le sinus des angles α, β ou γ.
On peut remplacer α=π
2βγ. La r`egle des sinus nous permet ´egalement
d’´ecrire
sin A
a=sin B
b
2 sin αcos α
a=2 sin βcos β
b
a=bsin αcos α
sin βcos β
a=bcos(β+γ) sin(β+γ)
sin βcos β.
3
On remplace `a pr´esent αet adans l’identit´e `a d´emontrer. On obtient donc
cos βcos γ=bcos(β+γ) sin(β+γ)
sin βcos β+b+c
2b
cos(β+γ) sin(β+γ)
sin βcos β
cos(β+γ)
2bcos βcos γsin(β+γ)
sin β
cos β=bcos(β+γ) sin(β+γ) + bsin βcos β+csin βcos β
sinβ
cos β
2bcos βcos γsin(β+γ) = (((((((((
(
bcos βcos γsin(β+γ)bsin βsin γsin(β+γ)
+bsin βcos β+csin βcos β
et finalement
bsin(β+γ)(cos βcos γ+ sin βsin γ) = bsin βcos β+csin βcos β
On peut `a pr´esent `a nouveau utiliser la r`egle des sinus et observer que
sin B
b=sin C
c
2 sin βcos β
b=2 sin γcos γ
c
csin βcos β=bsin γcos γ.
En utilisant l’expression de csin βcos βdans l’expression `a d´emontrer et en
d´eveloppant la somme d’angles, on obtient `a pr´esent
b((sin βcos γ+ cos βsin γ)(cos βcos γ+ sin βsin γ)) =
bsin βcos β+
bsin γcos γ
(1)
On d´eveloppe `a pr´esent le membre de gauche de (1) et en utilisant le fait que
cos2β+ sin2β= 1 et que cos2γ+ sin2γ= 1, on obtient
sin βcos βcos2γ+ sin2βcos γsin γ+ cos2βcos γsin γ+ cos βsin βsin2γ
= sin βcos β+ cos γsin γ,
ce qui est bien le membre de droite de (1) et d´emontre d`es lors l’identit´e.
ATTENTION
NOM (en MAJUSCULES), pr´enom (en minuscules) sur chaque feuille.
Rendre une feuille par question mˆeme s’il n’y a pas de r´eponse.
GSM et PC interdits.
Il est permis d’utiliser une calculette.
Pr´eparer une pi`ece d’identit´e sur la table.
Fin de l’examen `a 12 heures.
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