Trigonométrie et calcul numérique

Université de Liège
Examen d’admission aux études de bachelier ingénieur civil et
architecte
Trigonométrie et calcul numérique
Prof. P. Dewallef et Prof. Q. Louveaux
Septembre 2016
Question 1 Résoudre l’équation trigonométrique suivante en précisant les conditions d’existence :
tan x − sin x
= 2 − 2 cos x
tan x + sin x
Représenter les solutions appartenant à l’intervalle [−π, π[ sur le cercle trigonométrique.
Solution
C. E. : tan x doit être défini donc x 6= π2 + kπ, k ∈ Z.
De plus, tan x + sin x 6= 0. Pour trouver les valeurs à rejeter des conditions
sin x
d’existence, on résout tan x + sin x = 0. On obtient cos
x + sin x = 0 qui se
1
factorise en sin x ( cos x + 1) = 0 qui admet comme solution soit sin x = 0,
c’est-à-dire x = kπ, k ∈ Z, soit cos x = −1, c’est-à-dire x = −π + 2kπ, k ∈ Z.
Les conditions d’existence se résument donc à x ∈ R \ {k π2 , k ∈ Z}.
Pour la suite, on suppose que x satisfait les conditions d’existence. On peut
donc réécrire l’équation initiale comme
sin x
sin x
− sin x = (2 − 2 cos x)(
+ sin x).
cos x
cos x
En utilisant les conditions d’existence, on en déduit que sin x 6= 0, le sin x peut
donc se simplifier et on obtient
1
1
− 1 = (2 − 2 cos x)(
+ 1).
cos x
cos x
En ramenant tout sur le même dénominateur, et puisque cos x 6= 0 d’après les
conditions d’existence, on a
1 − cos x = 2 + 2 cos x − 2 cos x − 2 cos2 x,
ce qui se simplifie en
2 cos2 x − cos x + 1 = 0.
On pose à présent t = cos x et on résout 2t2 − t − 1 = 0 qui admet les deux
solutions t = 1±3
4 . Les solutions de cos x = 1 sont à rejeter en vertu des conditions d’existence. Les solutions de cos x = − 21 mènent à x = − 2π
3 + 2kπ, k ∈ Z
ou x = 2π
+
2kπ,
k
∈
Z.
3
Seules les solutions − 2π
3 et
2π
3
x=
sont à reporter sur le cercle trigonométrique.
2π
3
x = − 2π
3
Figure 1 – Représentation des solutions sur le cercle trigonométrique
Question 2 On souhaite couvrir la toiture à quatre pans représentée en vue
de haut et en perspective sur la figure suivante. La base de la toiture est rectangulaire, de côtés AB = 8m et BC = 12m. La toiture est symétrique, c’està-dire que les pans ABE et CDF sont isométriques, de même que les pans
BCF E et ADF E. En mesurant les arêtes principales de la toiture, on obtient
que AE = 6m, EF = 6m et F D = 6m.
B
C
E
E
F
F
B
C
A
A
D
D
(a) Calculer la surface totale de la toiture à couvrir.
(b) Calculer la hauteur de l’arête EF par rapport à la base rectangulaire.
(c) On souhaite poser des panneaux photovoltaı̈ques sur la toiture. Pour ce faire,
une inclinaison entre 30˚et 40˚est souhaitée. Déterminer quel pan de la
toiture est le plus approprié pour accueillir les panneaux.
2
Solution Soit E 0 la projection de E sur le plan ABCD. Soit Ē le milieu du
segment AB. On note aussi par F 0 la projection de F sur le plan ABCD et par
F̄ la projection de F 0 sur le segment BC.
Dans le triangle rectangle B ĒE 0 , on sait que |B Ē| = 4 m et |ĒE 0 | √
= 3 m par
symétrie. Par le théorème de Pythagore, on en déduit que |BE 0 | = 19 + 9 =
5 m..
0
Si on considère le triangle rectangle BE 0 E,
| = 5 m et |BE| = 6 m.
√ on a |BE √
Par Pythagore, on en déduit que |EE 0 | = 36 − 25 = 11 m. Ceci répond à la
question (b).
Pour obtenir l’aire de la toiture, on doit calculer les aires des triangles et
trapèzes. Dans le triangle rectangle B ĒE, on sait que √
|BE| = 6m√et que
|B Ē| = 4 m. On en déduit, par Pythagore, que ĒE| = 36 − 16 = 20 m,
ce qui est la hauteur du triangle
ABE.√Similairement, on calcule la hauteur du
√
trapèze√BCF E qui vaut 16 + 11 = 27 m. Dès lors, l’aire du triangle ABE
√
√
vaut 8· 2 20 = 8 5 ≈ 17, 89 m2 . L’aire du trapèze BCF E vaut (12+6)
· 27 =
2
√
27 3 ≈ 46, 77 m2 . Si on somme les aires des quatre pans, on obtient une aire
approximative de 129, 3 m2 . Ceci répond à la question (a).
Remarque : La formule de Héron permet d’obtenir directement
√ l’aire du pan
ABE (et CDF ) avec p = 12 (8 + 6 + 6) = 10 et l’aire est égale à 10 · 2 · 4 · 4 =
√
8 5.
√
Si on considère le triangle rectangle ĒE 0 E, l’angle ∠E ĒE 0 = arctan 311 ≈
√
47, 87˚. Si on considère le triangle rectangle F̄ F F 0 , l’angle ∠F F̄ F 0 = arctan 411 ≈
39, 66˚.
Les pans BCF E et AEF D sont donc plus appropriés pour recevoir les panneaux
photovoltaı̈ques.
Question 3 Si A, B et C désignent les angles d’un triangle et a, b et c les
longueurs des côtés opposés à ces angles, montrer que :
cos
B
C
a+b+c
A
cos =
sin
2
2
2a
2
Solution Notons α = A2 , β =
= C2 . Remarquons tout d’abord que α +
β + γ = puisque ce sont des demi-angles d’un triangle. Remarquons que cela
implique également que α, β, γ ∈]0, π2 [ de même que a, b, c > 0. Les conditions
d’existence sont donc satisfaites. Dans la suite, il sera également correct de
diviser par a, b ou c ou par le cosinus ou le sinus des angles α, β ou γ.
On peut remplacer α = π2 − β − γ. La règle des sinus nous permet également
d’écrire
sin A
sin B
=
a
b
2 sin α cos α
2 sin β cos β
=
a
b
sin α cos α
a=b
sin β cos β
cos(β + γ) sin(β + γ)
a=b
.
sin β cos β
π
2
B
2 ,γ
3
On remplace à présent α et a dans l’identité à démontrer. On obtient donc
sin(β+γ)
b cos(β+γ)
+b+c
sin β cos β
cos β cos γ =
cos(β
+ γ)
sin(β+γ)
cos(β+γ)
2b
sin β cos β
2b cos β cos γ sin(β + γ)
b cos(β + γ) sin(β + γ) + b sin β cos β + c sin β cos β
=
cos
cos
β
sin
β
sinβ
β
(
(
((+ γ) − b sin β sin γ sin(β + γ)
2
b cos
β cos
γ(
sin(β
((
b cos β cos γ sin(β + γ) = (
((
+ b sin β cos β + c sin β cos β
et finalement
b sin(β + γ)(cos β cos γ + sin β sin γ) = b sin β cos β + c sin β cos β
On peut à présent à nouveau utiliser la règle des sinus et observer que
sin C
sin B
=
b
c
2 sin β cos β
2 sin γ cos γ
=
b
c
c sin β cos β = b sin γ cos γ.
En utilisant l’expression de c sin β cos β dans l’expression à démontrer et en
développant la somme d’angles, on obtient à présent
b ((sin β cos γ + cos β sin γ)(cos β cos γ + sin β sin γ)) = b sin β cos β + b sin γ cos γ
(1)
On développe à présent le membre de gauche de (1) et en utilisant le fait que
cos2 β + sin2 β = 1 et que cos2 γ + sin2 γ = 1, on obtient
sin β cos β cos2 γ + sin2 β cos γ sin γ + cos2 β cos γ sin γ + cos β sin β sin2 γ
= sin β cos β + cos γ sin γ,
ce qui est bien le membre de droite de (1) et démontre dès lors l’identité.
ATTENTION
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NOM (en MAJUSCULES), prénom (en minuscules) sur chaque feuille.
Rendre une feuille par question même s’il n’y a pas de réponse.
GSM et PC interdits.
Il est permis d’utiliser une calculette.
Préparer une pièce d’identité sur la table.
Fin de l’examen à 12 heures.
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