Algèbre 2 – ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES –

Algèbre -chap 2 1/7
Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet
Dans l’ensemble du chapitre, on se place dans le plan P muni d’un repère orthonormé direct
(O ; )e;e
21
→→
(appelé plan complexe ou plan d’Argand Cauchy).
1. ELEMENTS DE TRIGONOMETRIE
Définition 1 : Dans le plan P on considère un point M situé sur le cercle de centre O, de
rayon 1 (cercle trigonométrique). On note
θ
une mesure en radian de l’angle
(
)
1
e ;OM
.
On appelle cosinus du réel q l’abscisse de M dans (O ; )e;e
21
→→
et sinus de ce réel l’ordonnée
de M, respectivement notés cos(q) et sin(q).
Pour
( )
k k
2
π
θ ≠ + π ∈
ℤ
, on définit la tangente du réel q par :
( )
(
)
( )
sin
tan cos
θ
θ =
θ
.
Propriété :
(
)
(
)
2 2
, cos sin 1
∀θ∈ θ + θ =
ℝ
Remarque : Soient OAB un triangle rectangle en A et
AOB
θ =
.
Soit M(x ; y) sur C (O, 1) tel que x = cos(
θ
) et y = sin(
θ
).
Le théorème de Thalès donne :
( )
( )
( ) ( )
(
)
OA
x = cos = OB
OA OB AB AB
= y = sin =
x OM y OB
sin
AB
tan = =
cos OA
θ
= ⇒ θ
θ
θ
θ
On retrouve les notions de trigonométrie dans le triangle rectangle.
1.2.1 Formules d’addition
cos(a b) cosacosb sinasin b sin(a b) sina cosb co
sasin b
cos(a b) cosacosb sinasin b sin(a b) sinacosb co
sasin b
+ = − + = +
− = + − = −
tana tan b
tan(a b)
1 tana tan b
+
+ = − si a , b et a + b sont différents de
( ) ( )
2k 1 k
2
π
+ ∈
ℤ
tana tan b
tan(a b)
1 tana tanb
−
− = +
si a , b et a – b sont différents de
( ) ( )
2k 1 k
2
π
+ ∈
ℤ
Algèbre 2
– ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES –
1.1 Définitions
1.2 Formules de trigonométrie

Algèbre -chap 2 2/7
Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet
1.2.2 Formules de duplication
2 2
2 2
cos2a cos a sin a sin2a 2sinacosa
1 cos2a 1 cos2a
cos a sin a
2 2
= − =
+ −
= =
1.2.3 Transformation de produits en sommes
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
cos a b cos a b
cosa cosb 2
cos a b cos a b
sina sinb 2
sin a b sin a b
sina cosb
2
+ + −
=
− − +
=
+ + −
=
1.2.4 Transformation de sommes en produits
a b a b a b a b
cosa cosb 2cos cos cosa cosb 2sin sin
2 2 2 2
a b a b a b a b
sina sin b 2sin cos sina sinb 2sin cos
2 2 2 2
+ − + −
+ = − = −
+ − − +
+ = − =
2. L’ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES
Définition 2 : On note i un nombre imaginaire.
On appelle nombre complexe tout nombre z qui s’écrit sous la forme z = x + i.y (dite forme
algébrique) où x et y sont des réels. ( On note aussi z = x + y.i)
x est appelé partie réelle de z , on note x = Re(z).
y est appelé partie imaginaire de z , on note y = Im(z).
L’ensemble des nombres complexes est noté C .
Remarques :
(i) z = z’ ⇔ (Re(z) = Re(z’) et Im(z) = Im(z’)).
(ii) Si y = 0, z est un nombre réel .
(iii) Si x = 0, on dit que z est un imaginaire pur (z ∈ i. R ).
Définition 3 : L’application de C dans P qui à z = x + i.y associe M(x ; y) est une bijection.
On dit que z est l’affixe de M et que M est l’image ponctuelle de z.
On note M(z).
L’application de C dans l’ensemble V des vecteurs du plan qui à z = x + i.y associe
v
→
(x ; y) est une bijection. On dit que z est l’affixe de
v
→
et que
v
→
est l’image vectorielle de z.
On note
v
→
(z).
Remarque : Pour tout point M du plan, M et
OM
ont la même affixe.
2.1 Définition
2.2 Représentation géométrique

Algèbre -chap 2 3/7
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Définition 4 : Soient z = x + i.y un nombre complexe et M son image ponctuelle dans le plan
complexe rapporté au repère orthonormal direct (O ; )e;e
21
→→
La distance OM est appelée le module de z, noté I z I.
Si z est non nul la mesure de l’angle (e
1
→
,
OM
→
), définie à 2π-près, est appelée un argument de
z, notée arg(z ).
Remarque : Si
1
θ
et
2
θ
sont deux arguments d’un nombre complexe z, alors
[
]
1 2
2
θ = θ π
Propriété : Soit z∈C*, tel que z = x + i.y (x , y S IR) avec IzI = ρ et arg(z) = θ [2p].
On a : z = ρ (cosθ + i sinθ ) avec ρ =
x y
2 2
+
, cos θ = x
ρ et sinθ = y ρ.
Définition 5 : La forme z = ρ (cosθ + i sinθ ) (avec IzI = ρ et arg(z) = θ [2p] ) est appelée
forme trigonométrique de z.
Proposition 1: Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont le
même module et des arguments égaux à 2p-près.
3. OPERATIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES
On munit C de deux opérations internes + et . définies par :
• (x + i.y) + (x’ + i.y’) = (x + x’) + i.(y + y’)
• (x + i.y) . (x’ + i.y’) = (xx’ – yy’) + i.(xy’ + yx’)
Remarques :
(i) Avec la loi . on a : i . i = -1. On note i² = -1.
En appliquant cette propriété, on constate que les opérations sur C sont
compatibles avec les opérations sur R et possèdent les mêmes propriétés
(associativité, distributivité, commutativité).
(ii) Pour tout nombre complexe z = x + i.y, il existe un nombre complexe, noté –z, tel
que z + (-z) = 0. C’est le nombre –z = - x + i.(-y).
On note pour tous nombres complexes z et z’ : z – z’ = z + (-z’).
(iii) Pour tout nombre complexe non nul z = x + i.y, il existe un nombre complexe,
noté
1
z
tel que z .
1
z
= 1. C’est le nombre
2 2
1 x yi
.
z x y
−
=+
On note pour tous nombres complexes z et z’ (z’ non nul) :
z
z'
= z .
1
.
z'
2.3 Forme trigonométrique
3.1 Lois internes

Algèbre -chap 2 4/7
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Définition 6 : Soit z = x + i.y (x, y réels). On définit le conjugué de z par
z
= x – i.y .
Propriétés : ∀(z ; z’)∈ C
2
on a :
•
z
= z
•
z
z
z
z
+
=
+
'
'
;
z z z z'
'
=
; si z ≠ 0,
1 1
z
z
=
  et
z' z'
z
z
=
• Re(z) =
1
2
(z +
z
) et Im(z) =
1
2i
(z –
z
) ; z ∈
R
⇔ z =
z
• Si z = x + i.y (x, y réels) alors z .
z
= x
2
+ y
2
.
∀ (z ; z’) ∈ C
2
on a :
• z .
z
= | z |
2
• | z | = 0 ⇔ z = 0
•
| z | = | -z | = |
z
|
• | z z’| = | z | | z’| ; ∀ z ∈ C *,
1
z
=
1
z
et
'
'
z
z
z z
=
• | z + z’| ≤ | z | + | z’| (Inégalité triangulaire)
• z z z z− ≤ −' '
∀ (z ; z’) ∈ C *
2
on a :
• arg(z) = 0 [2 π ] ⇔ z ∈ R[ et arg(z) = 0 [ π ] ⇔ z ∈ R
*
• arg(z) =
2
π
[ π ] ⇔ z est un imaginaire pur (non nul).
• arg(
z
) = - arg(z) [2 π ] et arg(-z) = arg(z) + π [2 π ]
• arg(z z’) = arg(z) + arg(z’) [2 π ]
• arg
z
1 = - arg(z) [2
π ] et arg
z
z'
= arg(z) – arg(z’) [2 π ]
3.2 Conjugaison
3.3 Propriétés du module
3.4 Propriétés de l’argument

Algèbre -chap 2 5/7
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Notation exponentielle d’un nombre complexe de module 1:
∀θ∈R, on note e
iθ
= cos θ + i sinθ.
Propriétés : ∀(θ ; θ’) ∈ R
2
on a :
• e
i(θ + θ’)
= e
i θ
e
i θ’
;
( )
i
i '
i '
ee
e
θ
θ−θ
θ
=
•
(
)
(
)
(
)
(
)
nn
i in
n , e cos isin e cos n isin n
θ θ
∀ ∈ = θ + θ = = θ + θ
ℤ (formule de Moivre)
•
(
)
e e
i iθ θ
=
− et
− =
+
e e
i i
θ
θ
π
( )
• e
i θ
= 1 ⇔ θ ∈ 2π
Z
.
• cosθ =
1
2
( e
iθ
+ e
-iθ
) et sinθ =
1
2
i
(e
iθ
– e
-iθ
) (formules d’Euler)
Remarque : De la forme trigonométrique d’un nombre complexe z = ρ (cosθ + i sinθ ) on
obtient la forme exponentielle d’un nombre complexe : z = ρ e
iθ
.
Définition 7 : Pour tout nombre complexe z, on pose :
Re( ) Im( )
e e e
z z i z
=
.
Remarque :
(
)
[
]
Re( )
e e et arg e Im( ) 2
z z z z
= = π
.
Propriétés :
(
)
2
z; z'∀ ∈
ℂ
on a :
•
' '
e = e e
z z z z
+
;
z
z
1
e
e
−
=
•
'
e = e z z' 2
z z
i
⇔ − ∈ π
ℤ
•
'
' '
'2
2 2
e e e e e
−
+ − −
+ = +
z z
z z z z
z z
4. RACINES n-ièmes
Proposition 2 : l’ensemble U des nombres complexes de module 1 est stable pour la
multiplication.
Définition 8 : Soient n∈ N * et a∈ C . On dit que z ∈ C est une racine n-ième de a si z
n
= a.
Remarque : z
n
= 0 ⇔ z = 0.
3
.5 Notation exponentielle
3.6 Exponentielle complexe