Algèbre 2 – ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES –

Algèbre -chap 2 1/7
Algèbre 2
– ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES –
Dans l’ensemble du chapitre, on se place dans le plan P muni d’un repère orthonormé direct
→
→
(O ; e1 ; e 2 ) (appelé plan complexe ou plan d’Argand Cauchy).
1. ELEMENTS DE TRIGONOMETRIE
1.1 Définitions
Définition 1 : Dans le plan P on considère un point M situé sur le cercle de centre O, de
rayon 1 (cercle trigonométrique). On note θ une mesure en radian de l’angle e1 ;OM .
(
→
)
→
On appelle cosinus du réel q l’abscisse de M dans (O ; e1 ; e 2 ) et sinus de ce réel l’ordonnée
de M, respectivement notés cos(q) et sin(q).
sin ( θ )
π
Pour θ ≠ + kπ ( k ∈ ℤ ) , on définit la tangente du réel q par : tan ( θ ) =
.
2
co s ( θ )
Propriété :
∀θ ∈ ℝ , cos 2 ( θ ) + sin 2 ( θ ) = 1
.
Remarque : Soient OAB un triangle rectangle en A et θ = AOB
Soit M(x ; y) sur C(O, 1) tel que x = cos( θ ) et y = sin( θ ).

OA

x = cos (θ ) = OB

OA OB AB 
AB
Le théorème de Thalès donne :
=
⇒  y = sin (θ) =
=

x
OM
y
OB

sin (θ) AB

tan (θ ) = cos θ = OA
()

On retrouve les notions de trigonométrie dans le triangle rectangle.
1.2 Formules de trigonométrie
1.2.1 Formules d’addition
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
tan(a + b) =
tan a + tan b
1 − tan a tan b
π
2
( k ∈ ℤ)
tan(a − b) =
tan a − tan b
π
si a , b et a – b sont différents de ( 2k + 1)
1 + tan a tan b
2
( k ∈ ℤ)
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si a , b et a + b sont différents de ( 2k + 1)
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1.2.2 Formules de duplication
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a
cos 2 a =
1 + cos 2a
2
sin 2a = 2sin a cos a
sin 2 a =
1 − cos 2a
2
1.2.3 Transformation de produits en sommes
cos ( a + b ) + cos ( a − b )
2
cos ( a − b ) − cos ( a + b )
sin a sin b =
2
sin ( a + b ) + sin ( a − b )
sin a cos b =
2
cos a cos b =
1.2.4 Transformation de sommes en produits
a+b
a−b
cos a + cos b = 2 cos 
 cos 

 2 
 2 
a+b
a−b
sin a + sin b = 2sin 
 cos 

 2 
 2 
a+b a−b
cos a − cos b = −2sin 
 sin 

 2   2 
a −b
a+b
sin a − sin b = 2sin 
 cos 

 2 
 2 
2. L’ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES
2.1 Définition
Définition 2 : On note i un nombre imaginaire.
On appelle nombre complexe tout nombre z qui s’écrit sous la forme z = x + i.y (dite forme
algébrique) où x et y sont des réels. ( On note aussi z = x + y.i)
x est appelé partie réelle de z , on note x = Re(z).
y est appelé partie imaginaire de z , on note y = Im(z).
L’ensemble des nombres complexes est noté C .
Remarques :
(i)
z = z’ ⇔ (Re(z) = Re(z’) et Im(z) = Im(z’)).
(ii)
Si y = 0, z est un nombre réel.
(iii) Si x = 0, on dit que z est un imaginaire pur (z∈i.R).
2.2 Représentation géométrique
Définition 3 : L’application de C dans P qui à z = x + i.y associe M(x ; y) est une bijection.
On dit que z est l’affixe de M et que M est l’image ponctuelle de z.
On note M(z).
L’application de C dans l’ensemble V des vecteurs du plan qui à z = x + i.y associe
→
→
→
v (x ; y) est une bijection. On dit que z est l’affixe de v et que v est l’image vectorielle de z.
→
On note v (z).
Remarque : Pour tout point M du plan, M et OM ont la même affixe.
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2.3 Forme trigonométrique
Définition 4 : Soient z = x + i.y un nombre complexe et M son image ponctuelle dans le plan
→
→
complexe rapporté au repère orthonormal direct (O ; e1 ; e 2 )
La distance OM est appelée le module de z, noté I z I.
→
→
Si z est non nul la mesure de l’angle (e1 ,OM ), définie à 2π-près, est appelée un argument de
z, notée arg(z ).
Remarque : Si θ1 et θ 2 sont deux arguments d’un nombre complexe z, alors θ1 = θ 2 [ 2π]
Propriété : Soit z∈C*, tel que z = x + i.y (x , y S IR) avec IzI = ρ et arg(z) = θ [2p].
x
y
On a : z = ρ (cosθ + i sinθ ) avec ρ = x 2 + y 2 , cos θ =
et sinθ = .
ρ
ρ
Définition 5 : La forme z = ρ (cosθ + i sinθ ) (avec IzI = ρ et arg(z) = θ [2p] ) est appelée
forme trigonométrique de z.
Proposition 1: Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont le
même module et des arguments égaux à 2p-près.
3. OPERATIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES
3.1 Lois internes
On munit C de deux opérations internes + et . définies par :
• (x + i.y) + (x’ + i.y’) = (x + x’) + i.(y + y’)
• (x + i.y) . (x’ + i.y’) = (xx’ – yy’) + i.(xy’ + yx’)
Remarques :
(i)
Avec la loi . on a : i . i = -1. On note i² = -1.
En appliquant cette propriété, on constate que les opérations sur C sont
compatibles avec les opérations sur R et possèdent les mêmes propriétés
(associativité, distributivité, commutativité).
(ii)
Pour tout nombre complexe z = x + i.y, il existe un nombre complexe, noté –z, tel
que z + (-z) = 0. C’est le nombre –z = - x + i.(-y).
On note pour tous nombres complexes z et z’ : z – z’ = z + (-z’).
(iii)
Pour tout nombre complexe non nul z = x + i.y, il existe un nombre complexe,
1 x − yi
1
1
.
noté tel que z . = 1. C’est le nombre = 2
z x + y2
z
z
z
1
On note pour tous nombres complexes z et z’ (z’ non nul) :
=z. .
z'
z'
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3.2 Conjugaison
Définition 6 : Soit z = x + i.y (x, y réels). On définit le conjugué de z par z = x – i.y .
2
∀(z ; z’)∈ C on a :
Propriétés :
•
z =z
•
z + z' = z + z' ;
•
Re(z) =
•
Si z = x + i.y (x, y réels) alors z . z = x2 + y2.
1 1
 =
z z
z z' = z z' ; si z ≠ 0,
1
(z + z )
2
et
Im(z) =
et
 z' z'
 =
z z
1
(z – z ) ; z ∈ R ⇔ z = z
2i
3.3 Propriétés du module
2
∀(z ; z’)∈ C on a :
•
z . z = | z |2
•
|z|=0⇔z=0
•
| z | = | -z | = | z |
•
| z z’| = | z | | z’| ; ∀z∈C*,
•
| z + z’| ≤ | z | + | z’| (Inégalité triangulaire)
•
1
1
=
z
z
et
z'
z'
=
z
z
z − z' ≤ z − z'
3.4 Propriétés de l’argument
∀(z ; z’) ∈ C*2 on a :
•
arg(z) = 0 [2π] ⇔ z ∈R[ et
•
arg(z) =
•
arg( z ) = - arg(z) [2π]
•
arg(z z’) = arg(z) + arg(z’) [2π]
•
1
z
arg   = - arg(z) [2π] et arg   = arg(z) – arg(z’) [2 π]
z
 z'
π
2
arg(z) = 0 [π] ⇔ z ∈R*
[ π ] ⇔ z est un imaginaire pur (non nul).
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et
arg(-z) = arg(z) + π [2π]
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3.5 Notation exponentielle
Notation exponentielle d’un nombre complexe de module 1:
∀θ∈R, on note eiθ = cos θ + i sinθ.
Propriétés : ∀(θ ; θ’) ∈ R2 on a :
eiθ
i θ−θ '
=e( )
iθ '
e
•
ei(θ + θ’)= ei θ e i θ’ ;
•
∀n ∈ ℤ, (eiθ ) = (cos θ + isin θ) = einθ = cos (nθ) + isin (nθ) (formule de Moivre)
•
( eiθ ) = e− iθ
•
ei θ = 1 ⇔ θ ∈ 2π Z .
•
cosθ =
n
n
et
− e i θ = e i ( θ+ π )
1 iθ -iθ
1
( e + e ) et sinθ = (eiθ – e-iθ) (formules d’Euler)
2
2i
Remarque : De la forme trigonométrique d’un nombre complexe z = ρ (cosθ + i sinθ ) on
obtient la forme exponentielle d’un nombre complexe : z = ρ eiθ.
3.6 Exponentielle complexe
Définition 7 : Pour tout nombre complexe z, on pose : e z = eRe( z ) ei Im( z ) .
Remarque : e z = eRe( z ) et arg ( e z ) = Im( z ) [ 2π] .
Propriétés : ∀ ( z; z') ∈ℂ2 on a :
•
ez+z' = ez ez' ;
•
ez = ez' ⇔
•
ez + ez' = e
1
= e− z
ez
z − z' ∈ 2iπℤ
z+z '
2
 z−z ' 
 z−z '
−

 2 
2
e
+
e






4. RACINES n-ièmes
Proposition 2 : l’ensemble U des nombres complexes de module 1 est stable pour la
multiplication.
Définition 8 : Soient n∈N* et a∈C. On dit que z ∈C est une racine n-ième de a si zn = a.
Remarque : zn = 0 ⇔ z = 0.
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Théorème 2 : ∀n ∈ ℕ, n ≥ 2 , tout nombre complexe non nul a = ρeiθ admet n racines nièmes : z k = ρ e
n
θ 2kπ
i( +
)
n
n
, k ∈ 0; n −1 .
Remarque : Les images ponctuelles des racines n-ièmes de z sont les sommets d’un polygone
régulier inscrit dans un cercle de centre O et de rayon n ρ .
Définition 9 : ∀n ∈ ℕ * , l’équation Zn = 1 possède n racines complexes : ωk = e
2 ikπ
n
où
k ∈ 0; n −1 appelée racines n-ièmes de l’unité.
Exemples :
•
pour n = 2 , les solutions de l’équation Z2 = 1 sont : 1 et -1 (dans ℝ comme dans ℂ )
•
pour n = 3 , les solutions complexes de l’équation Z3 = 1 sont : 1 ; j = e
•
pour n = 4, les solutions complexes de l’équation Z4 = 1 sont : 1 ; - 1 ; i ; - i
2 iπ
3
; j2 =e
4 iπ
3
Proposition 3 : ∀ n∈N/ n ≥ 2 :
•
l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité, Un = {z ∈ ℂ / zn = 1}, est stable pour la
multiplication
•
la somme des n racines n-ièmes de l’unité est nulle
5. INTERPRETATION GEOMETRIQUE DES NOMBRES
COMPLEXES
5.1 Interprétation d’une différence
Remarque : Si le point A a pour affixe α et B a pour affixe β alors AB a pour affixe β – α .
Proposition 4 : Soient A un point d’affixe α , et B un point d’affixe β , alors :
β −α = AB et, si A ≠ B, arg (β −α ) = e1 ; AB [ 2π ]
(
)
Proposition 5 : Soit (a ; r ) ∈ ℂ × ℝ*+ .
L’ensemble C = {z ∈ ℂ, z − a = r} est le cercle de centre A d’affixe a et de rayon r ;
L’ensemble D = {z ∈ ℂ, z − a ≤ r} est le disque fermé de centre A et de rayon r.
5.2 Interprétation d’un rapport
Proposition 6 : Soient A(a), B(b), C(c), D(d), a ≠ b, c ≠ d alors
d − c CD
 d−c 
=
(
AB
; CD ) [2π].
et arg 
=

b − a AB
 b−a 
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Proposition 7 : Soient A ≠B et C ≠D, alors :
 d−c 
(AB) // (CD) ⇔ arg 
 = 0 [π]
 b−a 
 d−c  π
(AB) ⊥ (CD) ⇔ arg 
 = [ π]
 b−a  2
Proposition 8 : Soient A(a), B(b), C(c), trois points distincts.
Le triangle ABC est rectangle isocèle (direct) en A si et seulement si
Le triangle ABC est équilatéral (direct) si et seulement si
π
i
c−a
=e3.
b−a
c−a
= i.
b−a
5.3 Applications dans C et transformations du plan
5.3.1 z ֏ z + b
Proposition 9 : Soit b∈ C. L’application F : P → P telle que F : M(z) ֏ M’(z + b) est une
→
translation de vecteur v d’affixe b.
5.3.2 z ֏ a z
Définition 10 : Soit a∈ ℝ \{0 ; 1}. L’application F : P → P telle que F : M(z) ֏ M’(az) est
appelée homothétie de centre O de rapport a.
Proposition 10 : Soient O un point du plan usuel P, et a un réel non nul.
L’application F : P → P est une homothétie de centre O de rapport a si et seulement si pour
tout point M de P, le point image M’ vérifie : OM ' = a OM .
Définition 11 : Soit a∈ ℂ tel que a = ei θ .
L’application F : P → P telle que F : M(z) ֏ M’(az) est appelée la rotation de centre O et
d’angle q.
Proposition 11 : Soient O un point du plan usuel P, et q un réel non nul.
L’application F : P → P est la rotation de centre O et d’angle q si et seulement si :
pour tout point M de P, le point image M’ vérifie : OM’ = OM et OM;OM ' = θ [ 2π]
(
)
5.3.3 z ֏ z
()
Proposition 12 : L’application F : P → P telle que F : M(z) ֏ M’ z est la symétrie d’axe
 →
 O;e1 


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