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École des Mines de Nancy Année 2015-2016
Denis Villemonais, [email protected]
FICM 1A – Probabilités
TD 8. Suites de variables aléatoires
Corrigé
Exercice 1. Soit (Xn)n∈N∗une suite de v.a. indépendantes. Supposons que pour tout n∈N∗, la loi
de Xnest la loi de Bernoulli de paramètre 1/n.
1. Montrer que (Xn)n∈N∗converge en loi vers une v.a. Xque l’on précisera.
2. Montrer que (Xn)n∈N∗converge dans L1et préciser la limite.
3. (*) La suite (Xn)n∈N∗converge-t-elle presque sûrement ?
Démonstration. 1. Par définition, pour tout t∈R,
ϕXn(t) = EeitXn=1−1
n+1 neit −−−−→
n→+∞1.
Étant donné que la fonction caractéristique t7→ 1est celle d’une variable aléatoire égale à 0
presque sûrement, on déduit du théorème de Lévy que
Xn
Loi
−−−→
n→∞ 0.
2. Si la suite (Xn)n∈Nconverge dans L1vers X, alors, (Xn)n∈Nconverge aussi en loi vers X. Par
conséquent, la loi de Xest δ0, ce qui implique que X= 0 p.s.
Étudions la convergence dans L1vers 0. On a
E(|Xn−0|) = 1
n−−−−→
n→+∞0.
Par conséquent,
Xn
L1
−−−→
n→∞ 0.
3. De même que pour la question précédente, la seule limite presque sûre envisageable est une
variable égale à 0presque sûrement.
Or, pour tout ε∈]0,1],X
n∈N∗
P(|Xn| ≥ ε) = X
n∈N∗
1
n= +∞.
Les variables aléatoires Xnétant supposées indépendantes, on déduit du le lemme de Borel-
Cantelli (ou du corollaire 8.2 p.91), que (Xn)nne converge pas p.s. vers 0.
En conclusion,
il n’y a pas convergence p.s. de la suite (Xn)n.
1

Exercice 2. Soient a∈Ret (Xn)n∈Nune suite de v.a. à valeurs réelles définies sur le même espace
de probabilité. Montrer que Xn
Loi
−→ asi et seulement si Xn
P roba
−→ a.
Aide : on pourra utiliser l’inégalité de Markov pour majorer la quantité P(|Xn−a| ∧ 1> ε), avec
ε∈]0,1[.
Solution. Si (Xn)converge en proba vers a, alors il converge en loi vers ad’après la proposition 8.12.
Supposons à présent que (Xn)converge en loi vers aet montrons que la suite de variables aléatoires
converge alors en probabilité vers a. Nous proposons deux solutions.
Solution 1. Pour tout ε∈]0,1],
P(|Xn−a|> ε) = P(|Xn−a|> ε et 1≥ε)
=P(|Xn−a| ∧ 1> )
≤E(|Xn−a| ∧ 1)
ε
par l’inégalité de Markov. Or la fonction x7→ |x−a|∧1est continue bornée sur Ret (Xn)converge
vers en loi vers a, donc
E(|Xn−a| ∧ 1) −−−→
n→∞
E(|a−a| ∧ 1) = 0.
En définitive, pour tout ε∈]0,1],
P(|Xn−a|> ε)−−−→
n→∞ 0,
donc (Xn)converge en probabilité vers a.
Remarque. L’inégalité P(|Xn−a|> ε0)≤P(|Xn−a|> ε)pour tous ε0> ε permet de conclure la
convergence en probabilité si la convergence P(|Xn−a|> ε)−−−→
n→∞ 0est démontrée pour tout ε > 0
suffisamment petit (par exemple pour tout ε∈]0,1]).
Solution 2. Soit g:x∈R7→ |x−a|. Il s’agit d’une fonction continue, donc, puisque la suite (Xn)
converge en loi vers a, la suite de variables aléatoires Yn=g(Xn)converge en loi vers Y=g(a)=0
(proposition 8.11 p.99). La fonction de répartition FYde la variable aléatoire Yest continue en tout
point non nul de R, donc, d’après la proposition 8.13, nous avons pour tout ε > 0,
P(Yn≤ε)−−−→
n→∞
P(Y≤ε)=1.
En particulier,
P(Yn> ε)=1−P(Yn≤ε)−−−→
n→∞ 0,
c’est-à-dire
P(|Xn−a|> ε)−−−→
n→∞ 0
donc (Xn)converge en probabilité vers a.
Exercice 3. Soient (Xn)n∈Nune suite de v.a. à valeurs dans Net µune mesure de probabilité sur
N.
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1. Supposons que pour tout k∈N,lim
n→+∞
P(Xn=k) = µ({k}).Montrer que (Xn)n∈Nconverge en
loi et préciser la loi limite.
2. (*) Montrer que si Xn
Loi
−→ X, alors, pour tout k∈N,lim
n→+∞
P(Xn=k) = P(X=k).
Solution. 1. Soit Xune variable aléatoire de loi µ. Notons FXsa fonction de répartition et FXn
celle de Xn, pour tout n≥1. Alors, pour tout x∈R, on a
FXn(x) = X
k∈N, k≤x
P(Xn=k)−−−→
n→∞ X
k∈N, k≤x
µ({k}) = FX(x),
car, par hypothèse, P(Xn=k)→P(X=k)pour tout ket la somme est finie. Ainsi FXn
converge simplement vers FX, donc
Xn
Loi
−−−→
n→∞ X.
2. Prouvons dans un premier temps que Xest à valeurs dans Npresque sûrement. Soit fune
fonction continue bornée strictement positive sur R\Net nulle sur N. On peut prendre par
exemple
f(x) = (|sin(πx)|si x≥0,
|x| ∧ 1si x < 0.
Alors, par convergence en loi de Xnvers X, nous obtenons
E(f(X)) = lim
n→∞
E(f(Xn)).
Or, pour tout n,Xn∈Npresque sûrement, donc f(Xn)=0presque sûrement, donc E(f(Xn)) =
0. On en déduit que
E(f(X)) = lim
n→∞ 0 = 0.
La variable aléatoire f(X)étant positive presque-sûrement, on déduit de la nullité de son
espérance qu’elle est nulle presque sûrement (Proposition 2.6, point 3). Par conséquent,
X∈Npresque sûrement.
Soit k∈N. Étant donné que les variables aléatoires X, X1, X2, . . . sont à valeurs entières presque
sûrement, nous avons
P(Xn=k) = P(Xn≤k+ 1/2) −P(Xn≤k−1/2) = FXn(k+ 1/2) −FXn(k−1/2),
P(X=k) = P(X≤k+ 1/2) −P(X≤k−1/2) = FX(k+ 1/2) −FX(k−1/2),
où FXnet FXdésignent les fonctions de répartition de Xnet Xrespectivement. Puisque la
variable aléatoire Xest à valeurs dans Npresque sûrement, sa fonction de répartition FXest
continue en tout point de R\Net, en particulier, en k−1/2et k+1/2. D’après la proposition 8.13,
nous avons donc
lim
n→+∞FXn(k+ 1/2) −FXn(k−1/2) = FX(k+ 1/2) −FX(k−1/2).
En d’autres termes,
P(Xn=k)−−−→
n→∞
P(X=k).
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Exercice 4. (*) Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires réelles qui converge en loi vers une
variable aléatoire X. Soit (Nk)k∈Nune suite de variables aléatoires discrètes à valeurs dans N∗telle
que
lim
k→+∞Nk= +∞presque sûrement.
On suppose que, pour tout k∈N,Nket les v.a. Xn,n∈Nsont indépendantes.
1. Montrer que (XNk)k∈Nconverge en loi vers X.
Aide : Pour tout n≥0, on notera ψnla fonction caractéristique de Xnet ψ∞celle de X.
On montrera alors que ϕXNk(t) = E(ψNk(t)) pour tout t∈R, où ϕXNk(t)est la fonction
caractéristique de XNk.
2. Soit (Yn)n∈Nune suite de variables aléatoires i.i.d. (i.e. indépendantes et identiquement dis-
tribuées, donc de même loi) de moyenne nulle et de carré intégrable, indépendantes des Nk,
k∈N. Pour tout n∈N∗, on pose
Sn=
n
X
k=1
Yk.
Montrer que (SNk/√Nk)k∈Nconverge en loi vers une limite que l’on précisera.
Solution. 1. Pour tout k∈Net tout t∈R,
ϕXNk(t) = EeitXNk
=E ∞
X
n=1
1Nk=neitXn!.
Or
E ∞
X
n=0 1Nk=neitXn!=E ∞
X
n=1
1Nk=n!= 1 <∞(1)
donc le théorème de Fubini nous autorise à intervertir les signes Pet Edans la pénultième
équation, soit
ϕXNk(t) =
∞
X
n=1
E1Nk=neitXn
=
∞
X
n=1
E(1Nk=n)EeitXnpar indépendance de Nkavec Xn
=
∞
X
n=1
E(1Nk=n)ψn(t) =
∞
X
n=1
E(1Nk=nψn(t)) .
Or le module de la suite (ψn(t))nest une fonction uniformément borné par 1, donc la suite
|1Nk=nψn(t)|est bornée par 1Nk=n. La sommabilité démontrée en (1) nous permet d’utiliser le
théorème de Fubini pour intervertir Pet E, ainsi
ϕXNk(t) = E ∞
X
n=0
1Nk=nψn(t)!
=E(ψNk(t)) .
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D’autre part (ψNk(t))k∈Nconverge presque sûrement vers ψ∞(t)quand k→ ∞, tout en étant
uniformément bornée en module par 1, donc, d’après le théorème de convergence dominée,
lim
k→∞ ϕXNk(t) = lim k→∞
E(ψNk(t))
=Elim
k→∞ ψNk(t)
=E(ψ∞(t)) = ψ∞(t).
On en déduit finalement que
(XNk)kconverge en loi vers X.
2. D’après le théorème central limite, Sn/√nconverge en loi vers une loi N(0, σ2), où σ2=E(Y2
1).
Or, pour tout k∈N,Nkest indépendant des Yndonc indépendant de la suite de variables
aléatoires (Sn/√n)n∈N. En appliquant le résultat de la question précédente, on en déduit donc
que
(SNk/pNk)k∈Nconverge en loi vers N(0, σ2).
Exercice 5. Soit (Xn)n∈Nune suite de v.a. indépendantes de loi uniforme sur [0,1].
1. Montrer que, pout tout k∈N,e Xk= ln(Xk)est bien définie, intégrable et montrer que
1
n
n
X
k=1 e
Xk
p.s.
−−→ E(ln(X0)) .
2. Soit α∈R. Posons Yn= (Qn
k=1 Xk)α/n. Montrer que la suite (Yn)n∈N∗converge presque sûre-
ment et donner sa limite.
3. Posons Zn=nmin1≤k≤nXk. Montrer que la suite (Zn)n∈N∗converge en loi vers une loi expo-
nentielle de paramètre 1.
Solution. 1. On pose ˜ Xk= ln(Xk)(définie p.s.), k∈N. Ces variables aléatoires sont mutuellement
indépendantes car les variables aléatoires Xk,k∈N, le sont et le ln est mesurable car continu.
De plus,
E(|˜ Xk|) = Z[0,1] |ln(x)|dλ1(x)<+∞.
Par conséquent, ˜ Xkest intégrable. D’après la loi forte des grands nombres,
1
n
n
X
k=1
ln(Xk)p.s. −−→ E(ln(X0)) .
2. Par continuité de l’exponentielle et d’après la question précédente,
Yn= exp α
n
n
X
k=1
ln(Xk)!p.s. −−→ exp (αE(ln(X0))) .
Par ailleurs,
E(ln(X0)) = Z[0,1] ln(x)dλ1(x) = −1.
En conclusion,
Yn
p.s.
−−→ exp(−α).
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