Nombres complexes

MPSI-´ El´ements de cours Nombres complexes 24 mars 2017
Nombres complexes
R´edaction incompl`ete. Version 1.5 30/08/16
Plan
I. Pr´esentation axiomatique ............................ 2
II. Groupe des nombres complexes de module 1 ..................... 3
III. ´ Equation du second degr´e ............................ 4
1. Racines carr´ees ............................... 4
2. Factorisation canonique ............................ 5
3. Exemples - Autres factorisations ........................ 6
IV. Exponentielle complexe et repr´esentation trigonom´etrique ................ 6
1. Pr´esentation axiomatique ........................... 6
2. Notation puissance ............................. 9
3. Arguments d’un nombre complexe ........................ 10
4. Racines n-iemes d’un nombre complexe ...................... 11
V. Nombres complexes et g´eom´etrie plane ....................... 12
1. Dictionnaire ................................ 13
2. Exemple : somme des angles d’un triangle. ..................... 13
3. Interpr´etations g´eom´etriques de certaines fonctions................... 13
4. Forme complexe de la formule dite d’Al Kashi. ................... 14
5. Droites .................................. 14
1. ´ Equation de droite. ............................ 14
2. D´efinition param´etrique d’une droite. ..................... 15
3. Alignement de 3 points. .......................... 15
6. Cercles................................... 15
1. ´ Equation................................. 15
2. Inversion et cocyclicit´e de quatre points. .................... 15
Index
– ´equation de droite, 14
– ´equation du second degr´e, 5
– affixe, 12
– alignement de 3 points, 15
– analyse-synth`ese, 4
– arguments d’un complexe, 10
– calcul pratique d’une racine carr´ee, 5
– cocyclicit´e de quatre points, 15
– d´efinition du logarithme, 8
– d´efinition du nombre π,6
– d´efinition du nombre j,6
– discriminant, 5
– division euclidienne, 12
– ensemble des racines carr´ees, 4
– forme trigonom´etrique, 10
– formule d’Al Kashi, 14
– groupe des racines n-iemes de l’unit´e, 11
– inversion, 15
– mal´ediction du logarithme, 7
– module, 3
– nombre e,7
– question de cours : in´egalit´e triangulaire, 3
– question de cours : unicit´e de la d´ecomposition
en parties r´eelles et imaginaires, 2
– relations entre coefficients et racines, 6
– surjectivit´e de l’exponentielle complexe, 9
– z´eros de sin, 8
Ce chapitre fait partie du programme de d´ebut d’ann´ee. Il contient du vocabulaire qui ne sera introduit que
plus tard pour ´eviter des listes fastidieuses de d´efinition en d´ebut d’ann´ee. On peut se rapporter au glossaire de
d´ebut d’ann´ee pour obtenir des pr´esentations de ces termes mais ce n’est pas indispensable.
Pour manipuler facilement les nombres complexes, il faut absolument ´eviter de les consid´erer comme des
couples de nombres r´eels. Les parties r´eelles et imaginaires sont des propri´et´es importantes d’un complexe mais il
ne faut pas les consid´erer syst´ematiquement. Le concept d´elicat en ce qui concerne les nombres complexes est celui
d’argument. Il convient de retenir qu’un nombre complexe non nul admet une infinit´e d’arguments et ne jamais
parler de «l’argument »d’un nombre complexe mais d’un argument.
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
1R´emy Nicolai C2002

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I. Pr´esentation axiomatique
Une pr´esentation axiomatique permet d’introduire un objet math´ematique sans le d´efinir mais en pr´esentant
les propri´et´es qui le caract´erisent et qui permettent de l’utiliser. Cette m´ethode sera utilis´ee plusieurs fois dans
ce cours et en organisant les propri´et´es sous la forme «C’est bien »,«C’est plus gros que »,«C’est pas trop
gros »qui permet d’ins´erer le nouvel objet parmi ceux d´ej`a connus.
Pr´esentation axiomatique.
Cc’est bien : Cest un anneau1contenant un ´el´ement particulier not´e itel que
i2=−1
Cc’est plus gros que R:Rest un sous-anneau de Cet in’appartient pas `a R.
Cc’est pas trop gros : pour tout nombre complexe z, il existe des nombres r´eels aet btels que
z=a+ib
La question de la construction effective d’un mod`ele pour l’ensemble Cet ses op´erations ne sera pas abord´ee.
Ce qu’«est »un nombre complexe n’est pas important. Ce qui compte c’est ce qu’on peut faire avec. La question de
l’«unicit´e »revient en fait `a prouver qu’entre deux structures v´erifiant les propri´et´es de la pr´esentation axiomatique,
il existe un unique isomorphisme. Elle ne sera pas abord´ee non plus.
En revanche dans le troisi`eme axiome, le fait que, pour un nombre complexe zdonn´e, il existe un unique couple de
r´eels est une propri´et´e fondamentale dans la pratique. Ce cours commence par la d´emonstration de cette propri´et´e.
Elle illustre bien les propri´et´es de Rintervenant dans la pr´esentation axiomatique de C.
Proposition. Soient a,b,a0,b0des nombres r´eels tels que
a+ib =a0+ib0
alors a=a0et b=b0
Preuve. D’apr`es les r`egles de calcul usuelles (dans un anneau), l’hypoth`ese entraine a−a0=i(b0−b).
Si b0−b6= 0 alors (propri´et´es du corps R) c’est un ´el´ement inversible. Il existe donc c∈Rtel que :
(a−a0)c=i(b0−b)c=i
Ceci entraine que i∈Rce qui est impossible car d’apr`es les propri´et´es de R, aucun r´eel n’est de carr´e strictement
n´egatif. On en d´eduit que b0−b= 0 ce qui entraine a−a0= 0 et ce qu’on voulait d´emontrer.
Proposition. Pour tout nombre complexe z, il existe un unique couple (a, b)de r´eels tels que
z=a+ib
D´efinition. Les fonctions partie r´eelle (not´ee Re) et partie imaginaire (not´ee Im) sont d´efinies `a l’aide de la
proposition pr´ec´edente par :
∀z∈C:z= Re z+iIm z
Il est `a noter que malgr´e son nom, la fonction «partie imaginaire »est `a valeurs r´eelles.
Proposition. Pour tous les nombres complexes zet z0:
Re(z+z0) = Re(z) + Re(z0) Im(z+z0) = Im(z) + Im(z0)
Re(zz0) = Re(z) Re(z0)−Im(z) Im(z0) Im(zz0) = Re(z) Im(z0) + Im(z) Re(z0)
Les fonctions partie r´eelle et partie imaginaire permettent de d´efinir la fonction conjugaison.
D´efinition. Le conjugu´e d’un nombre complexe quelconque zest d´efini par :
z= Re z−iIm z
1voir l’entr´ee anneaux-corps du glossaire de d´ebut d’ann´ee. Un anneau est un ensemble muni de deux op´erations (disons une addition
et une multiplication) avec des propri´et´es raisonnables.
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
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Proposition. Pour tous les nombres complexes zet z0:
z+z0=z+z0zz0=zz0z=z
Re z=1
2(z+z) Im z=1 2i(z−z)zz = Re(z)2+ Im(z)2∈R+
D´efinition (module).Pour tout nombre complexe z, le r´eel
√zz =pRe(z)2+ Im(z)2
est not´e |z|et appel´e module de z.
Proposition.
∀z∈C:|z|=|z|=| − z|=|−z| |Im(z)| ≤ |z|,|Re(z)|≤|z|
∀(z, z0)∈C2:|zz0|=|z||z0| |z+z0|2=|z|2+|z0|2+ 2 Re(zz0)
∀z∈C∗:z−1=z
|z|2
Remarques. – On en d´eduit en particulier que tout complexe non nul est inversible. En fait Cest un corps2.
– La derni`ere relation doit ˆetre vue comme une identit´e remarquable `a retenir.
– A partir de cette de cette proposition, on peut obtenir d’autres propri´et´es `a titre d’exercice.
∀w∈C:|Re(w)|=|w| ⇔ Im(w) = 0 ⇔w∈R
De plus :
|Re(w)|≤|w| ⇒ (Re(w)− |w| ≤ 0
Re(w) + |w| ≥ 0
On en d´eduit
Re(w) + |w|>0⇔w /∈R−
Cette propri´et´e est utile dans la preuve de l’existence de racines carr´ees.
Proposition (in´egalit´e triangulaire).
∀(z, z0)∈C2:|z+z0|≤|z|+|z0|
Preuve.
|z+z0|2=|z|2+|z0|2+ 2 Re(zz0)≤ |z|2+|z0|2+ 2|zz0|≤|z|2+|z0|2+ 2|z||z0| ≤ (|z|+|z0|)2
et on conclut avec les propri´et´es de la racine carr´ee dans R.
II. Groupe des nombres complexes de module 1
On note Ul’ensemble des nombres complexes de module 1.
Proposition. (U,×)est un sous-groupe de (C∗,×). C’est `a dire :
1∈U∀(u, u0)∈U2:uu0∈U
Proposition. Pour tout nombre complexe non nul z, il existe un unique couple (ρ, u)∈]0,+∞[×Utel que
z=ρu
2un corps est un anneau poss´edant cette propri´et´e particuli`ere.
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Preuve. Analyse : Soit (ρ, u)∈]0,+∞[×Utel que
z=ρu
En prenant le module, il vient |z|=|ρ||u|=ρcar ρ > 0 et u= 1. On en d´eduit
ρ=|z|u=1
|z|z
ce qui assure l’unicit´e du couple.
Synth`ese : D´efinissons ρ∈]0,+∞[ et u∈Upar :
ρ=|z|u=1
|z|z
alors ´evidemment :
ρu =|z|1
|z|z=z
ce qui assure que le couple donn´e v´erifie bien les conditions impos´ees.
Remarque. Soit uun nombre complexe non nul, alors |u|= 1 si et seulement si u−1=u.
III. ´ Equation du second degr´e
1. Racines carr´ees
On utilise ici la notion de racine carr´ee d’un nombre r´eel positif. Pout tout r´eel positif x, il existe un unique
nombre r´eel positif dont le carr´e est ´egal `a x. Ce nombre est appel´e la racine carr´ee de x. La justification de ce
r´esultat est analytique. La fonction t→t2est une bijection strictement croissante de [0,+∞[ dans lui mˆeme. Cela
ne se g´en´eralise pas dans le cas complexe.
Proposition. Pour tout nombre complexe wnon nul, il existe exactement deux nombres complexes dont le carr´e
est ´egal `a w. De plus ces deux nombres sont oppos´es. On dit que ces deux nombres forment l’ensemble des racines
carr´ees de w.
Remarque. Dans le cas o`u w= 0, il existe ´evidemment un seul nombre dont le carr´e est nul ( `a savoir 0).
Preuve. Premi`ere partie. Soit z0tel que z2
0=w, on peut alors factoriser :
z2−w=z2−z2
0= (z−z0)(z+z0)
On en d´eduit que si z0est une racine carr´ee de walors l’ensemble des racines carr´ees de west {z0,−z0}.
Deuxi`eme partie On forme ici une solution particuli`ere.
– Si west un r´eel strictement n´egatif alors i√−west une racine carr´ee de w.
– Si wn’est pas un r´eel strictement n´egatif alors il a ´et´e montr´e dans une remarque que Re(w) + |w|>0.
Dans ce cas on peut consid´erer arbitrairement
x=r1
2(Re(w) + |w|)y=Im w 2x=Im w
p2(Re(w) + |w|)
Formons alors z0=x+iy et calculons z2
0:
z2
0= (x2−y2)+2xyi
Par construction : 2xy = Im w. En rempla¸cant xet ypar leur valeur de d´efinition, il vient :
x2−y2=Re(w) + |w|
2−Im2(w) 2(Re(w) + |w|)=(Re(w) + |w|)2−Im2(w) 2(Re(w) + |w|)=2 Re2(w) + 2 Re(w)|w| 2(Re(w) + |w|)= Re(w)
On en d´eduit z2=wce qui ach`eve la d´emonstration.
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Ces formules ne sont pas `a retenir. Elles permettent de former une d´emonstration logiquement claire `a d´efaut
d’ˆetre naturelle. En revanche, il convient de retenir la m´ethode pratique de calcul dont elles proviennent.
On pose x= Re(w), y= Im zet on ajoute une troisi`eme ´equation aux deux ´equations obtenues en identifiant les
parties r´eelles et imaginaires de z2=w. Cette troisi`eme ´equation est
|z|2=|w|
Cela donne : 
x2−y2= Re(w)
2xy = Im w
x2+y2=|w|
On en tire (en ajoutant d’abord les ´equations 1 et 3)
x2=1
2(Re(w) + |w|)y=Im w 2x(1)
Dans le cas o`u wn’est pas un r´eel n´egatif Re(w) + |w|>0, et on est amen´e naturellement aux valeurs propos´ees
dans la deuxi`eme partie. Il est inutile (`a cause de la premi`ere partie) de chercher `a obtenir toutes les solutions par
ces ´equations en discutant avec des + et des −. C’est cette m´ethode qu’il faut utiliser dans la pratique (encore
une fois sans chercher `a m´emoriser les formules).
Exemple. Recherche pratique des racines carr´ees x+iy de 3 −4i.` A partir des ´equations
(x2−y2= 3
x2+y2=|w|= 5
obtenues avec la partie r´eelle et le module, on pose
x=r3+5
2= 2 puis, avec la partie imaginaire, y=−4 2x=−1
On en d´eduit que l’ensemble des racines carr´ees de 3 −4iest :
{2−i, −2 + i}
2. Factorisation canonique
Il s’agit simplement d’une transformation particuli`ere d’une certaine expression du second degr´e. ` A cause
de l’existence des racines carr´ees d’un nombre complexe, cette transformation permet de factoriser l’expression
initiale.
Soit a,b,c,zdes nombres complexes (avec a6= 0). Alors :
az2+bz +c=az2+b
az+c a=a"z+b 2a2
−b2
4a2+c a#=a"z+b 2a2
−b2−4ac
4a2#
Le complexe b2−4ac est appel´e le discriminant de l’expression du second degr´e. Il est souvent not´e ∆. On note
souvent δune racine carr´ee du discriminant. On peut alors factoriser en utilisant la diff´erence de deux carr´ees.
az2+bz +c=az−b+δ
2az−b−δ 2a
Proposition (´equation du second degr´e).Soit a,b,c,zdes nombres complexes (avec a6= 0). L’ensemble des
solutions complexes de l’´equation az2+bz +c= 0 d’inconnue zest
−b+δ
2a,−b−δ 2asi ∆6= 0
−b
2asi ∆=0
o`u δest une racine carr´ee du discriminant.
Remarques. 1. Vocabulaire des ´equations : inconnue, ensemble des solutions.
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