Nombres complexes

MPSI-Éléments de cours
Nombres complexes
24 mars 2017
Nombres complexes
Rédaction incomplète. Version 1.5 30/08/16
Plan
I. Présentation axiomatique . . . . . . . . . . . .
II. Groupe des nombres complexes de module 1 . . . . .
III. Équation du second degré . . . . . . . . . . . .
1. Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . .
2. Factorisation canonique . . . . . . . . . . . .
3. Exemples - Autres factorisations . . . . . . . .
IV. Exponentielle complexe et représentation trigonométrique
1. Présentation axiomatique . . . . . . . . . . .
2. Notation puissance . . . . . . . . . . . . .
3. Arguments d’un nombre complexe . . . . . . . .
4. Racines n-iemes d’un nombre complexe . . . . . .
V. Nombres complexes et géométrie plane . . . . . . .
1. Dictionnaire . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Exemple : somme des angles d’un triangle. . . . . .
3. Interprétations géométriques de certaines fonctions.. .
4. Forme complexe de la formule dite d’Al Kashi. . . .
5. Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Équation de droite. . . . . . . . . . . . .
2. Définition paramétrique d’une droite. . . . . .
3. Alignement de 3 points. . . . . . . . . . .
6. Cercles.. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Équation.. . . . . . . . . . . . . . . .
2. Inversion et cocyclicité de quatre points. . . . .
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Index
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forme trigonométrique, 10
formule d’Al Kashi, 14
groupe des racines n-iemes de l’unité, 11
inversion, 15
malédiction du logarithme, 7
module, 3
nombre e, 7
question de cours : inégalité triangulaire, 3
question de cours : unicité de la décomposition
en parties réelles et imaginaires, 2
– relations entre coefficients et racines, 6
– surjectivité de l’exponentielle complexe, 9
– zéros de sin, 8
équation de droite, 14
équation du second degré, 5
affixe, 12
alignement de 3 points, 15
analyse-synthèse, 4
arguments d’un complexe, 10
calcul pratique d’une racine carrée, 5
cocyclicité de quatre points, 15
définition du logarithme, 8
définition du nombre π, 6
définition du nombre j, 6
discriminant, 5
division euclidienne, 12
ensemble des racines carrées, 4
Ce chapitre fait partie du programme de début d’année. Il contient du vocabulaire qui ne sera introduit que
plus tard pour éviter des listes fastidieuses de définition en début d’année. On peut se rapporter au glossaire de
début d’année pour obtenir des présentations de ces termes mais ce n’est pas indispensable.
Pour manipuler facilement les nombres complexes, il faut absolument éviter de les considérer comme des
couples de nombres réels. Les parties réelles et imaginaires sont des propriétés importantes d’un complexe mais il
ne faut pas les considérer systématiquement. Le concept délicat en ce qui concerne les nombres complexes est celui
d’argument. Il convient de retenir qu’un nombre complexe non nul admet une infinité d’arguments et ne jamais
parler de « l’argument » d’un nombre complexe mais d’un argument.
1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
Rémy Nicolai C2002
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I.
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Présentation axiomatique
Une présentation axiomatique permet d’introduire un objet mathématique sans le définir mais en présentant
les propriétés qui le caractérisent et qui permettent de l’utiliser. Cette méthode sera utilisée plusieurs fois dans
ce cours et en organisant les propriétés sous la forme « C’est bien » , « C’est plus gros que » , « C’est pas trop
gros »qui permet d’insérer le nouvel objet parmi ceux déjà connus.
Présentation axiomatique.
C c’est bien : C est un anneau1 contenant un élément particulier noté i tel que
i2 = −1
C c’est plus gros que R : R est un sous-anneau de C et i n’appartient pas à R.
C c’est pas trop gros : pour tout nombre complexe z, il existe des nombres réels a et b tels que
z = a + ib
La question de la construction effective d’un modèle pour l’ensemble C et ses opérations ne sera pas abordée.
Ce qu’« est »un nombre complexe n’est pas important. Ce qui compte c’est ce qu’on peut faire avec. La question de
l’« unicité »revient en fait à prouver qu’entre deux structures vérifiant les propriétés de la présentation axiomatique,
il existe un unique isomorphisme. Elle ne sera pas abordée non plus.
En revanche dans le troisième axiome, le fait que, pour un nombre complexe z donné, il existe un unique couple de
réels est une propriété fondamentale dans la pratique. Ce cours commence par la démonstration de cette propriété.
Elle illustre bien les propriétés de R intervenant dans la présentation axiomatique de C.
Proposition. Soient a, b, a0 , b0 des nombres réels tels que
a + ib = a0 + ib0
alors a = a0 et b = b0
Preuve. D’après les règles de calcul usuelles (dans un anneau), l’hypothèse entraine a − a0 = i(b0 − b).
Si b0 − b 6= 0 alors (propriétés du corps R) c’est un élément inversible. Il existe donc c ∈ R tel que :
(a − a0 )c = i(b0 − b)c = i
Ceci entraine que i ∈ R ce qui est impossible car d’après les propriétés de R, aucun réel n’est de carré strictement
négatif. On en déduit que b0 − b = 0 ce qui entraine a − a0 = 0 et ce qu’on voulait démontrer.
Proposition. Pour tout nombre complexe z, il existe un unique couple (a, b) de réels tels que
z = a + ib
Définition. Les fonctions partie réelle (notée Re) et partie imaginaire (notée Im) sont définies à l’aide de la
proposition précédente par :
∀z ∈ C : z = Re z + i Im z
Il est à noter que malgré son nom, la fonction « partie imaginaire » est à valeurs réelles.
Proposition. Pour tous les nombres complexes z et z 0 :
Re(z + z 0 ) = Re(z) + Re(z 0 )
Im(z + z 0 ) = Im(z) + Im(z 0 )
Re(zz 0 ) = Re(z) Re(z 0 ) − Im(z) Im(z 0 )
Im(zz 0 ) = Re(z) Im(z 0 ) + Im(z) Re(z 0 )
Les fonctions partie réelle et partie imaginaire permettent de définir la fonction conjugaison.
Définition. Le conjugué d’un nombre complexe quelconque z est défini par :
z = Re z − i Im z
1 voir l’entrée anneaux-corps du glossaire de début d’année. Un anneau est un ensemble muni de deux opérations (disons une addition
et une multiplication) avec des propriétés raisonnables.
2
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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Proposition. Pour tous les nombres complexes z et z 0 :
z + z0 = z + z0
1
Re z = (z + z)
2
zz 0 = zz 0
1
Im z = (z − z)
2i
z=z
zz = Re(z)2 + Im(z)2 ∈ R+
Définition (module). Pour tout nombre complexe z, le réel
p
√
zz = Re(z)2 + Im(z)2
est noté |z| et appelé module de z.
Proposition.
∀z ∈ C :
0
|z| = |z| = | − z| = |−z|
0
2
∀(z, z ) ∈ C :
∀z ∈ C∗ :z −1 =
0
|zz | = |z||z |
| Im(z)| ≤ |z|, | Re(z)| ≤ |z|
0 2
|z + z | = |z|2 + |z 0 |2 + 2 Re(zz 0 )
z
|z|2
Remarques.
– On en déduit en particulier que tout complexe non nul est inversible. En fait C est un corps2 .
– La dernière relation doit être vue comme une identité remarquable à retenir.
– A partir de cette de cette proposition, on peut obtenir d’autres propriétés à titre d’exercice.
∀w ∈ C : | Re(w)| = |w| ⇔ Im(w) = 0 ⇔ w ∈ R
De plus :
(
| Re(w)| ≤ |w| ⇒
Re(w) − |w| ≤ 0
Re(w) + |w| ≥ 0
On en déduit
Re(w) + |w| > 0 ⇔ w ∈
/ R−
Cette propriété est utile dans la preuve de l’existence de racines carrées.
Proposition (inégalité triangulaire).
∀(z, z 0 ) ∈ C2 : |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 |
Preuve.
|z + z 0 |2 = |z|2 + |z 0 |2 + 2 Re(zz 0 ) ≤ |z|2 + |z 0 |2 + 2|zz 0 | ≤ |z|2 + |z 0 |2 + 2|z||z 0 | ≤ (|z| + |z 0 |)2
et on conclut avec les propriétés de la racine carrée dans R.
II.
Groupe des nombres complexes de module 1
On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1.
Proposition. (U, ×) est un sous-groupe de (C∗ , ×). C’est à dire :
∀(u, u0 ) ∈ U2 : uu0 ∈ U
1∈U
Proposition. Pour tout nombre complexe non nul z, il existe un unique couple (ρ, u) ∈]0, +∞[×U tel que
z = ρu
2 un
corps est un anneau possédant cette propriété particulière.
3
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Preuve.
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Analyse : Soit (ρ, u) ∈]0, +∞[×U tel que
z = ρu
En prenant le module, il vient |z| = |ρ||u| = ρ car ρ > 0 et u = 1. On en déduit
ρ = |z|
u=
1
z
|z|
u=
1
z
|z|
ce qui assure l’unicité du couple.
Synthèse : Définissons ρ ∈]0, +∞[ et u ∈ U par :
ρ = |z|
alors évidemment :
ρu = |z|
1
z=z
|z|
ce qui assure que le couple donné vérifie bien les conditions imposées.
Remarque. Soit u un nombre complexe non nul, alors |u| = 1 si et seulement si u−1 = u.
III.
1.
Équation du second degré
Racines carrées
On utilise ici la notion de racine carrée d’un nombre réel positif. Pout tout réel positif x, il existe un unique
nombre réel positif dont le carré est égal à x. Ce nombre est appelé la racine carrée de x. La justification de ce
résultat est analytique. La fonction t → t2 est une bijection strictement croissante de [0, +∞[ dans lui même. Cela
ne se généralise pas dans le cas complexe.
Proposition. Pour tout nombre complexe w non nul, il existe exactement deux nombres complexes dont le carré
est égal à w. De plus ces deux nombres sont opposés. On dit que ces deux nombres forment l’ensemble des racines
carrées de w.
Remarque. Dans le cas où w = 0, il existe évidemment un seul nombre dont le carré est nul ( à savoir 0).
Preuve.
Première partie. Soit z0 tel que z02 = w, on peut alors factoriser :
z 2 − w = z 2 − z02 = (z − z0 )(z + z0 )
On en déduit que si z0 est une racine carrée de w alors l’ensemble des racines carrées de w est {z0 , −z0 }.
Deuxième partie On forme ici une solution particulière.
√
– Si w est un réel strictement négatif alors i −w est une racine carrée de w.
– Si w n’est pas un réel strictement négatif alors il a été montré dans une remarque que Re(w) + |w| > 0.
Dans ce cas on peut considérer arbitrairement
r
1
Im w
Im w
x=
(Re(w) + |w|)
y=
=p
2
2x
2(Re(w) + |w|)
Formons alors z0 = x + iy et calculons z02 :
z02 = (x2 − y 2 ) + 2xyi
Par construction : 2xy = Im w. En remplaçant x et y par leur valeur de définition, il vient :
x2 − y 2 =
Re(w) + |w|
Im2 (w)
(Re(w) + |w|)2 − Im2 (w)
2 Re2 (w) + 2 Re(w)|w|
−
=
=
= Re(w)
2
2(Re(w) + |w|)
2(Re(w) + |w|)
2(Re(w) + |w|)
On en déduit z 2 = w ce qui achève la démonstration.
4
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Ces formules ne sont pas à retenir. Elles permettent de former une démonstration logiquement claire à défaut
d’être naturelle. En revanche, il convient de retenir la méthode pratique de calcul dont elles proviennent.
On pose x = Re(w), y = Im z et on ajoute une troisième équation aux deux équations obtenues en identifiant les
parties réelles et imaginaires de z 2 = w. Cette troisième équation est
|z|2 = |w|
Cela donne :
 2
2

 x − y = Re(w)
2xy = Im w

 2
x + y 2 = |w|
On en tire (en ajoutant d’abord les équations 1 et 3)
x2 =
1
(Re(w) + |w|)
2
y=
Im w
2x
(1)
Dans le cas où w n’est pas un réel négatif Re(w) + |w| > 0, et on est amené naturellement aux valeurs proposées
dans la deuxième partie. Il est inutile (à cause de la première partie) de chercher à obtenir toutes les solutions par
ces équations en discutant avec des + et des −. C’est cette méthode qu’il faut utiliser dans la pratique (encore
une fois sans chercher à mémoriser les formules).
Exemple. Recherche pratique des racines carrées x + iy de 3 − 4i. À partir des équations
( 2
x − y2 = 3
x2 + y 2 = |w| = 5
obtenues avec la partie réelle et le module, on pose
r
3+5
−4
= 2 puis, avec la partie imaginaire, y =
= −1
x=
2
2x
On en déduit que l’ensemble des racines carrées de 3 − 4i est :
{2 − i, −2 + i}
2.
Factorisation canonique
Il s’agit simplement d’une transformation particulière d’une certaine expression du second degré. À cause
de l’existence des racines carrées d’un nombre complexe, cette transformation permet de factoriser l’expression
initiale.
Soit a, b, c, z des nombres complexes (avec a 6= 0). Alors :
"
#
"
#
2
2
b
c
b
b2
c
b
b2 − 4ac
2
2
az + bz + c = a z + z +
=a z+
− 2+
=a z+
−
a
a
2a
4a
a
2a
4a2
Le complexe b2 − 4ac est appelé le discriminant de l’expression du second degré. Il est souvent noté ∆. On note
souvent δ une racine carrée du discriminant. On peut alors factoriser en utilisant la différence de deux carrées.
b+δ
b−δ
az 2 + bz + c = a z −
z−
2a
2a
Proposition (équation du second degré). Soit a, b, c, z des nombres complexes (avec a 6= 0). L’ensemble des
solutions complexes de l’équation az 2 + bz + c = 0 d’inconnue z est
−b + δ −b − δ
,
si ∆ 6= 0
2a
2a
−b
si ∆ = 0
2a
où δ est une racine carrée du discriminant.
Remarques.
1. Vocabulaire des équations : inconnue, ensemble des solutions.
5
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2. Ne donnez pas systématiquement des noms à vos solutions (z1 = ..., z2 = ...). Préférez donner l’ensemble des
solutions en plaçant entre des accolades les expressions des solutions séparées par des virgules. La maı̂trise
de la syntaxe des ensembles est capitale pour la classe.
3. L’ensemble des solutions est indépendant de la racine carrée du discriminant choisie.
4. Si les coefficients sont réels le discriminant aussi. Lorsqu’il est négatif ses racines sont conjuguées, celles de
l’équation aussi.
5. Relation entre coefficients et racines.
(z − z1 )(z − z2 ) = z 2 − sz + p avec s = z1 + z2 et p = z1 z2
3.
Exemples - Autres factorisations
Définition (nombre j). Le nombre j est la solution de partie imaginaire positive de l’équation z 2 + z + 1 = 0
d’inconnue z.
Remarque. On vérifie que j 3 = 1 d’après l’équation qu’il vérifie. En effet
(z − 1)(z 2 + z + 1) = z 3 + z 2 + z − z 2 − z − 1 = z 3 − 1 ⇒ j 3 − 1 = (j − 1)(j 2 + j + 1) = 0
{z
}
|
=0
En calculant une racine carrée du discriminant par la méthode indiquée plus haut, on obtient
√
1
3
j =− +i
2
2
Exemple. Résoudre l’équation z 2 + z + i = 0 d’inconnue z.
Le discriminant est ∆ = 1 − 4i. On cherche une de ses racines carrées sous la forme x + iy avec x et y réels. Ils
vérifient
√ )
 2
2
√
x
+
y
=
17
1


⇒ x2 = (1 + 17)
2
2
2
x −y =1


2xy = −4
On en déduit une racine δ = x + iy avec :
s
x=
1+
L’ensemble des solutions est
√
17
2
√
2
2 2
p
et y = − = −
√
x
1 + 17
−1 + δ −1 − δ
,
2
2
Exemple (une factorisation non canonique).
z 4 + 1 = (z 2 + 1)2 − 2z 2 = (z 2 −
√
2z + 1)(z 2 +
√
2z + 1)
Remarques.
1. L’équation z 4 + 1 = 0 d’inconnue z est sans solution dans R car z 4 + 1 ≥ 1 pour tous les z réels.
Il existe tout de même une factorisation de l’expression de degré 4 en produit de deux expressions du second
degré.
2. Les solutions complexes se calculent facilement avec les discriminants des expressions du second degré. On
obtient :
1+i 1−i 1+i 1−i
√ , √ ,− √ ,− √ ,
2
2
2
2
IV.
1.
Exponentielle complexe et représentation trigonométrique
Présentation axiomatique
Cette section commence par une présentation axiomatique de la fonction exponentielle complexe (sous la forme
d’un théorème admis) dont l’objectif est d’introduire de manière unifiée des objets et méthodes mathématiques
usuels. On introduit en particulier le nombre π, les fonctions usuelles réelles exponentielle, cosinus et sinus ainsi
que la décomposition trigonométrique d’un nombre complexe non nul. La démonstration de ce théorème se fera
sous forme d’exercices3 au long de l’année et servira à illustrer d’autres parties du programme.
3 Une
définition est donnée dans la Feuille Suites et fonctions à valeurs complexes
6
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Théorème. Il existe une application notée exp définie dans C et à valeurs dans C∗ vérifiant les propriétés suivantes :
P1. exp(0) = 1,
∀(z, z 0 ) ∈ C2 : exp(z + z 0 ) = exp(z) exp(z 0 ).
P2. ∀z ∈ C : exp(z) = exp(z).
P3. (définition de π) Il existe un unique nombre réel strictement positif noté π tel que, pour tout nombre
complexe z :
exp(z) = 1 ⇔ ∃k ∈ Z tel que z = 2ikπ
P4.(définition des fonctions exponentielles, cosinus et sinus réelles) Les fonctions exp|R , cos, sin sont définies
par :
∀t ∈ R :
exp|R (t) = exp(t),
cos(t) = Re(exp(it)),
sin(t) = Im(exp(it))
Elles sont à valeurs réelles, continues, dérivables et leurs dérivées vérifient :
exp0|R = exp|R ,
sin0 = cos
cos0 = − sin,
Proposition 1 (Conséquences de P1.). Pour tout nombre complexe z :
1 = exp(0) = exp(z − z) = exp(z) exp(−z),
exp(z) 6= 0,
exp(−z) =
1
,
exp(z)
∀n ∈ N∗ : exp(nz) = exp(z)n
Proposition 2 (Conséquence de P2.). Pour tout nombre réel t :
exp(t) = exp(t) = exp(t),
exp(it) = exp(it) = exp(−it) =
1
exp(it)
On en déduit que exp(t) est réel et que exp(it) est de module 1. Ce qui prouve que la fonction exponentielle
réelle est bien à valeurs réelles et que les fonctions cos et sin vérifient la relation
cos2 + sin2 = 1
On en déduit aussi que la fonction cos est paire et que la fonction sin est impaire. Pour tout t réel :
sin(−t) = − sin(t)
cos(−t) = cos(t)
Définition (Nombre e). Le nombre réel e est défini par e = exp(1).
La fonction exponentielle complexe n’est pas injective, c’est à dire que deux nombres complexes distincts peuvent
avoir la même image. La propriété P3 précise justement l’ensemble de tous les nombres complexes qui ont la même
image que 0. On en déduit facilement en utilisant P1 et P3 que,
Proposition 3. Pour tous complexes u et v :
exp(u) = exp(v) ⇔ u − v ∈ 2iπZ
La notation wZ désignant (w étant un complexe fixé) l’ensemble des complexes de la forme kw avec k ∈ Z.
Preuve.
exp(u) = exp(v) ⇔ exp(u) exp(−v) = exp(v) exp(−v) ⇔ exp(u − v) = 1
⇔ ∃k ∈ Z tel que u − v = 2ikπ ⇔ u − v ∈ 2iπZ
Cette propriété de la fonction exponentielle sera souvent génante en interdisant par exemple de pouvoir définir
de manière satisfaisante dans C des fonctions qui semblent usuelles comme le logarithme ou la fonction racine carrée
ou bien encore l’argument. Dans la suite du cours, on y fera référence sous le nom de malédiction du logarithme.
Une autre conséquence de P3 est :
Proposition 4.
exp(iπ) = −1 ⇒ cos π = −1 et sin π = 0
2
Preuve. En effet, (exp(iπ)) ) = exp(2iπ) = 1. Donc exp(iπ) est une solution de l’équation z 2 = 1 d’inconnue z.
Les solutions de cette équation sont −1 et 1. D’après P3, exp(iπ) 6= 1 donc exp(iπ) = −1.
7
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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Rémy Nicolai C2002
MPSI-Éléments de cours
Nombres complexes
24 mars 2017
Proposition 5.
sin x = 0 ⇔ x ∈ πZ
Preuve.
sin x = 0 ⇔ exp(ix) ∈ R ⇔ exp(ix) = exp(ix) = exp(−ix) ⇔ exp(2ix) = 1 ⇔ 2ix ∈ 2iπZ ⇔ x ∈ πZ
Proposition 6. La fonction exponentielle réelle est une bijection strictement croissante de R dans R∗+ .
Preuve. On a montré (conséquence de P1) que la fonction exponentielle complexe ne s’annule pas. La fonction
exponentielle réelle (qui est sa restriction à R) se s’annule donc pas non plus. D’après P4, elle est continue et
en 0 elle est strictement positive (valeur 1). Le théorème des valeurs intermédiaires4 prouve qu’elle est à valeurs
strictement positives. Comme d’après P4, la fonction exponentielle réelle est sa propre dérivée, on peut conclure
qu’elle est strictement croissante par le théorème du tableau des variations.
On en déduit que 1 = exp|R (0) < e = exp|R (1). Pour tout n ∈ N, exp|R (n) = en avec e > 1. La suite géométrique
associée diverge vers +∞ donc la fonction croissante exp|R aussi. De la relation
exp|R (−x) =
1
exp|R (−x)
on obtient que la limite en −∞ est 0.
Définition (définition du logarithme). La fonction logarithme notée ln est la bijection réciproque de l’exponentielle
réelle.
Elle est définie dans ]0, +∞[ et à valeurs relles. Ses propriétés seront étudiées à la section Fonctions usuelles,
trigonométrie. Notons seulement une conséquence immediate de l’axiome P1
Proposition 7.
∀(a, b) ∈]0, +∞[2 ,
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
Preuve. En effet
exp(ln(ab)) = ab = exp(ln(a)) exp(ln(b)) = exp(ln(a) + ln(b))
et on conclut par bijectivité de l’exponentielle réelle.
Proposition 8. La restriction de la fonction cos à l’intervalle [0, π] est strictement décroissante, la fonction sin
est strictement positive dans ]0, π[, .
Preuve. On a vu en Proposition 5 que les zéros de sin sont les multiples entiers de π donc sin ne s’annule pas dans
l’ouvert ]0, π[. D’après P4, la dérivée de cos est − sin qui est de signe constant dans ]0, π[. D’après le théorème
du tableau de variations, la fonction cos est strictement monotone dans [0, π]. Or cos(0) = 1 et cos(π) = −1, la
fonction cos est donc décroissante ce qui entraı̂ne que sin est négative et permet de conclure.
Proposition 9.

π
 cos = 0
π
2
exp(i ) = i ⇒
 sin π = 1
2
2
π 2
π
Preuve. Comme (exp(i )) = (i)2 = −1, le complexe exp(i ) est une solution de l’équation
2
2
z 2 = −1
π
π
d’inconnue z. Les deux solutions de cette équation sont i et −i. De plus exp(i ) 6= −i car sin( ) > 0 d’après la
2
2
proposition précédente.
4 pour
le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème du tableau de variations, voir glossaire de début d’année
8
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24 mars 2017
Proposition 10 (Premières formules trigonométriques).
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,
sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b
2
cos(2a) = cos a − sin b = 1 − 2 sin a = 2 cos2 a − 1,
cos(π + t) = − cos(t)
π
cos( + t) = − sin(t)
2
π
cos( − t) = sin(t)
2
sin(2a) = 2 sin a cos a
sin(π + t) = − sin(t)
π
sin( + t) = cos(t)
2
π
sin( − t) = cos(t)
2
Preuve. La première ligne s’obtient en prenant la partie réelle et la partie imaginaire de
exp(i(a + b)) = exp(ia) exp(ib)
La deuxième ligne s’obtient en prenant b = a dans la première ligne et en utilisant la somme des carrés. La
troisième ligne vient de
exp(i(t + π)) = exp(it) exp(iπ) = −exp(it)
La quatrième ligne vient de
exp(i(t +
π
π
)) = exp(it) exp(i ) = (cos(t) + i sin(t))i = − sin(t) + i cos(t)
2
2
Pour la dernière, on remplace t par −t dans la précédente.
Proposition 11 (surjectivité de l’exponentielle complexe). Pour tout nombre complexe de module 1, il existe des
nombres réels y tels que exp(iy) = u. Pour tout nombre complexe non nul z, il existe des nombres complexes u
tels que exp(u) = z.
Preuve. Soit z ∈ U, on note c = Re(z) et s = Im(z). Ils sont tous les deux dans [0, 1] car c2 + s2 = 1. D’après la
Proposition 8, la fonction cos définit une bijection de [0, π] dans [−1, 1], il existe donc un réel θ ∈ [0, π] tel que
cos(θ) = c. Alors :
1 = cos2 θ + sin2 θ = c2 + s2 ⇒ sin θ = ±s
Si sin θ = s alors exp(iθ) = z.
Si sin θ = −s alors exp(i(−θ)) = z car cos(−θ)) = cos(θ) = c et sin(−θ) = − sin θ) = s.
1
Lorsque z est un nombre complexe non nul, on peut écrire z = |z|u avec u = |z|
z ∈ U. On vient de prouver qu’il
existe un réel y tel que u = exp(iy).
D’après son tableau de variations, l’exponentielle réelle définit une bijection de R dans ]0, +∞[. Il existe donc un
réel x tel que exp|R (x) = |z|. En fait x = ln(|z|) avec la fonction logarithme définie plus haut. Comme l’exponentielle
réelle n’est que la restriction de l’exponentielle complexe, on peut écrire
exp(x + iy) = exp(x) exp(iy) = |z| u = z
ce qui prouve le résultat annoncé.
Remarque. D’après la propriété P3, si exp(u0 ) = z, alors l’ensemble des u tels que exp(u) = z est
u0 + 2iπZ = {u0 + 2ikπ, k ∈ Z}
2.
Notation puissance
On se propose maintenant d’abandonner la notation exp(z) et de la remplacer par la notation ”puissance” ez .
Remarquons d’abord que, pour tout nombre complexe non nul z et tout entier relatif n on peut définir z n par :


z × z × · · · × z si n > 0

{z
}
|




n fois
z −1 × z −1 × · · · × z −1 si n < 0
zn =
|
{z
}



−n fois


 1 si n = 0
9
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Nombres complexes
24 mars 2017
Les formules suivantes se vérifient pour tous les complexes non nuls u et v et tous les entiers relatifs m et n :
(uv)n = un v n ,
un um = un+m
On se propose d’étendre cette définition et ces formules pour d’autres valeurs de u et n. Cette définition utilise
la fonction logarithme réelle (notée ln) définie plus haut (pour les réels strictement positifs) comme bijection
réciproque de la fonction exponentielle réelle.
On pose :
∀u ∈ R∗+ , ∀z ∈ C :
uz = exp(z ln u)
Les formules annoncées se vérifient facilement avec les propriétés de ln (en particulier ln uv = ln u + ln v). De plus,
on rappelle que le nombre réel e a été défini par
e = exp(1) ⇒ ln e = 1
Pour la définition précédente et pour tout nombre complexe z :
ez = exp(z ln e) = exp z
m
On peut remarque que la formule (un ) = unm ne s’étend pas à u > 0 et n complexe car un ne serait pas forcément
réel positif.
Dans la suite on utilisera plus souvent la notation puissance que la notation exp. On obtient en particulier les
formules usuelles valables pour tous les t réels :
eit = cos t + i sin t,
1
cos t = (eit + e−it ),
2
3.
∀n ∈ Z : (cos t + i sin t)n = eint = cos nt + i sin nt
1
sin t = (eit − e−it )
2i
Arguments d’un nombre complexe
D’après la Proposition 11 (surjectivité de l’exponentielle), pour tout nombre complexe non nul z, il existe des
nombres complexes u tel que z = eu . On peut alors écrire
u i Im u
z = e|Re
{z } e| {z }
>0
∈U
On en déduit |z| = eRe u ce qui prouve l’existence de nombres réels α = Im u comme dans la définition suivante.
Définition. Un argument d’un nombre complexe non nul z est un réel α tel que :
z = |z|eiα
Remarques.
L’écriture précédente est appelée la forme trigonométrique de u.
D’après la propriété P3. de la fonction exponentielle, il existe une infinité d’arguments pour u. Plus précisément,
si α est un argument de u, l’ensemble des arguments de u est :
α + 2πZ = {α + 2kπ, k ∈ Z}
Si on considère tous les u tels que eu = z, ils ont tous la même partie réelle qui est :
ln |z|
en revanche leurs parties imaginaires sont tous les arguments possibles de z.
Si on se fixe un intervalle semi-ouvert de longueur 2π (notons le I), chaque complexe u admet un unique argument
dans I. C’est le cas en particulier pour I =] − π, +π]. On définit ainsi une fonction qui à chaque u associe un
argument particulier appelé argument principal et noté arg(u).
Attention ! ! La somme de deux éléments dans I n’est pas forcément un élément de I. Imaginez par exemple deux
éléments de ] − π, +π] et proches de π, leur somme sera forcément strictement supérieure à π. Donc en général
arg(uu0 ) 6= arg(u) arg(u0 )
10
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Nombres complexes
24 mars 2017
IL EST FORMELLEMENT DÉCONSEILLÉ d’utiliser la fonction arg (argument principal). Préférez la formulation suivante :
Soit α un argument de u ...
Dans ces conditions, on peut parfaitement écrire :
Soit α un argument de u et β un argument de v, alors α + β est un argument de uv
En effet :
uv = |u|eiα |v|eiβ = |u||v|ei(α+β)
Si λ et α sont deux nombres réels et
u = λeiα
alors
– si λ > 0 : α est un argument de u
– si λ < 0 : α + π est un argument de u car u = (−λ)ei(α+π)
Exemple. Le calcul suivant est à maitriser absolument :
eiα + eiβ = ei
α+β
2
ei
α−β
2
+ ei
α+β
2
ei
−α+β
2
= ei
α+β
2
ei
α−β
2
+ ei
−α+β
2
= ei
α+β
2
2 cos
α−β
2
Il se retrouve sous différentes formes comme
eiα − eiβ = 2i sin
4.
α − β i α+β
e 2
2
Racines n-iemes d’un nombre complexe
Définition. Soit n un entier naturel non nul, on note Un l’ensemble des nombres complexes u tels que un = 1.
Les éléments de Un sont appelés les racines n-iemes de l’unité. La proposition suivante se démontre facilement
à partir des propriétés de C.
Proposition. Soit n un entier naturel non nul :
– Un ⊂ U
– 1 ∈ Un
– ∀(u, v) ∈ U2n : uv ∈ Un
– ∀u ∈ Un : u−1 = u ∈ Un
Exemples.
U1 = {1}
U3 = 1, j, j 2
U2 = {1, −1}
Proposition. Pour tout nombre complexe non nul z et tout entier naturel non nul n, il existe des nombres
complexes u tels que
un = z
Ces nombres sont appelés les racines n-iemes de z. De plus, si u0 est une racine n-ieme de z, l’ensemble des
racines n-iemes de z est :
u0 Un = {u0 v, v ∈ Un }
1
Preuve. Soit u tel que eu = z, alors e n u est une racine n-ieme de z.
Soit u0 une racine n-ieme de z, alors u est une racine n-ieme de z si et seulement si :
n
u
u
n
n
u = u0 ⇔
=1⇔
∈ Un ⇔ u ∈ u0 Un
u0
u0
La proposition suivante précise l’ensemble des racines n-iemes de l’unité.
Proposition. Soit n un entier naturel non nul alors :
Un = {1, w, w2 , · · · , wn−1 } avec w = e
11
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2iπ
n
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Nombres complexes
24 mars 2017
Remarque. Cette notation sous-entend que les puissances de w entre les accolades sont deux à deux distinctes.
L’ensemble Un contient donc n éléments.
Preuve. On raisonne en prouvant séparément les deux inclusions.
– Soit u = wk avec k entre 0 et n − 1, alors
(wk )n = wnk = (wn )k = 1k = 1
Ce qui prouve la première inclusion.
– Dans l’autre sens, soit u = eiα une racine n-ieme de l’unité quelconque. Alors
nα ∈ 2πZ ⇒ ∃k ∈ Z tel que nα = 2kπ
k
Donc α = 2kπ
n ce qui montre que u est bien de la forme w mais pour un k dont on ne sait rien (sinon qu’il
est entier). La suite du raisonnement utilise la division euclidienne de k par n. Il existe un entier m et un
naturel r ∈ {0, 1, · · · , n − 1} tels que :
k = mn + r
On peut alors écrire :
u = wmn+r = (wn )m wr = wr
Ce qui achève la démonstration.
Remarque. La somme (notée sn ) des racines nièmes de l’unité est nulle. En effet :
(1 − w)sn = 1 − wn = 0
et w 6= 1.
Théorème (théorème de d’Alembert). Soit n un entier naturel non nul, soient a0 , a1 , · · · , an des nombres complexes (an 6= 0). Il existe des nombres complexes z vérifiant :
a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n = 0
Ce théorème est admis pour le moment. Sa démonstration repose sur les outils suivants
– l’existence de racines n-ièmes d’un nombre complexe (surjectivité de la fonction exponentielle)
– le théorème de Bolzano-Weirstrass pour les suites complexes
– une étude « locale »
Une démonstration complète sera donnée sous la forme de plusieurs exercices traités au long de l’année.
V.
Nombres complexes et géométrie plane
Lorsqu’on fixe un repère orthonormé direct dans un plan affine euclidien orienté P, on peut définir une application bijective appelée affixe entre P et C. Cette application associe à chaque point du plan le nombre complexe
dont la partie réelle est la première coordonnée du point et dont la partie imaginaire est la deuxième coordonnée.
Si on désigne par x et y les fonctions coordonnées dans le repère, l’affixe d’un point M est le nombre complexe
x(M ) + iy(M ). Traditionnellement, on note un point par une lettre d’imprimerie (A, B, M, · · · ) et son affixe par la
même lettre minuscule (a, b, m, · · · ). On définit de même l’affixe d’un vecteur. Il est à noter que l’on peut définir
un point par son affixe.
L’objet de cette section est de présenter sous forme complexe les calculs avec les coordonnées que l’on peut
faire dans certaines situations géométriques.
Notation de l’objet géométrique
Notation de l’affixe complexe
points : A, B, C, . . .
a, b, c, · · ·
−
−
vecteurs : →
u,→
v
u, v
−−→
vecteur : AB
b−a
12
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1.
Nombres complexes
24 mars 2017
Dictionnaire
On peut former un « dictionnaire » pour les notions de produit scalaire, distance, angles.
2.
norme
−
k→
u k = |u|
distance
−−→
d(A, B) = kABk = |b − a|
produit scalaire
→
−
−
−
−
u ·→
v = (→
u /→
v ) = Re(uv)
−
−
θ une mesure de l’angle orienté de →
u vers →
v
θ un argument de
A, B, C alignés (distincts)
b−a
c−a
réel
−−→
−→
AB et AC orthogonaux
b−a
c−a
imaginaire pur
v
u
ou de uv
Exemple : somme des angles d’un triangle.
C(c)
γ
β
B(b)
α
A(a)
Fig. 1: Somme des angles d’un triangle
Suivant le dictionnaire précédent, on peut interpréter les angles de la figure 1 comme des arguments de nombres
angles
α
β
γ
complexes.
a−b
b−c
nombres complexes c−a
b−a
c−b
a−c
En introduisant les modules ρA , ρB , ρC , on peut écrire

c−a

= ρA eiα 


b−a



a−b
c−a a−b b−c
iβ
= ρB e
⇒ ρA ρB ρC ei(α+β+γ) =
= −1 ⇒ α + β + γ ≡ 0

c−b
b−a c−b a−c




b−c

= ρA eiα 
a−c
3.
mod (2π)
Interprétations géométriques de certaines fonctions.
– Soit u un nombre complexe fixé. La transformation du plan qui à tout point M associe le point d’affixe m + u
−
est une translation de vecteur →
u.
– Soit θ un nombre réel fixé non congru à 0 modulo 2π et a un nombre complexe fixé. La transformation du
plan qui à tout point M associe le point d’affixe meiθ + a est une rotation d’angle θ et de centre le point
a
d’affixe 1−e
iθ .
– Soit u unitaire et α un argument de u, soit a complexe. L’application
z → u(z − a) + a
s’interprète géométriquement comme la rotation d’angle α et de centre a.
13
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Nombres complexes
24 mars 2017
B(b)
|b − a|
|b|
A(a)
θ
|a|
O(0)
Fig. 2: Forme complexe d’Al Kashi
– Soit a et b complexes avec a 6= 0. La transformation géométrique associée à la transformation complexe
z → az + b
est une translation lorsque a = 1, une rotation lorsque |a| = 1, une homethétie lorsque a est réel et 6= 1, une
similitude dont le rapport est le module de a et l’angle un argument de a lorsque |a| =
6 1.
4.
Forme complexe de la formule dite d’Al Kashi.
On considère le triangle formé par les points O, A, B respectivement d’affixes 0, a, b. Notons θ une mesure de
−→ −−→
l’angle orienté (OA, OB) c’est aussi un argument de ab ou de ba. L’identité remarquable suivante s’interprète alors
comme la forme complexe du théorème d’Al Kashi de terminale :
|b − a|2 = |a|2 + |b|2 − 2 Re(ab) = |a|2 + |b|2 − 2|a||b| cos θ
5.
1.
Droites
Équation de droite.
Si x et y désignent les fonctions coordonnées relatives à un repère orthonormé et a, b, c sont trois nombres
réels tels que (a, b) 6= (0, 0). L’équation
ax + by + c = 0
est l’équation d’une droite. C’est à dire que l’ensemble des points M vérifiant ax(M ) + by(M ) + c = 0 est une
droite.
Réciproquement, si D est une droite, il existe a, b, c réels tels que (a, b) 6= (0, 0) et que
M ∈ D ⇔ ax(M ) + by(M ) + c = 0
Soit a, b, c, x, y des nombres réels quelconques. Alors
ax + by + c = Re(zu − c) avec z = x + iy et u = a + ib
On en déduit que la forme complexe d’une équation de droite est
Re(zu − c) = 0
14
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2.
Nombres complexes
24 mars 2017
Définition paramétrique d’une droite.
−
On peut définir une droite D par un point A affixe a et un vecteur →
u non nul d’affixe u. On peut caractériser
l’appartenance à cette droite d’un point quelconque Z d’affixe z.
Z ∈ D ⇔ ∃t ∈ R tq z − a = tu ⇔
z−a
z−a
∈ R ⇔ les arguments de
≡0
u
u
mod π
On peut compléter la condition générale d’alignement citée plus haut
– C sur la demi droite d’origine A et passant par b si et seulement si c−a
b−a ∈ R+ .
∈
[0,
1].
– C sur le segment d’extrémités A et B si et seulement si c−a
b−a
3.
Alignement de 3 points.
Proposition. Trois points distincts A, B, C d’affixes a, b, c sont alignés si et seulement si
b−a
∈R
c−a
−→
−−→
Preuve. La condition signifie que l’angle entre les vecteurs AC et AB est congru à 0 modulo π.
6.
Cercles.
1.
Équation.
La forme complexe d’une équation de cercle est complètement naturelle. Un point quelconque Z d’affixe z est
sur le cercle de centre C d’affixe c et de rayon r si et seulement si
|z − c| = R
En posant x = Re z et y = Im z, on obtient une équation du second degré de la forme
x2 + y 2 + Ax + By + C = 0
où A, B, C sont des paramètres réels. On remarque qu’il n’y a pas de terme en xy et que les coefficients de x et
de y sont égaux.
Réciproquement, lorsqu’une équation de cette forme admet des solutions. Les représentants de ses solutions forment
un cercle. Pour l’obtenir, il suffit d’écrire des débuts de carrés :
x2 + y 2 + Ax + By + · · · = (x +
A 2
B
A2
B2
) + (y + )2 −
−
− ···
2
2
4
4
pour faire intervenir le carré d’un module.
2.
Inversion et cocyclicité de quatre points.
Les résultats présentés dans cette section ne sont pas au programme de MPSI mais constituent de bons exemples
de mise en œuvre des éléments du programme.
Proposition. Quatre nombres complexes A, B, C, D d’affixes a, b, c, d sont cocycliques (sur un même cercle) si
et seulement si :
(c − b)(d − a)
∈R
(c − a)(d − b)
Preuve. La preuve de cette proposition se déduit des résultats suivants.
On note I (inversion) l’application du plan privé de l’origine dans le plan privé de l’origine et qui, à tout
nombre complexe z 6= 0 associe z1 .
Cette application est clairement une involution c’est à dire qu’elle vérifie I ◦ I = Id.
Proposition. L’image par I d’une droite qui ne passe pas par l’origine O est un cercle passant par O mais privé
de O. L’image par I d’un cercle passant par O mais privé de O est une droite qui ne passe pas par l’origine O.
15
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Nombres complexes
24 mars 2017
Preuve. Soit D une droite ne passant pas par O. Son équation est de la forme ax + by + c avec c 6= 0 caractérisant
le fait que O 6∈ D.
Soit Z 6= O d’affixe z un point quelconque du plan. Alors
Z ∈ I(D) ⇔ I(Z) ∈ D ⇔ a
car l’affixe de I(Z) est
1
z
=
Im(z)
Re(z)
−b
+c=0
|z|2
|z|2
z
|z|2 .
Notons u = a + ib. On a alors
a
Im(z)
Re(zu)
1
Re(z)
−b
+c=
+ c = 2 Re(zu) + c|z|2
2
2
2
|z|
|z|
|z|
|z|
c u
c
= 2 Re(z ) + |z|2 = 2
|z|
c
|z|
2 !
u 2 u |z + | − 2c
2c
u
u
. Ce cercle passe par l’origine
On en déduit que I(D) est le cercle de centre le point d’affixe 2c
et de rayon — 2c
car le rayon est le module de l’affixe du centre. L’origine n’est pas atteinte par I.
Application à la cocyclicité de quatre points.
A, B, C, D sont cocycliques si et seulement si les points d’affixes b − a, c − a, d − a sont sur un cercle qui passe
1
1
1
, c−a
, d−a
sont alignés.
par l’origine si et seulement si les points d’affixes b−a
Or
1
1
c−b
(c − b)(d − a)
(b − c)(d − a)
c−a − b−a
c−a
1
1 = (c − a)(b − d) = (c − a)(d − b) = d−b
d−a − b−a
d−a
Finalement : les quatre points A, B, C, D sont cocycliques si et seulement si les arguments de
congrus modulo π.
c−b
c−a
et de
d−b
d−a
sont
A
C
B
D
Fig. 3: points cocycliques
On en déduit la proposition annoncée au début.
16
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
Rémy Nicolai C2002