Le développement à une vitesse constante dans trajectoire circulaire

Le développement à une vitesse constante dans
une trajectoire circulaire
Robert Levesque, Université de Moncton campus d’Edmudnston
[email protected]
Introduction
L’une des priorités, au niveau des approches pédagogiques
dans le système d’éducation, est de donner un sens
aux apprentissages de par la pertinence des contenus
proposés. Certaines équations mathématiques telles que
cos (A + B) = cosAcosB – sinAsinB et
sin(A – B) = sinAcosB – cosAsinB sont assez faciles à
démontrer leur égalité, mais plutôt difficiles à trouver
des applications pertinentes dans la vie de tous les
jours. Les graphiques et l’interprétation de celles-ci font
également partie des programmes d’études au secondaire
en mathématique et en physique. Différents graphiques
selon différentes situations sont interprétés par les
élèves, soit dans un contexte de mouvement rectiligne
uniforme (MRU) ou bien en mouvement uniformément
accéléré (MUA). Les élèves doivent alors reconnaître
les graphiques de la distance en fonction du temps, de
la vitesse en fonction du temps et de l’accélération en
fonction du temps.
Mais un des concepts étudiés en physique est celui des
scalaires et des vecteurs. Souvent, les termes de distance
et de déplacement sont utilisés à titre d’exemple afin de
démontrer leur différence.
Par contre, pouvons-nous trouver le graphique du
déplacement dans un mouvement circulaire à vitesse
constante? À noter que le mobile fait 2 tours.
Voici les 4 graphiques les plus populaires chez les
élèves :
Déplacement en fonction de l’angle
angle (rad)
Première possibilité
Déplacement en fonction de l’angle
Une question à haut niveau demandée aux élèves lors de
ce concept est la suivante : « Quel est le graphique du
déplacement en fonction du temps (ou de l’angle) lors
d’une vitesse constante dans une trajectoire circulaire? »
Premièrement, lors d’un MRU, il est facile de trouver le
graphique de la distance en fonction du temps dans un
mouvement circulaire ou autre trajectoire (car l’orientation
du mobile n’est pas considérée).
GRMS
angle (rad)
Deuxième possibilité
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Déplacement en fonction de l’angle
Le déplacement dans un mouvement circulaire
Selon l’équation suivante :
cos(A + B) = cosA cosB – sinA sinB
θ
et si A = B = , alors :
2
θ θ 
θ 
θ 
θ  θ 
cos  +  = cos   cos   − sin   sin  
2 2
2
2
2 2
angle (rad)
Troisième possibilité
Déplacement en fonction de l’angle
θ 
θ 
cos θ = cos 2   − sin 2  
2
2

θ 
θ 
cos θ = 1 − sin 2    − sin 2  
 2 
2

θ 
cos θ = 1 − 2 sin 2  
2
θ 
1 − cos θ = 2 sin 2   (1)
2
Quadrant I
d (θ ) = ( sin θ )² + ( 1 - cos θ )² (pythagore)
= sin²θ + 1 - 2 cos θ + cos² θ
= 1 + 1 - 2 cos θ
= 2 - 2 cos θ
angle (rad)
Quatrième possibilité
= 2(1-cos θ )


= 2  2sin 2
Méthodes
Premièrement, nous avons quatre graphiques, mais il
n’y en a qu’un seul véridique. Nous présumons que
c’est le deuxième graphique. Afin d’en faire la preuve
et de démontrer l’application de différentes équations
mathématiques, nous allons trouver l’équation de la
fonction en question.
θ
 de (1)
2
θ 
= 4sin 2  
2
= 2 sin
θ
2
Il est important de savoir que nous utilisons la valeur
unitaire pour le rayon de ce cercle. La démonstration
ne requiert pas des applications approfondies des
connaissances mathématiques comme la dérivée ou
l’intégrale, mais tout simplement des formules de base
(niveau du secondaire 5), entre autres les identités
trigonométriques, les formules pour les sinus et les cosinus
d’une somme ou d’une différence de mesure d’angle et le
théorème de Pythagore.
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GRMS
Quadrant II
Quadrant III
Puisque :
α + ø = 180°
ø = 180° – α
ø=�–α
Puisque :
β = 180° + μ
β=π+μ
μ=β–π
Alors, si :
sin ø = sin(� – α)
= sin � cos α – cos � sin α
= 0 – (-sin α)
= sin α
Alors, si :
sin μ = sin(β – �)
= sin β cos � – cos β sin �
= -sin β – 0
= -sin β
cos ø = cos(� – α)
= cos � cos α + sin � sin α
= -cos α + 0
= -cos α
cos μ = cos(β – �)
= cos � cos β + sin � sin β
= -cos β + 0
= -cos β
Alors,
Alors,
d (α ) = ( sin φ )² + ( 1 + cos φ )²
d ( β ) = ( sin µ )² + ( 1 + cos µ )²
= ( sin α )² + ( 1 - cos α )²
= (-sin β )² + ( 1 - cos β )²
= sin²α + 1 - 2 cos α + cos² α
= sin² β + 1 - 2 cos β + cos² β
= 1 + 1 - 2 cos α
= 2 - 2 cosβ
= 2 - 2 cos α
= 2(1-cos β )
= 2(1-cos α )


= 2  2sin 2
α
 de (1)
2
α 

2
= 4sin 2 
= 2 sin
GRMS
α


= 2  2sin 2
β
 de (1)
2
β 

2
= 4sin 2 
= 2 sin
β
2
2
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Quadrant IV
Résultats
Puisque :
δ = 360° – A
δ = 2� – A
Donc :
sin δ = sin(2� – A)
= sin 2� cos A – cos 2� sin A
= 0 – sin A
= -sin A
cos δ = cos(2� – A)
= cos 2� cos A + sin 2� sin A
= cos A + 0
= cos A
d ( A ) = ( sin δ )² + ( 1 - cos δ )²
= (-sin A)² + ( 1 - cos A )²
= sin² A + 1 - 2 cos A + cos² A
1er quadrant
2 sin
θ
2
2e quadrant
2 sin
α
2
3e quadrant
2 sin
β
2
4e quadrant
2 sin
A
2
Conclusion
Nos résultats démontrent que l’équation de la fonction
est la même dans tous les quadrants. Si nous utilisons
la variable « x » comme l’angle compris entre 0 et
2π, ceci nous donne l’équation de la fonction du
graphique cherché :
= 2 - 2 cos A
d ( x ) = 2 sin
= 2 ( 1 - cos A )
=


2  2 sin ²
A

2
= 4sin 2 
= 2 sin
20
A
2
A
 de (1)
2
x
2
Donc, le graphique du déplacement en fonction
de l’angle dans un mouvement circulaire à vitesse
constante correspond au graphique de 2 sin x où
2
l’amplitude est de 2 et qui correspond au diamètre du
cercle de rayon 1. Le graphique du déplacement est
bel et bien :
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GRMS
De façon générale avec un cercle de rayon « r » et en
utilisant la loi de cosinus, nous avons :
x2 = r2 + r2 – 2r2 (cos θ)
x2 = 2r2 – 2r2 (cos θ)
x2 = 2r2 (1 – cos θ)
x = r 2(1 - cos A)


x = r 2  2 sin 2
θ
 de (1)
2
θ 
x = r 4 sin 2  
2
x = 2r sin
θ
2
C.Q.F.D.
Lancement d’un ensemble didactique mathématique
2e cycle, 3e année / séquence
Culture, société et technique
La Collection Tardivel est heureuse d’annoncer
la parution d’un tout nouveau matériel conçu
spécifiquement pour les élèves cheminant dans une
approche individualisée, au secondaire 2 e cycle.
Faisant suite à notre ensemble didactique lancé en
primeur en septembre 2009 pour cette clientèle, nous
avons complété la création d’un matériel orienté
selon les paramètres de la séquence Culture, société
et technique du programme actuel de mathématique
au 2e cycle du secondaire, 3e année.
Plusieurs qualités traditionnelles de nos produits
didactiques sont encore ici au rendez-vous : grande
souplesse d’utilisation de nos cahiers dans des groupes
hétérogènes tout en facilitant un suivi adéquat pour
chacun des élèves, matériel privilégiant une présentation
aérée et comportant des explicatifs à la portée des
élèves, présentation soignée à un coût très abordable.
Divers outils d’évaluation sont présents à la fin de nos
cahiers. Ce nouvel ensemble didactique est complété
par des propositions concrètes au niveau des situations
GRMS
d’apprentissage-évaluation, lesquelles sont disponibles
en format CD-ROM sous l’appellation BILAN
MATHÉMATIQUE au secondaire 2e cycle, 3e année.
Depuis plus de 20 ans maintenant, la Collection Tardivel
cherche à répondre aux besoins des enseignantes et
enseignants confrontés à de grands défis de différenciation
avec leurs élèves. Nous sommes persuadés que ce nouvel
outil saura satisfaire les plus exigeants d’entre eux.
L’équipe de la Collection Tardivel
Vous trouverez plus de détails sur notre site Internet au:
www.csportneuf.qc.ca/collectiontardivel
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