les nombres complexes. formes trigonometrique et exponentielle.

LES NOMBRES COMPLEXES.
FORMES TRIGONOMETRIQUE ET EXPONENTIELLE.
I.
Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.
1.
Module et argument d’un nombre complexe non nul.
Définition : Soit z un nombre complexe non nul d’image M dans le plan complexe.
Le ............................. de z, noté z , est la longueur OM.
L ................................... de z, noté arg(z) est une des mesures en radian de l angle ( u OM ). Il est défini à
2k près avec k entier. On écrit alors arg(z)
mod(2 ) ou arg(z)  (2 ).
On pose |0| 0.
Remarques : si z
a est un nombre réel, on a alors z = a² = a (valeur absolue de a).
Propriété : Pour tout complexe z, zz = z ².
Démonstration :
Soit z a ib (a et b réels) un nombre complexe non nul.
Théorème : Soit z un nombre complexe non nul. On note
z
……………..
cos 
...........
Conséquences :
arg( z) = .............................
arg(z). Alors :
sin 
................
M
arg ( z ) = ................................
arg( z) = …………………………
M
4
o
M
3
M
2
Remarques : Deux nombres complexes non nuls sont égaux ssi ils ont le même module et le même
argument à un multiple de 2 près.
Un nombre complexe non nul est réel ssi son argument est 0 ou  à un multiple de 2 près.
Un nombre complexe non nul est imaginaire pur ssi son argument est  ou   à un multiple


de 2 près.
Exemples : Sans calcul, déterminer le module et l argument des nombres suivants :
z1 3 ; z2
2 ; z3 5i ; z4
i ; z5 1 i ; z6
2 2i.
2.
Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.
Soit z un nombre complexe non nul de module r et d’argument .

On a z
....................................................................... : c’est la ...................................................
Exemple 1 : Soit z
Exemple 2 : Soit z
Propriété : Si z
Attention : r
2 2i 3 . Donner la forme trigonométrique de z.
3 cos   isin  . Donner la forme algébrique de z.

3 
 3 
r(cos( ) isin( )) avec r 0, alors r(cos( ) isin( )) est la forme trigonométrique de z.
0 est nécessaire.
Exemple : Donner la forme trigonométrique de z
2cos  isin . Donner |z | et arg(z).
 5
 5 
II.
Opérations sur les modules et les arguments.
Propriétés : Pour tous nombres complexes non nuls z et z′ :
z  z’ 
z + z’
zz’ = z  z’ et arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) mod 2
Pour tout entier naturel non nul n : zn = z n et arg(z n ) = n  arg(z)mod 2
1
1
arg  1 
arg(z) mod 2
 z  |z|
z 
| z | et arg z  = arg(z)  arg(z ) mod 2
z
 z  |z |
z 
Démonstration dans le cas de zz’ :
Application : Déterminer la forme algébrique puis la forme trigonométrique de Z = (
déduire les valeurs exactes de cos 7  et sin 7 .
 12 
 12 
III. Interprétation géométrique.
 + i)(1  i) puis en
A et B sont deux points d abscisses respectives zA et zB .
Alors AB
| zB
zA| et ( u
AB )
arg ( zB zA )
Applications :
Dan le plan complexe, A est le point d affixe 1 i; B est le point d affixe 1 + i et C est le point d affixe
1
3.
z z
z z
1. Montrer que ( AB AC ) arg  C A  et que AB  C A .
z
z
AC
 B A
 zB z A 
z z
2. Calculer C A et en déduire la nature du triangle ABC.
zB z A
3. Déterminer l ensemble (E) des points M d affixe z tels que |z 1 i | 5.
4. Déterminer l ensemble (F) des points M d affixe z tels que |z 1 i | | z 1
3|
IV.
La notation exponentielle d’un nombre complexe non nul.
Soit f la fonction définie sur
 Pour tout réels et ’, f(
et à valeurs dans par f( ) cos( ) isin( )
) (cos( ) isin( ))(cos( ) isin( ))
(cos cos −sin sin ) i(sin cos
cos sin )
cos(
) isin(
) f( ) f( )
 f(0) = 1.
Comme la fonction exponentielle, f "transforme les sommes en produits" et vaut 1 en 0. On pose alors la
notation :
Pour tout réel , on note .......................................................
Exemples :
ei0 =
ei =
e i /2 =
e i 2/3 =
On a vu que tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument  pouvait s’écrire
z r(cos  + i sin . Ainsi :
Définition : Tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument  peut s’écrire z = re i . C’est la
..................................................................
On a alors avec cette notation :
Pour tous réels et et tout entier naturel non nul n :
e i  = 1 et arg(e i 
ei
e i   e i ′ = e i ( ′)
= e i (′)
ei
e i
i
e
e i n = e n i  (formule de Moivre)
ei  ei
ei  ei
cos ()=
et sin()=

i
Exemple :
On donne z1
2e
i
2
; z2
ie
i
3
et z3
3 3 3i. Ecrire z1, z2 et z3 sous forme exponentielle.