les nombres complexes. formes trigonometrique et exponentielle.

LES NOMBRES COMPLEXES.
FORMES TRIGONOMETRIQUE ET EXPONENTIELLE.
I. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.
1. Module et argument d’un nombre complexe non nul.
Définition : Soit z un nombre complexe non nul d’image M dans le plan complexe.
Le ............................. de z, noté z, est la longueur OM.
L................................... de z, noté arg(z) est une des mesures en radian de l angle ( )uOM . Il est défini à
2k près avec k entier. On écrit alors arg(z) mod(2 ) ou arg(z)  (2 ).
On pose | | 0 0.
Remarques : si z a est un nombre réel, on a alors z = a² = a (valeur absolue de a).
Propriété : Pour tout complexe z, z z = z².
Démonstration :
Soit z a ib (a et b réels) un nombre complexe non nul.
Théorème : Soit z un nombre complexe non nul. On note arg(z). Alors :
z …………….. cos  ........... sin  ................
Conséquences :
arg( z) = .............................
arg( ) z = ................................
arg( z) = …………………………
Remarques : Deux nombres complexes non nuls sont égaux ssi ils ont le même module et le même
argument à un multiple de 2 près.
Un nombre complexe non nul est réel ssi son argument est 0 ou  à un multiple de 2 près.
Un nombre complexe non nul est imaginaire pur ssi son argument est 
 ou    à un multiple
de 2 près.
o
M
M4
M3M2

Exemples : Sans calcul, déterminer le module et l argument des nombres suivants :
z13 ; z22 ; z35i ; z4 i ; z51i ; z62 2i.
2. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.
Soit zun nombre complexe non nul de module r et d’argument .
On a z ....................................................................... : c’est la ...................................................
Exemple 1 : Soit z2 2i3 . Donner la forme trigonométrique de z.
Exemple 2 : Soit z3 cos 3 isin 3 . Donner la forme algébrique de z.
Propriété : Si z r(cos( ) isin( )) avec r0, alors r(cos( ) isin( )) est la forme trigonométrique de z.
Attention : r0 est nécessaire.
Exemple : Donner la forme trigonométrique de z2 cos 5 isin 5 . Donner | | z et arg(z).

II. Opérations sur les modules et les arguments.
Propriétés : Pour tous nombres complexes non nuls z et z′ :
z  z’ z + z’
zz’ = z  z’ et arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) mod 2
Pour tout entier naturel non nul n : zn = zn et arg(zn) = n  arg(z)mod 2
1
z 1
| |
z arg
1
z arg(z) mod 2
z
z | |
z
| |
z et arg
z
z = arg(z)  arg(z) mod 2
Démonstration dans le cas de zz’ :
Application : Déterminer la forme algébrique puis la forme trigonométrique de Z = (  + i)(1  i) puis en
déduire les valeurs exactes de cos 7
12 et sin
7
12 .
III. Interprétation géométrique.

A et B sont deux points d abscisses respectives zA et zB.
Alors AB | | zBzA et ( )uAB arg( ) zBzA
Applications :
Dan le plan complexe, A est le point d affixe 1 i; B est le point d affixe 1 + i et C est le point d affixe
1 3 .
1. Montrer que ( )AB AC arg zCzA
zBzA et que AB
AC 
zCzA
zBzA
.
2. Calculer zCzA
zBzA
et en déduire la nature du triangle ABC.
3. Déterminer l ensemble (E) des points M d affixe z tels que | | z1i5.
4. Déterminer l ensemble (F) des points M d affixe z tels que | | z1i| |z1 3
IV. La notation exponentielle d’un nombre complexe non nul.
Soit f la fonction définie sur et à valeurs dans par f( ) cos( ) isin( )
 Pour tout réels et ’, f( ) (cos( ) isin( ))(cos( ) isin( ))
(coscos−sinsin ) i(sin coscossin )
cos( ) isin( ) f( ) f( )
 f(0) = 1.
Comme la fonction exponentielle, f "transforme les sommes en produits" et vaut 1 en 0. On pose alors la
notation :
Pour tout réel , on note .......................................................
Exemples :
ei0 = ei = ei/2 = ei2/3 =
On a vu que tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument  pouvait s’écrire
z r(cos  + i sin . Ainsi :

Définition : Tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument  peut s’écrire z = rei. C’est la
..................................................................
On a alors avec cette notation :
Pour tous réels et et tout entier naturel non nul n :
ei = 1 et arg(ei
ei  ei′ = ei( ′) ei
ei = ei(′) eiei
ein = eni (formule de Moivre)
cos ()= ei  ei
 et sin()= ei  ei i
Exemple :
On donne z12e i2 ; z2ie i3 et z33 3 3i. Ecrire z1, z2 et z3 sous forme exponentielle.