OM . arg z =−arg z [2π] arg z =− π 2 z=∣z∣cosθ+ i∣z∣sinθ z

Les nombres complexes (2)
I Argument d'un nombre complexe
1°)Définitions
Dans le plan complexe muni du repère orthonormé
O , 
u ; v  on considère le point M d'affixe non nulle
z=a+bi.
Définition
Un argument du nombre complexe non nul z est une
mesure de l'angle orienté  u
OM  .
 ;
Notation :
Un argument du nombre complexe z est noté arg (z).
Remarque :
Un nombre complexe a une infinité d'arguments, si un des
arguments est θ les autres sont de la forme
θ + k2π, noté également θ [2π].
2°) Propriétés des arguments
Pour tout nombre complexe z non nul :
arg  z =−arg  z [2π ]
Pour tout nombre complexe z non nul :
•
z est un réel est équivalent à arg (z) = 0 ou arg (z) = π
•
z est un imaginaire pur est équivalent à
arg  z =−
arg  z =
π
2
ou
π
2
3°) Argument de l'affixe d'un vecteur
Propriété
Soit 
AB le vecteur d'affixe z B− z A :
•
un argument de l'affixe du vecteur 
AB est égal à arg  z B−z A  .
II Forme trigonométrique d'un nombre complexe
Définition
u ; v  on considère un
Dans le plan complexe muni du repère orthonormal O , 
point M d'affixe non nulle z.
Si z a pour module ∣z∣ et pour argument arg(z)=θ alors l'affixe de M s'écrit :
z =∣z∣cos θ+ i∣z∣sin θ
z =∣z∣(cos θ+ i sin θ )
z =∣z∣(cos θ+ i sin θ ) est la forme trigonométrique du nombre complexe z.
Par identification avec la forme algébrique z=a+ib on a a=∣z∣cos θ et donc
a
b
cos θ =
, de même on a sin θ=
.
∣z∣
∣z∣
Propriété :
Si z = r (cos θ + i sin θ) avec r > 0 alors r (cos θ + i sin θ) est la forme trigonométrique du nombre complexe z et
∣z∣=r et arg (z) = θ [2π].
Propriété :
Deux nombres complexes z 1=∣z 1∣(cos θ1 + isin θ 1 ) et
∣z 1∣=∣z 2∣ et θ 1=θ 2 [2π ] .
z 2 =∣z 2∣(cos θ 2+ i sin θ 2 ) sont égaux si, et seulement si,
Forme algébrique et forme trigonométrique (passage de l'une à l'autre) :
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Opération et nombres complexes sous la forme trigonométrique
Propriété : Produit de deux nombres complexes
- Le module du produit z 1 z 2 est ∣z 1 z 2∣=∣z 1∣×∣z 2∣
- Un argument du produit z 1 z 2 est arg  z 1 z 2 =arg  z 1 arg  z 2 [2π] .
Démonstration pour l'argument :
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Propriété : Puissance d'un nombre complexe
Soit n un nombre entier naturel et z un nombre complexe non nul.
n
n
n
z n a pour module ∣z ∣=∣z∣ et pour argument arg ( z )=n arg ( z)[2π] .
Propriété : Inverse d'un nombre complexe
Soit z un nombre complexe non nul et
1
z
son inverse :
∣∣
()
1 1
1
=
=−arg ( z)[2π ] .
et arg
z ∣z∣
z
Démonstration pour l'argument:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Propriété : Quotient de deux nombres complexes
Soit z 1 et z 2 deux nombres complexes non nuls.
z1
z2
a pour module
∣∣
()
z 1 ∣z 1∣
z1
=
=arg (z 1 )−arg (z 2 )[2π ] .
et pour argument arg
z 2 ∣z 2∣
z2
Démonstration pour l'argument:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------III Forme exponentielle d'un nombre complexe
u ; v  tout
Dans le plan complexe muni du repère orthonormal O , 
point M du plan situé sur le cercle de centre O et rayon 1 a pour affixe z
= cos θ + i sin θ (le module est égal à 1).
On appelle f la fonction telle que f(θ) = cos θ + i sin θ.
f θ × f θ ' = f θθ '  , relation
➢ On montre que
fonctionnelle de la fonction exponentielle.
➢ f(0) =1.
On retrouve des propriétés de la fonction exponentielle.
De ces résultats découlent la forme exponentielle d'un nombre complexe
non nul z de module 1 et d'argument θ qui est z =e i θ=cos θ+ i sin θ
Cas général :
Définition :
Tout nombre complexe z non nul peut s'écrire sous la forme exponentielle :
z=∣z∣(cos θ+ isin θ )=∣z∣e
iθ
Propriétés : En appliquant les règles de calcul énoncées sur les nombres complexes et la fonction exponentielle on déduit
que :
iθ
iθ'
r e ×r ' e =r r ' e
r e i θ=r e−iθ
r ei θ
r
= e i( θ−θ ' )
iθ '
r'
r'e
i( θ+ θ ' )
iθ
r e =r ' e
iθ'
équivaut à r = r ' et θ = θ ' [2π].