RESUME sur les COMPLEXES

RESUME sur les COMPLEXES
AFFIXE D’UN POINT
Le monde des points du plan
M un point du plan :
Le monde « parallèle » des
nombres complexes
Dans un repère (O, u
G
,v
G
), on le
repère avec ses coordonnées
M(a, b)
On peut lui associer un
nombre complexe …
zM , l’affixe du point M
zM = a + ib
Inversement, M(a, b) est le point image du nombre complexe zM = a + ib.
AFFIXE D’UN VECTEUR
Le monde des vecteurs du plan
W
J
JG
un vecteur du plan :
Le monde « parallèle » des
nombres complexes
Dans un repère (O, u
G
,v
G
), on le
repère avec ses coordonnées
W
JJG
= OM
JJJJG
(a, b)
On peut lui associer un
nombre complexe …
OM
Z
J
JJJJG , l’affixe du vecteur OM
J
JJJG
OM
z
J
JJJJG = a + ib
Inversement, OM
JJJJG
(a, b) est le vecteur image du nombre complexe OM z
J
JJJJG = a + ib.
Propriété : Soit A et B deux points d’affixes zA et zB l’affixe
A
B
z
J
JJG du vecteur AB
JJJG
est :
A
B
z
J
JJG =
B
A
zz
−
Propriété : soit 1
w
JJG
et 2
w
J
JG
les vecteurs d’affixes 11 1
z
aib
=
+et
22 2
z
aib=+. Le vecteur 1
w
JJG
+ 2
w
JJG
a alors pour affixe z1 + z2 .

MODULE et ARGUMENT
|z|, le module z, c’est :
|z| = OM = || OM
JJJJG
|| = 22 ab+= ρ
(Ro, lettre grecque)
arg(z), l’ argument z, la mesure en radian de
l’angle θ . arg(z) = θ = (u
G
,OM
JJJJG
) dans ]–π,π]
L’écriture ou la forme trigonométrique c’est :
z = ρ cosθ + i ρ sinθ = ρ (cosθ + i sinθ) = [ρ,θ]
Propriété : Soit A et B deux points d’affixes zA et zB.
La distance AB est égale à :
AB = |
A
B
z
J
JJG | = |
B
A
zz
−
|
Dans un repère orthonormal (O, u
G
,v
G
) on a aussi :
Arg((u
G
,
A
B
J
JJG
) = Arg (
B
A
zz
−
).
CONJUGUE
Définition : On appelle conjugué de z = a + ib, et on le note z, le nombre complexe z= a – ib.
Propriétés : Soit z = a + ib et z’ = a’ + ib’ deux nombres complexes. On a
''zz zz+=+ ; .' .'
z
zzz= ; 22
zz a b
=
+ ; 22
1zaib
zzz ab
−
==+
Propriété : Soit M un point d’affixe z = a + ib.
Le point M’, symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses a pour
affixe z’ = z.
Propriété : | z| = | z | et Arg( z) = – Arg(z)
FORMES ALGEBRIQUE / TRIGONOMETRIQUE / EXPONENTIELLE
forme algébrique forme trigonométrique forme exponentielle
z = a + ib z = [ρ,θ]
z = ρeiθ
z = ρ cosθ + i ρ sinθ avec ρ = |z| = 22 ab
+
; 22
cos a
ab
θ=
+
et 22
sin b
ab
θ= +

Forme
exponentielle
Forme
trigonométrique
transformation Forme
algébrique
zA =
2
3
3
i
e
π
zA = [3 , 2
3
π] 13
3(cos(2 3) sin(2 3)) 3( )
22
iiπ+ π =−+ zA 333
22
i=− +
transformation Forme
algébrique
Forme
trigonométrique
zB = 22i+ |zB | = 22
(2) (2) 8 2 2+==
Sachant que :
et
212
cos 2
22 2
212
sin 2
22 2
B
B
θ= = =
θ= = =
On en déduit que : 2
4
Bk
π
θ
π =+
zB = [ 22 ; 4
π
]
Forme
exponentielle
zA = 4 22
i
e
π
Les calculs avec les nombres complexes peuvent s’écrire :
OPERATIONS Sous forme trigonométrique avec
z = [ρ,θ] et z’ = [ρ’,θ’ ]
Sous forme exponentielle avec
z = ρeiθ et z’ = ρ’ei θ’.
Produit [ρ,θ] .[ρ’,θ ’ ] = [ρρ’, θ + θ’ ] (ρeiθ).( ρ’ei θ’ ) = ρ ρ’ei (θ+ θ’ )
Puissance n [ρ,θ] n = [ ρ n, nθ] (ρeiθ) n = ρ n einθ
Inverse 1
[,]ρθ =[ 1
ρ
, – θ ]
1
i
eθ ρ=1
ρ e–iθ
Quotient [,]
[',']
ρθ
ρθ = [ '
ρ
ρ
,θ – θ’]
'
'
i
i
e
e
θ
θ
ρ
ρ='
ρ
ρ ei (θ − θ’ )
FORMULE DE MOIVRE. FORMULE D’EULER.
Théorème. Soit θ un nombre réel et n un entier naturel. Alors (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin
(nθ)
Théorème. Soit θ un nombre réel. Alors : cos 2
ii
ee
θ
−θ
+
θ= et sin 2
ii
ee
i
θ
−θ
−
θ=