Feuille de TD n 2

IUT Info 1A
Année 2007-08
Période 1
Arithmétique
Feuille de TD n◦2
1
Congruences
Exercice 1. Calculer les congruences modulo 7 des nombres :
a - A = 67, B = 767, C = 123456 × 7.
b - D = A + B.
c - E = 67 × 57.
d - F = 678 .
Exercice 2. Trouver les restes modulo n des nombres N ci-dessous :
a - N = 123456789, n = 6.
1
F. Madelaine
J. Mailfert
D. Richard
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Arithmétique
b - N = 123456789, n = 7,
c - N = 123456789, n = 15,
d - N = 12345678910111213, n = 19.
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Arithmétique
Exercice 3. Déterminer le reste de la division par 13 du nombre 1001000 .
Exercice 4. a - Démontrer que l’on peut calculer x43 en employant trois produits et des
élévations au carré.
b - Calculer 124743 mod 27.
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Divisibilité
Exercice 5. a - Prouver que, pour tout entier naturel n, 6 divise 11n3 + n.
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b - Montrer que, pour tout entier naturel n, 9 divise 4n − 3n − 1.
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Arithmétique
Exercice 6. Considérons l’ensemble S des entiers n tels que n = 5×a+7×b avec a, b entiers positifs .
a - Par récurrence, prouver que, pour tout entier naturel n ≥ 24, n ∈ S. On pourra utiliser
les deux égalités 1 = 5 × 3 − 7 × 2 et 1 = 7 × 3 − 5 × 4.
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Arithmétique
b - Montrer que 24, 25, 26, 27, 28 ∈ S. Puis, en utilisant la division euclidienne, déduire que
tout entier naturel n ≥ 24 appartient à S.
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c - Que se passe-t-il pour n ≤ 23 ?
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